Teoremi meccanica

TEOREMI MECCANICA

• DEFINIZIONE CORPO RIGIDO = PROPRIETA'
• TEOREMA H RIVALS _A = _C + ω^(A-C)
• TEOREMA DI EULERO
• TEOREMA DI CHARLES
• 1^a EQ CARDINALE J_Q r''(C) = R_Q(e)
• 2^a EQ CARDINALE
• BARYCENTRO v_G - v_Q = ω
• MOMENTO QTA DINAMICO I_o = I_o (e
• MOMENTO DI INERZIA I =
• FORMULA DEL TRASPORTO I_B = I_A + Q ∧ (3 ∧ )
• MOMENTI DI INERZIA PER ASTA E DISCO
• TEOREMA HUYGENS-STEINER I_B = I_A + λ*′m
• 3^a EQ CARDINALE TEO. ENERGIA CINETICA T = 1/2 ₂
• POTENZA A = dT / dt
• SECONDA FORZA TEO. ENERGIA CINETICA ΔT =
• PLV
• EQ LAGRANGE
• TEOREMA DI DIRICHLET
• CINEMATICA RELATIVA
• TEO DI GALILEO

TEOREMI MECCANICA

• DEFINIZIONE CORPO RIGIDO = PROPRIETÀ
• TEOREMA II RIVALS
• TEOREMA DI EULERO
• TEOREMA DI CHARLES
• 1ª EQ CARDINALE
• 2ª EQ CARDINALE
• BARICENTRO
• MOMENTO QTA DINMICO
• MOMENTO DI INERZIA
• FORMULA DEL TRASPOSTO
• MOMENTI DI INERZIA PER ASTA E DISCO
• TEOREMA HUYGENS-STEINER
• 3ª EQ CARDINALE TEO ENERGIA CINETICA
• POTENZA
• SECONDA FORMA TEO. ENERGIA CINETICA
• PLV
• EQ. LAGRANGE
• TEOREMA DI DIRICHLET
• CINEMATICA RELATIVA
• TEO DI GALILEO

1. FORZA DI CORIOLIS
2. DINAMICA RELATIVA
3. FORMULE DI POISSON
4. EQUILIBRI
5. CORPO IN 3D

1. DEFINIZIONE DI CORPO RIGIDO E PROPRIETÀ

A)- il segmento AB appartenente al CR. è costante nel tempo - VINCOLO DI RIGIDITÀ ∀A,B ∈ CR.

B)- ∀ A,B,C ∈ CR, l’angolo θ compreso tra i segmenti generati dai punti rimane costante nel tempo

Dim – Teo di Carnot

c² = AB² + AC² - 2AB∙AC∙cosθ

( derivo tutto )

d/dt (c²) = d/dt (AB²) + d/dt (AC²) - 2/2(AB∙AC∙cosθ)

i segmenti sono costanti → 0 = 0 + 0 + AB∙AC(senθ∙θ̇)

senθ∙θ̇ = 0 → θ̇ = 0, θ = cost

C)- Anche se le derivate Va e Vb sono diverse, la loro proiezione sulla base da congiungere i punti di applicazione delle velocità sono uguali

Dim: AB² = (B-A)∙(B-A) = cost

d/dt [(B-A)∙(B-A)] = 0

d/dt [(B-A)∙(B-A)] + (B-A)∙[d/dt (B-A)] = 0

4. Teorema di Charles (costruzione)

Conoscendo la velocità di due punti di un corpo rigido si può ricavare il centro di istantanea rotazione. Dim. Hp C: C.I.R.

• Tl V_B ⊥ (A-C)

C: centro di istantanea rotazione (può essere anche esterno al corpo)

V_A = V_A^* + ω ∧ (A-C)

⇒ V_A^* ⊥ ω→ V_A deve essere ⊥ sia a ω che (A-C)

5. 1^o Eq. Cardinale

È detta anche "legge di moto del baricentro"

d/dt Q_(e) + Q_(e)

Q: quantità di motoDim. Q = Σ_i=1ⁿ m_i v_i F_i = m_i a_i

Σ_i=1ⁿ a_i = Σ_i=1ⁿ a_i = Σ_i=1ⁿ d(v_i)/dt = d/dt Σ_i=1ⁿ v_i

= d/dt Σ_i=1ⁿ m_i v_i = dQ/dt

⇒ F_i = R_(e) i + Q_(e) - dQ/dt

6. 2^a EQUAZIONE CARDINALE

∫_t0^t d_t^(e) + _t⁽ⁱ⁾ = N₀ t M₀ b t V₀ ^ t

Io = il momento della quantità di moto definita come : _t0 = ∑ (_i - l_{t0 braccia quantities di moto} dim: d_t0 / d = ∑ (_i - l_t0 ^ l_i)= d [ • _i l]_t0⁽⁾/dt]= d • _t0 d, d _t0 ρ = M / T^2

I_o = ∫₀^2π ∫ r d•d•g•r²

= ρ•2π ∫ r d = M / T²•2π ∫ (r⁴)₀^L

= 2M / x^2

= 1/2 MR²

- Momento di inerzia di un'asta omogenea nell'ESTREMO

I_A = ∫ ρ x^2 dx = ρ∫₀^L x^3 / 3 = ρ L³/3

= M / l³•L = M•l²/3

= M(l²)/3

₁₀

- Calcolo del momento di inerzia di un DISCO CILINDRICO in PERIFERIA

(tramite teorema di Huygens-Steiner) Io = Ia + ΔM

_“o”

IH = Io + M₁²

IH = ^3MR2 / ₂

- Calcolo del momento di inerzia di un ASTA omogenea nel BARICENTRO

G

IA = Iga + l²M

IG = IA - ^l2 / ₄ M

= ^1Ml2 / ₃ - ^4Ml2 / ₄

= ^1Ml2 / ₁₂

10. FORMULA DEL TRASFERIMENTO

Γo = ΓA + Q ∧ (B - A)

Γo = ξ[(R - B) ∧ miü]

= ξ[(R - A) + (A - B)] ∧ miü

= ξ(R - A) ∧ miü + ξ(A - B) ∧ miü

= ГА + (A - B) ∧ ξ miü

= ГА + (A - B) ∧ Q̈

= ΓA - Q ∧ (A - B)

= ΓA + Q ∧ (B - A)

(_VB−_VA) (B−A) + (B−A) (_VB−_VA) = 0

∫ (_VB−_VA) (B−A) = 0

(_VB−_VA) (B−A) − (_VA∙B − _VA∙A) + (_VA∙A) = 0

(_VB−_VA) (B−A) = _VA (B−A)

_VB (B−A) = _VA (B−A)

2. TEOREMA DI RIVALS

Il teorema di Rivals afferma che esiste una velocità

angolare Ω tale che _VB−_VA + ΩΛ (B−A), in cui

ΩΞ non dipende dalla coppia di punti A,B.

Dim.: nel piano

ω = Ω_zk̂ (nel piano xy)

AB = (B−A), (AB.cosΘ; AB.sinΘ)

Ω (B−A) = AB.sinΘΩ̂, AB.cosΘΩ̂

d

dt _VB−_VA = − (AB.sinΘ̂; AB.cosΘ̂)

(ω Λ (B−A) =

| î ĵ k̂ |

| 0 0 Ω_z |

| AB.cosΘ AB.sinΘ 0 |

= −AB.sinΘ̂ + AB.cosΘΘ̂

_VB−_VA = ω Λ (B−A)

⏗ _VB = _VA + ω Λ (B−A)

Dim: indipendenza di ω da AB

Δ ACH

β + ψ + α + θ = π (somma di angoli opposti)

ψ + φ + θ − φ = 0

φ = θ

N.B. Vale anche nello spazio

3. Teorema di Eulero

Un corpo rigido piano può avere solo un moto traslatorio o rotatorio.

Dim. Hp ω̅ ≠ 0

Ṿ̃a = Ṿ̃c + ω̅ ∧ (A−C)

Se ω̅ ≠ 0 => Ṿ̃c ∧ ω̅ = 0 (rotatorio)

Se ω̅ = 0 (traslatorio)

Ṿ̃c = 0Ṿ̃a + ω̅ ∧ (ˆC−ˆA) = 0Ṿ̃a = Ẋ_a ˆi + Ẏ_a ˆjṾ̃a = ω̅ ∧ (ˆC−ˆA) = î j k = −θ̇

(Y_c−Y_a)ȷ̂ + (X_c−X_a)̂ⱼ

i) Ẋ_a (Y_c − Y_a) ȷ̂j) Ẏ_a = (X_c − X_a) θ̂

γ̇c = Ẋ_a θ̇X_c = ҉ӿ̈אx