Teoremi vari di Analisi Matematica II con dimostrazione

Teorema del differenziale totale (Giordano)

Siano f : A ⊆ R → R e x ∈ A (con A insieme aperto) tali che f sia derivabile in B(x) ⊆ A (r > 0). Se per ogni i = 1, 2, …, n la derivata parziale è continua in x, allora f è differenziabile in x.

Dimostrazione

Consideriamo il caso n = 2 (in modo analogo si procede per n > 2). f è differenziabile in (x₀, y₀) se e solo se:

(f(x, y) – f(x₀, y₀) - (f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀))

lim = 0

(x, y) → (x₀, y₀)

Preso (x, y) ∈ B(x₀, y₀), aggiungendo e sottraendo f(x, y₀), si ha che

f(x, y) – f(x₀, y₀) = f(x, y) – f(x, y₀) + f(x, y₀) – f(x₀, y₀)

Se x > x₀ (in modo analogo si procede se x < x₀), si consideri la funzione g₁ : [x₀, x] → R così definita:

g₁(t) = f(t, y₀)

per ogni t ∈ [x₀, x] (in altre parole, g è la restrizione di f al segmento orizzontale di estremi (x₀, y₀) e (x, y), segmento contenuto tutto in B(x₀, y₀) essendo quest’ultimo un insieme convesso). Per ipotesi, g è derivabile in [x₀, x] (e, quindi, continua) e, per ogni t ∈ [x₀, x]:

g'₁(t) = f_x(t, y₀)

Per il teorema del valor medio (o di Lagrange) applicato alla funzione g₁(t) esiste un punto ξ ∈ [x₀, x] tale che

g₁(x) – g₁(x₀) = g'₁(ξ)(x-x₀)

cioè esiste un punto ξ dipendente da x tale che

f(x, y₀) – f(x₀, y₀) = f_x(ξ, y₀)(x-x₀)

Supponendo y > y₀ (in modo analogo si procede se y < y₀), si consideri la funzione g₂ : [y₀, y] → R così definita:

g₂(t) = f(x₀, t)

per ogni t ∈ [y₀, y] (in altre parole, g è la restrizione di f al segmento orizzontale di estremi (x₀, y₀) e (x, y), segmento contenuto tutto in B(x₀, y₀) essendo quest’ultimo un insieme convesso). Per ipotesi, g è derivabile in [y₀, y] (e, quindi, continua) e, per ogni t ∈ [y₀, y]:

g'₂(t) = f_y(x₀, t)

Sempre per il teorema del valor medio (o di Lagrange) applicato alla funzione g₂(t) esiste un punto η ∈ [y₀, y] tale che

g₂(y) – g₂(y₀) = g'₂(η)(y-y₀)

cioè esiste un punto η dipendente da y tale che

f(x, y) – f(x, y₀) = f_y(x₀, η)(y-y₀)

Otteniamo così:

f(x, y) – f(x₀, y₀) = f_x(ξ, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, η)(y-y₀)

Aggiungendo e sottraendo f_x(x₀, y₀)(x-x₀) e f_y(x₀, y₀)(y-y₀), si ha che:

f(x, y) – f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)(x-x₀) - f_y(x₀, y₀)(y-y₀) =

= f_x(ξ, y₀)(x-x₀) - f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, η)(y-y₀) - f_y(x₀, y₀)(y-y₀)

Resta da provare che:

lim [f_x(ξ, y₀)(x-x₀) - f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, η)(y-y₀) - f_y(x₀, y₀)(y-y₀)]

/ ||(x-x₀, y-y₀)|| = 0

quando (x, y) → (x₀, y₀).