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PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO DI ANALISI
1) INSIEMI NUMERICI
- Ordinamento e completezza
L'insieme R può essere rappresentato graficamente come una retta. Associamo ad un punto di essa arbitrariamente il punto 0 e un punto 1 ad una certa distanza che chiamiamo unità di misura. L'insieme Q è un insieme ordinato, di conseguenza valgono le relazioni d'ordine, cioè valgono le seguenti tre proprietà:
- a ≤ a (riflessiva)
- a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b (antisimmetrica)
- a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
Presi a e b qualsiasi è sempre possibile confrontarli per mezzo della relazione d'ordine.
Un insieme in cui sono definite 2 operazioni e una relazione d'ordine che soddisfano tutte le proprietà delle precedentemente si dice campo ordinato. Se valgono le 2 operazioni ma nessuna relazione d'ordine si dice campo. Q ed IR sono campi ordinati.
- Estremo superiore ed inferiore di un insieme
Consideriamo un insieme X qualsiasi totalmente ordinato e sia E un insieme contenuto in X : E ⊂ X.
- - E si dice limitato superiormente se esiste un numero M per cui valga x ≤ M.
- - E limitato inferiormente se ∃m per cui valga x ≥ m ∀ x∈E
Teoria 1 / 77 03/03/12
Valore assoluto o modulo
Preso un numero x∈ℝ il |x| si definisce in questo modo:
|x| = { x se x>0 -x se x<0dalla definizione deriva che:
- ∀ a ≥0 |x| ≥ a é vera solo se -a ≤ x ≤ a
- ∀ x ≥0 |x| ≥ a é vera solo se x ≥ a ∧ x ≥ a
Proprietà: presi due interi x,y ∈ℝ
- |x⋅y| = |x|⋅|y|
- |x+y| ≤ |x|+|y|
- |x/y| = |x|/|y|
- |-x| = |x|
Dimostrazione disugaglianza triangolare
|x+y| ≤ |x|+|y| → dimostriamo per (x+y)² è uguale con il meno(|x+y|)² = (x+y)² = x²+y²+2xyx²+y²+2xy ≤ x²+y²+2|x|⋅|y| → introduco una minoranza, ovveroa questo sappiamo che x²=|x|² ∧ y²=|y|² →
(|x+y|)² ≤ (|x|+|y|)² → raccolgo quindi i due quadrati.|x+y| ≤ |x|+|y| → estraggo la radice quadrata senza problemi poiché sono tutti positivi. c.v.d.
(2) FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Funzioni reali a variabile reale
Funzioni in cui la variabile in ingresso e in uscita sono numeri reali. Dominio è un sottoinsieme di IR, il codominio è sempre IR. Attraverso i quali essa si presenta come con un fascio di volte parallelo all’asse e esso deve attraversare la s-forma una volta sola. Abbiamo ora una f(x): D -> R con D <= IR Una f(x) si dice limitata superiormente se esiste un M E IR tale che f(x) = m per ogni x E D. Il grafico é tutto sopra la vetta y=m. Una f(x) si dice limitata se é limitata sia inferiormente che superiormente. Massimi e minimi Sia y=f(x) funzione definita nell’insieme I1 convege
Condizione necessaria affinche una serie convega
Il suo termine generale tende a 0. Se am→0 allora la serie può convege. Condizione necessaria affinché una ∑ convega.
Teoria 21 / 77 04/03/12
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