Serie di Fourier
f funzione periodica di periodo T.se ∀ x ∈ ℝ: f(x + T1) = f(x)
⇒ ∫xx+Tf(y)dy = ∫0Tf(y)dy
f soddisfa condizione di Diniin x0, se ∀ δ ∃ δ t.c.
limx→x0 ∫xx+δ f(x+y) - f(x)0 dy < ε
⇨ se f' = limx→x0 soddisfa la condizione di Dini
Lemma di Riemann:
limλ→∞ ∫ab g(x)sinλx dx = 0limλ→∞ ∫ab g(x)cosλx dx = 0
Dimostrazione:
g(x) limitata e g' integrabile per parti
Serie di Fourier
f funzione periodica di periodo T.
se ∀x ∈ ℝ: f(x + T) = f(x)
∫xx+T f(y)dy = ∫0T f(y)dy
f soddisfa condizione di Dini
x→x0 ∃{ x y0 < ε ∀δ ∃δ t.c. f(x + y) - f(x)
x=0 autogomento per ∀x
Legame di Riemann:
limA → ∞ ∫ab g(x)sinλxdx = 0
limA → ∞ ∫ab g(x)cosλxdx = 0
Dimostrazione:
g(x) limitato e g'' integrabile per parti.
∫xi + t g(x)sinλx dx =
- ∫xi + t g'(x)cosλx dx
= - [ g(x)cosλx ]xi
∫xixi+1 g4(x)cosxdx ≤ ∫xixi+1g4(x)dx < ∞
C.V.D.
Analogamente per cos x.
Identità trigonometrica di toglage:
1/2 + ∑nm=1cosma = sin(n+1/2)a/2sin a/2
Dimostrazione:
1/2 ∑nm=1cosma = 1/2 ∑nm=-ncosma = 1/2 ∑nm=-nei3ma
∑nm=-n exp(ismα) = exp(-sna)+exp(-s(n-1)a)+...+exp(sna) =
Raccog. exp(-sα) exp(-snα)
=> exp(-snα)[ 1+exp(isα)+exp(is2α)+...+exp(is2nα)]
Pongo ω = exp(isα)
1+ω+ω²+...+ω²n=ωn+1-ωn+1/1-ω
∑nm=0 ωm= 1-ωn+1/1-ω=ωn+1-1/ω-1
∑nm=0 ωn-m=ω⁻ⁿ-ω⁻(n+1) / ω⁻¹-1 = -ω (ωn+1 - ωn )=
exp( (n+1/2)iα) - exp( -(n+1/2)iα) / ω⁻¹/2
= exp( (n+1/2)iα) - exp( -(n+1/2)iα) / exp((n+1/2) iα) - exp (- (n+1/2) iα)
= sin((n+1/2)α) / sin(a/2)
= 1/2 + ∑nm=1cosma = 1/2 ∑nm=-nexp(isma) sin(n+1/2)a/2sin a/2
C.V.D.
Teorema: La serie di Fourier
1/2a0 + ∞∑n=1 (an cos nx + bn sin nx)
con an = 1/π ∫−ππ f(t) cos nt dt, bn = 1/π ∫−ππ f(t) sin nt dt, n ∈ ℕ
converge a f(x) ∀ f periodico con T = 2π continuo a tratti con derivata prima a tratti.
nei punti di discontinuità la serie converge a 1/2 [f(xL) + f(xR)]
Dimostrazione:
Sn(x) = 1/2a0 + ∫m=1n (am cos mx + bm sin mx)
Sostituisco a0, am, e bm e inverto ordine tra integrale e somma:
Sn(x) = 1/π ∫−ππ [f(t) + 1/2 ∫m=1n (cos mt cos mx t sin mt sin mx)] dt
= 1/π ∫−ππ [f(t) {1/2 + ∑m=1n cos m(t−x)}] dt
Noto che: ∫−ππ g(t)dt = ∫−ππ g(t) dt integrazione periodica
Sn = 1/π ∫dd+x sin (n + 1/2) (t − x) / 2 sin (t−x)/2 dt γ = t−x
identità trigonometrica Lagrange: Sn = ∑m = 1n cos x = sin (n + 1/2) x / 2 sin x/2
Observation
Sin(x)= 1/π ∫0π l(y-x) sin(n+1/2) y dy + ∫0π f(y-x) sin(n+1/2) y dy
= > Sin(x)= 1/2 [l(x1)+l(x-1)] = l(x)= 1/π ∫0π sin(n+ 1/2) y dy π(l(x) - (sin(nt)1/4/2sin1/2)
Sin(x)= 1/2 [l(x1)+l(
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