Teoremi vari di Analisi Matematica I con dimostrazione

TEOREMA DEL DOPPIO CONFRONTO O DEI CARABINIERI

Siano f , h , g : A R e x punto di accumulazione per A.

→ 0

Vale la seguente disuguaglianza: f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).

Se allora ∃

lim () = lim () = , lim ℎ() =

→ → →

0 0 0

DIM: Fissiamo ε > 0.

Per il teorema della permanenza del segno: ∃ δ > 0 : |x - x | < δ ⇒ |f(x) – l| < ε

0

Analogalmente: ∃ δ > 0 : |x - x | < δ ⇒ |g(x) – l| < ε

0

Combinando le tre disugualianze abbiamo: l – ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < l + ε

da cui si ottiene: l – ε < h(x) < l + ε

che per la definizione di limite vuol dire lim ℎ() =

→ 0

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

f : A R continua , y ,y f(x) , y <y y ≤ y ≤ y x A : f(x) = y

→ ∈ ⇒ ∀ ∃ ∈

1 2 1 2 1 2

DIM: Teorema dei valori intermedi Teorema di esistenza degli zeri

⇒

F: [a;b] R , f(a) f(b) <0 : f([a;b]) è un intervallo

→

f(a) < 0 e f(b) > 0 0 f([a;b]) x ]a:b[ : f(x ) = 0

⇒ ∈ ⇒ ∃ 0 0

Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi

⇒

Sia y < y < y :

1 2

g(x ) = f(x ) – y = y – y y – y < 0

⇒

1 1 1 1

g(x ) = f(x ) – y = y – y y – y < 0

⇒

2 2 2 2

Quindi vale il Teorema di esistenza degli zeri per g(x) poiché essa in x e x

1 2

cambia segno, perciò x ]x ;x [ : g(x ) = 0

∃ ∈

0 1 2 0

da cui si ottiene g(x ) = f(x ) – y = 0

0 0

y ≤ y ≤ y x A : f(x) = y .

per cui ∀ ∃ ∈

1 2

TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE

1. Se f : [a;b] R è generalmente continua, allora

→

1

inf f ≤ ≤ sup f

()

∫

−

[a;b] [a;b]

2. Se f : [a;b] R è continua, ∃ x ∈ [a;b] tale che

→ 0

1

f(x ) = ()

∫

0

−

DIM: Poichè f(x) è continua in [a;b], per il Teorema di Weierstrass essa assume in

[a;b] massimo M e minimo m.

Quindi ∀ x ∈ [a;b] : m ≤ f(x) ≤ M.

Per la proprietà del confronto fra integrali risulta

≤ () ≤

∫ ∫ ∫

e per la proprietà di integrale di una funzione costante si ottiene

m (b – a) ≤ ≤ M (b – a)

()

∫

1

da cui si ottiene m ≤ ≤ M

()

∫

−

Per il teorema dei valori intermedi esso deve assumere almeno una volta i valori

1

compresi fra il massimo e il minimo quindi ∃ x ∈ [a;b] : f(x ) = ()

∫

0 0

−

TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI

Sia f : A R una funzione continua e supponiamo che f(a) abbia segno diverso da f(b).

→

Allora esiste x A : f(ξ) = 0.

∈

0

DIM: Supponiamo f(a) < 0 e f(b) > 0 (per l’altro caso si procede in maniera analoga).

Consideriamo l’insieme B = { x A | f(x) < 0 }.

∈

B è limitato superiormente perché M ≠ quindi esiste l’estremo superiore

⊘,

B

ξ = supB.

Se f(ξ) > 0, poiché f è continua in ξ, I : f(ξ) > 0 ma questo è in

∃ ξ

contraddizione con la proprietà di estremo inferiore: infatti sarebbe f(ξ) > 0

I , mentre in esso non ci possono essere punti dell’intervallo.

anche in ξ

Analogalmente se f(ξ) < 0, poiché f è continua in ξ, I : f(ξ) < 0 ma questo è in

∃ ξ

contraddizione con la proprietà di estremo superiore: infatti sarebbe f(ξ) < 0

I , mentre in esso non ci possono essere punti dell’intervallo.

anche in ξ

Mostriamo che f(ξ) = 0.

TEOREMA DI FERMAT

Se f è derivabile in x , con x punto di minimo o massimo locale per f, allora f ’(x ) = 0.

0 0 0

DIM: Se f’(x0) > 0, allora f in x risulterebbe crescente (decrescente),

0

()−( )

cioè U(x ) : > 0 x U(x )

0

∃ ∀ ∈

0 0

− 0 (>)

ma questo è incompatibile con la condizione richiesta dalla proprietà di minimo

(massimo) locale per la quale f(x) ≥ f(x ) x U(x ).

∀ ∈

0 0

(≤)

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f : [a;b] R continua in [a;b] e derivabile in ]a;b[.

→ ()−()

Allora esiste x ∈ ]a;b[ : = f ’(x ).

0 0

−

Esiste almeno un punto in cui la retta tangente al grafico in x è parallela alla retta che

0

congiunge gli estremi alla funzione. ()−()

DIM: Considero la funzione g(x) = f(x) - ovvero la differenza tra f(x) e

( − )

−

l’equazione della retta passante per i punti ( a;f(a) ) e ( b;f(b) ).

Poiché g soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle: ∃ x ∈ ]a;b[ : g’(x ) = 0

0 0

()−()

ottenendo così: g’(x ) = f ‘(x ) - = 0

0 0 −

()−()

da cui si ricava: f ‘(x ) = .

0 −