Teoremi - Fisica Matematica

Serie di Fourier

f funzione periodica di periodo T:

se ∀x∈ℝ: f(x+T) = f(x)

⇒ ∫ f(y)dy = ∫ f(y)dy

(x+T)=x = T-0

T=T

f soddisfa condizione di Dini in x₀ se ∀ε ∃δ t.c.

lim x→x₀ ∫_x^y(f(x+y) – f(x))αy < ε

lim x→x₀ a destra per x→x

⇒ se f è lim integrto soddisfa le condizione di Dini

Lim intercambiando le seguenti opzioni

Lemma di Riemann:

lim ∫_a^bg(x)sinλx dx = 0

lim ∫_a^bg(x)cosλx dx = 0

Dimostrazione:

g(x) limitata e g'¹ integrabile per parti

∫abΣi+1xi+2i

d/dx cos λ x = - λ/sin λ x

∫_a^bg(x)sinλx dx =

= [ -1/λ g(x)cosλx ]_i+1^x_i+2

= 1/λ g(x)sinλx = 1/λ Σ₁^x_i+2

1/λ g'(x)cosλxdx

Integrazione per parti:

Integrazione definita:

∫_a^b(f(x))'(g(x))dx=

[ f(x)g(x) ]_a^b - ∫_a^bg'(x)f(x)dx

∫_a^b(g(x))'(f(x))dx=

Integrazione indefinita:

g(x)cos λxdx = ∫ f'(x)g(x)dx

∫_a^b g(x)cosλxdx = ∫_a^b g^∞(x)dx < ∞

Analoga per cos x

Forma complessa: lim_λ→∞ ∫_a^b g(x)e^±3λx dx = 0

Identità trigonometrica di base

1/2 + ∑_m=1ⁿ cos mα = sin(n+1/2)α / 2sin α/2

Dimostrazione:

1/2 ∑_m=1ⁿ cos mα = 1/2 ∑_m=-nⁿ cos mα = 1/2 ∑_m=-nⁿ e^(3mα)

∑_m=-nⁿ exp(5mα) = exp(-5nα) + exp(-5(n+4)α) + ... + exp(5nα) =raccolgo exp(5α) exp(-5nα)=> = exp(-5nα) [4 + exp(5α) + exp(5(2α) + ... + exp(5(2nα)]

Pongo ω = exp(5α)

1 + ω + ω² + ... + ω²ⁿ = ω²ⁿ⁺¹ - ωⁿ⁺⁴ / 1-ω

Series geometrica∑_m=-nⁿ ω^m = ωⁿ - 1 + ωⁿ⁺⁴ = ωⁿ - [exp(5(n+7)) - exp(-5(n+1/4)α)] / 2

= sin(n+1/2)α / sin(α/2)

=> 1/2 + ∑_m=1ⁿ cos mα = 1/2 1/2 ∑_m=-n exp(5mα) = sin(n+1/2)α / 2sin α/2

C.V.D.

Notazione in forma complessa

Σ_m(x) = Σ_k=-nⁿ a_k e^j(kx)

= Σ_k=-nⁿ [ξ_k cos kx - ψ_k sin kx] δ [ξ_k cos kx + ψ_k sin kx]

• ξ_k = ξ_-k = 1/2 a_k
• ψ_k = -ψ_-k 1/2 b_k
• a_k = 1/2 (a_k - b_k)

α_k = 1/2π ∫_-π^π f(x) exp(-j kx) dx

Se f ϵ f' continua ‹ὐ‹ό‹ ήηηο ο ο tutti και ἐ περιοδικη con (T=στύ)

f(x) = Σ_k=-∞^∞ a_k e a^jκ = 1/2π ∫_-π^π f(x) exp(-j kx) dx

Serie di Fourier (per funzioni non periodiche) = considerando funzione dato = funzione (non periodica) in un intervallo ristretto [-π, π] e poi estendiamo su tutto ℝ come funzione periodica.

Serie di Fourier per un intervallo generico

g(x) è periodica di periodo generico.

xϵ[-1, π-1], γϵ[a, b]

x → γψ − α = (b − a)/2π (x + π)

ĝ(x) = C a + b e^2π e (x + π)] periodica di periodo 2π

g(x) = 1/2 a₀ + Σ_k=1^∞ [a_k cos kx + b_k sin kx]

a_k = 1/π ∫_-π^π ĝ(x) cos kx dx, b_k = 1/π ∫_-π^π ĝ(x) sin kx dx

Condizioni iniziali t=0 :

f(x) = ∑_k=1^∞ c_ksin (kπx/L), x∈[0, L]

Stima: la serie va bene ma possiamo solo servircene con x∈[0, L] inoltre non serve per ottenere parametri transitivi ci serve allora una serie di Fourier.

Allora prendiamo l'intervallo raddoppiato [-L, L], f dispari. (f(-x) = -f(x))

f(x) = ∑_k=1^∞ c_ksin (2πk(x+L)/2L) = ∑_k=1^∞ (-1)^k c_ksin (2πk x /2L)

Identifico c_k con ck(-1)^k

Studiamo la parte in t dato l'exp: exp( - n²π² k t /L² ) il calore si raffredda nel tempo

=> exp( - t / τ_k ) con τ_k = L²/(k²π²)

Se k=1 => costante su max.

Per costanti di tempo piccole si smorza subito.

Vedo come ultima che diminuisce quella che decresce più lentamente t max, k=1.

Nei sistemi del calore: T = L² / K*λ₂ λ = rapporto tra conducibilità e calore specifico

Teorema: se f è L continuo

\(\int_a^b f(t) dt \leq \int_a^b L(\gamma(t)) \cdot ||\dot{\gamma}(t)|| dt\)

se |f(t)| ≤ M su C e l è la lunghezza di C.

\(\left| \int_C f(t) dz \right| \leq Ml\)

Teorema (Cauchy)

Formula di Gauss Green

Premesse: C = curva con coordinate x, y, con \(x = x(t) , y = y(t)\),

\(\int_C g(x, y) dx = \int_{t_1}^{t_2} g(x(t), y(t)) x'(t) dt\)

\(\int_C g(x, y) dy = \int_{t_3}^{t_4} g(x(t), y(t)) y'(t) dt\)

Formule:

• normale rispetto ad y
• D = \(\{ x, y : y \in \left[ c, d \right] \} \),
• \(x = \xi(y)\) \(\left\{ \begin{array}{l} \\ \end{array} \right. \)

D regione regolare di piano con frontiera \(\partial D\) (senso antiorario)

\(\int_{b}^D \partial_x f(x, y) dx dy = \int_{\partial D} f(x,y) dy\)

\(\int_{\partial D} g(x, y) dx = \int_{D} \partial_y g(x, y) dxdy - \int_{D} \partial_x g(x, y) dxdy\)

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio di grado n, n ≥ 1, ha n zeri in ℂ

Dimostrazione: generico polinomio

Q_n(t) = b_ntⁿ + b_n-1t^n-1 + ... + b₁t + b₀

ne gli stessi zeri di

P_n(t) = Q_n(t) / b_n

tⁿ + a_n-1t^n-1 + ... + a₁t + a₀

con a_k = b_k / b_n

Per z₀ = 0 c'è uno zero di P_n(z) e Q_n(z).

Se da z₀ assurdo

f(z) = 1 / P_n(z)

Per assurdo, se P_n(t) non si annulla => f(z) costante MA:

f(0) = 1 / z₀ = 1,

f(z) → ∞ per |z| → ∞

chiamiamo z₁ il punto in cui le funzione P_n(z) si annulla.

P_n(z) = (z - z₁)P̂_n-1(z)

P_n(z) / (z - z₁)

Usiamo il ragionamento finché il grado è > 1

P_n(z) = (z - z₁)(z - z₂)... (z - z_n)

∫₀^π exp(δt) / t exp(i δ exp(isθ)) dθ = f(δ, t) ∫₀^π exp(i s exp(isθ)) dθ dθ = π ε t = t₀

⇒ ∫₀^π exp(3ε exp(isθ)) ds ⇒ -3π pre ε < 0

exp(3ε exp(isθ)) dθ ≥ 1 pre ε ≥ 0

∫₀^π sinx / x dx = π cosθ / x dispavi

sinx / x dispavi ⇒ 1

⇒ sinc x := sinπx / πx , sinc x → 1 pre x → 0 ∫_-∞^∞ sinπx / πx dx = 1

sinπx / x dx = 1 / πx dx ⇒ x' < 1

sinc x

Calcolo A superficie emisferico di raggio R:

emisferico θ ∈ [0 π/2] angolo tra z e vettore

φ ∈ [0, 2π] angolo tra x e proiezione vettore su (x, y)

r = (R sinθ cosφ, R sinθ sinφ, R cosθ)

∂_φ r = (-R cosθ sinφ, R cosθ cosφ, 0)

> λ

|∂_φ r| = R sinθ

∂

∮A = R² ∫₀^2π dφ ∫₀^π/2 sinθ dθ = 2πR²