Teoremi vari di Analisi Matematica II con dimostrazione

DIMOSTRAZIONE

Per semplicità, lavoriamo in R e consideriamo x (0,0).

2 0

Dobbiamo dimostrare che (, ) − (0,0) − (0,0)(, )

lim =0

||, ||

(,)→( , )

0 0

Ma f (x,y) – f (0,0) = [f (x,y) – f (x,0)] + [f (x,0) – f (0,0)]

Inoltre, essendo x f(x,0) una funzione ad una sola variabile, abbiamo

→ f (x,0) = f (0,0) + ∂ f(0,0) x + x ω (x)

x 1

dove ω (x) è una funzione infinitesima per t 0. Analogalmente, usando la derivabilità nel punto

→

1

(x,0), si ha per opportune funzioni ω (t) e ω (t) infinitesime per t 0

→

2 3

f (x,0) = f (x,0) + ∂ f(x,0) y + y ω (y) = f (x,0) + [∂ f(0,0) + ω (x)] y + y ω (y)

y 2 y 3 2

dove l’ultima relazione è dovuta alla continuità di ∂ f. Mettendo insieme tutto ricaviamo

y

f (x,y) – f (0,0) = ∇ f (0,0) (x,y) + x ω (x) + y (ω (y) + ω (x)

1 2 3

e osservando che quando ||(x,y)|| 0 anche x 0 e y 0

→ → →

|| ||

(,)−(0,0)−(0,0)(,) 0

→

() () ())

≤ + ( +

1 2 3

2 2 2 2

||,|| √ √

+ +

dato che le due frazioni sono minori o uguali a 1.

TEOREMA DELLA LUNGHEZZA DELLA CURVA (MADDALENA)

Sia γ : [a,b] R una curva di classe C ([a,b]).

→ n 1

Allora γ è rettificabile e ′

L(γ) = (t)||

||γ

∫

DIMOSTRAZIONE

′

Proviamo prima che L(γ) ≤ (t)||

||γ .

∫

Sia σ = {t ,t ,…,t } una suddivisione di [a,b]. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale applicato

0 1 N

a ciascun componente di γ si ha che, per ogni i = 1,2,…,N

) )

∫ ′() = ( − (

−1

−

Passando alle norme si ottiene che

′ ′

) )|| () ()||

− ( = | |∫ | | ≤ ∫ ||

||(

−1 − −

Applicando il lemma precedente. Sommando per i = 1,2,…,N

′

′

) )|| ()|| (t)||

(, ) = ∑||( − ( ≤ ∑ ∫ = ∫ ||γ

||

−1 −

=1 =1

′

Dunque è un maggiorante dell’insieme { L(γ,σ) | σ ∈ S([a,b]) } (data l’arbitrarietà con cui

(t)||

||γ

∫

è stata scelta la suddivisione σ) che, pertanto, risulta limitato superiormente.

D’altra parte, per definizione di estremo superiore di un insieme limitato superiormente, è il più

piccolo dei maggioranti dell’insieme stesso. Quindi ′

L(γ) = (t)||

sup (, ) ≤ ||γ

∫

σ ∈ S([a,b])

′

Resta da provare che ≤ L(γ).

(t)||

||γ

∫

Proveremo ciò facendo vedere che, comunque si prenda ε > 0, si ha che

′ < L(γ) + ε

(t)||

||γ

∫

In generale, se a,b ∈ R son0 due numeri reali tali che per ogni ε > 0 si abbia

a < b + ε

allora ≤

Infatti, se per assurdo fosse b < a, esisterebbe un ε > 0 tale che b < b + ε < a. E questo contraddice

l’ipotesi fatta sui due numeri. Sia dunque fissato ε > 0. Per ipotesi γ’ è continua in [a,b]. Per il teorema

di Heinre-Cantor, γ’ è ivi uniformemente continua. Pertanto in corrispondenza di esiste δ > 0

> 0

−

tale che, per ogni s,t ∈ [a,b]

| s – t | < δ ⇒ || γ’(s)- γ’(t)|| < −

Consideriamo una suddivisione D = {t ,t ,…,t } di [a,b] tale che, per ogni i = 1,2,…,N, risulti

0 1 N t – t < δ

i i-1

Fissato l’intervallo I =[ t , t ] per ogni s ∈ [ t , t ] si ha

i i-1 i i-1 i

′ ′ ′ ′

[

) ) () () () ()]

( − ( = ∫ = ∫ − + =

−1 − −

′ ′ ′ ′ ′ ′

[

() ()] () () ()] ()

= ∫ [ − Ii + ∫ = ∫ − + ( − )

+1

− − −

Passando alle norme, si ottiene

′ ′ ′

) ()|| ) ) () ()]

− = − ( − ∫ [ − || ≤

||( ||(

+1 −1 −

′ ′ ′ ′

) )|| () ()] ) )|| () ()||

≤ − ( + | |∫ [ − | | ≤ − ( + ∫ −

||( ||( ||

−1 −1

− −

Ora si osservi che, poiché per ogni s ∈ [ t , t ], risulta

i-1 i

| s – t | ≤ t – t < δ

i i-1

Pertanto || γ’(s)- γ’(t)|| < e

−

′ ′

() ()|| ( )

∫ − < ∫ = −

|| +1

− −

− −

Ricordando che ||λv||=|λ| ||v|| per ogni λ ∈ R e per ogni v ∈ R si ha che

n

||( t – t ) γ’(s)|| = ( t – t ) ||γ’(s)||

i i-1 i i-1

Dunque, per goni s ∈ I i

( t – t ) ||γ’(s)|| < ) )|| ( )

− ( + −

||(

i i-1 −1 +1

−

Dividendo ambo i membri per t – t > 0 si ha

i i-1

||γ’(s)|| < ) )||

− ( +

||(

−1 −

Integrando per s ∈ [ t , t ]

i-1 i

′ ()|| ) )||

∫ < ∫ − ( + =

|| [||( ]

−1 −

− −

t – t ) = + ( t – t )

) )|| ) )||

= − ( + − (

[||( ]( ||(

i i-1 i i-1

−1 −1

− −