Teoremi sulle Derivate, sugli Insiemi Compatto e Connesso, Polinomio di Taylor

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TEOREMI

INSIEME COMPATTO ricoprimento

Dato con è detto una famiglia di aperti la cui unione

(, ) ⊆ , ℜ = { : ∈ ∧ ⊇ }

⋃

∈ℝ

comprende o è uguale a : r t i ) s i p

u

ò

è c o

m p

a

t t o d

a o

g n

i r

i c o

p

r

i m e

n

t o d

i e

s t r a

r

r e u

n r

i c

o

p

r i m e

n

t o c o

s

t i t u

i t o d

a u

n

(

c o

s t

i t u

i t o d

a a

p

e

≝ d

i a

p

e

r t i

n

u

m e

r o f i n

i t o �

è compatto è chiuso e limitato e ammette inf e sup

Dato [,

(ℝ, ) ≝ ≝ = ∧ ∃[, ]: ⊆ ]

esempio: è compatto, il singleton è compatto, non è compatto perché non è chiuso, o

[, {} (,

= ] = = ) = ℕ =

non sono compatti perché non sono limitati

ℝ

teorema di Bolzano – Weierstrass = se X è limitato e infinito allora ha almeno un punto di accumulazione:

• Se è limitato e infinito allora

dato con

(ℝ, ) ⊆ ℝ () ≠ ∅

dimostrazione:

se è limitato, allora [,

∧ ∃[, ] ∈ ℝ: ⊆ ]

 si suppone l’esistenza di è infinito} [ ( ) ]

[,

= { ∈ ]: [, ] ∩

 perché almeno il punto

≠ ∅ = ∈ ℝ

 è limitato perché [,

⊆ ]

 per la proprietà di compattezza di se è limitato, allora e sono numeri reali

ℝ, inf sup

 ∃ sup = : ∈ ℝ

 [,

∀ > 0, + ⊈ dunque + ] ∩ è infinita

per la definizione di estremo superiore �

 [,

∀ > 0, − ⊆ dunque − ] ∩ è finita

è infinita condizione per la quale

[ − , + ] ∩ ∀(), () ∩ ≠ ∅ ∈ ()

  

ha almeno un punto di accumulazione (C.V.D.)



teorema di Weierstrass (generalizzato):

• s e è c o

n

t i n

u

a i n a

l l o

r a è u

n i n

s i e

m e c o

m p

a

t t o

dato con sia

(, ) ⊆ , : → ⊆ (

(

)

)

dato con con = insieme delle immagini mediante di

(, ℬ) ⊆ → = () ()

insieme di tutte le immagini

= ()

mediante di una che sta in

teorema di Weierstrass (in

• ℝ): s e è c o

n

t i n

u

a i n a

l l o

r a a

m m e

t t e m

i n m a

x

dato con sia

(ℝ, ) ⊆ ℝ, : → ℝ (

(

)

) <

con compatto e finito

dimostrazione:

per il teorema di Weierstrass generalizzato, è un compatto di

() ℝ

 essendo compatto in è chiuso e limitato

ℝ, ()

 se è limitato, sia e

() ∃[, ]: inf () ∈ ℝ e sup () ∈ ℝ = inf () = sup ()

 

�

se è chiuso, ciò vuol dire che

() () = = () ∪ (()) (()) ⊆ ()

 

si suppone per assurdo che ∉ ()

 se allora ma quindi

= inf () ∈ (), (()) ⊆ (), ∈ ()

 l’assurdo prova la tesi (C.V.D.)

, ∈ ()



INSIEME CONNESSO è compatto

Dato con

(, ) ⊆ : ≝ ∃ , ∈ : ∩ = ∅ ∧ ∪ =

esempio: i connessi di sono i singleton e gli intervalli; le proprietà di connessione viene mantenuta da funzioni continue

(ℝ, )

teorema di Bolzano:

• s e è c o

n

t i n

u

a i n a