Meccanica razionale, teoremi + dimostrazioni

Meccanica Razionale

Calcolo Vettoriale

Osservatore: Sistema di riferimento rispetto al quale si misurano le lunghezze e il tempo.

Vettore (intensità, punto di direzione, verso)

Vettori equipollenti

Orizzontale: Passando da un punto P ad un altro Q, si preservano intensità e direzione ma il verso è indifferente.

Vettore nullo: magnitudo zero

Versore: Vettore di modulo 1 -> m = 1

Teorema: Scomposizione dei vettori

È sempre possibile scomporre un vettore δ nella somma di due vettori aventi direzioni disgiunte, cioè direzioni e componenti.

Proiezione del vettore δ: ciascun punto H, tale che H = a ⋀ b = (0 + c')

È sempre possibile scomporre un vettore in una somma di 3 vettori inversamente orientati. Disgregando due componenti rispetto a...

Operazioni sui Vettori

Somma:

• δ + α
• Rettifica

Differenza:

• δ' = δ + α = β
• c = (c - b)

Moltiplicazione:

Angolo tra due vettori: Si definisce angolo tra due vettori δ, α...

Proprietà:

• Commutativa: a + b = b + a
• Associativa: (P + Q) + S = P + (Q + S)
• Distributiva: m(a + b)

... condotto che permette di risolvere analoghe situazioni partendo dal concetto di equivalenza. Vettore zona corrispondente direzioni...

Prodotto scalare

Il prodotto delle moduli dei vettori per il coseno dell'angolo formato

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos\theta\)

Affinché due vettori siano non nulli: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) ⇔ \(\vec{a} \perp \vec{b}\)

• Commutativa \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)

• Associativa \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} \neq \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})\)

• Distributiva \(\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)

Teorema

Sia \(\alpha\) un vettore. Siano \(\vec{m}_1, \vec{m}_2, \vec{m}_3\) vettori distinti non nulli e complanari: si verifica che \(\vec{m}_1 = 0\), \(\vec{m}_2 = 0\), singolo allora \(\vec{\alpha} = 0\)

Prodotto vettoriale

\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}\)

Orientati dalla regola della mano destra.

\(\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}\)

• Commutativa \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a}\)

• Non commutativa \(\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}\)

• Associativa \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\)

• Distributiva \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)

Geometria delle Masse

Concetto di Massa

Proprietà intrinseca dei corpi connessa col loro stato di moto

• Discreto (sistema di un n. finito di punti materiali) \( M = \sum m_s \)
• Continuo \( \rho(\xi) \) densità di massa diffusa. Vedi \( e_e \) cubetto di volume \( \Delta V \rightarrow f \) facciamo \(\Delta V \rightarrow 0\) frazione di volume attorno al punto diventano infinitamente piccole e tendono allo zero

\( M = \int \rho(\xi) d\xi \)

\( m = \rho \cdot v_e \)

Baricentro (Centro di Massa) \( \langle G \rangle \)

Def

\( G = (o-s) = \frac{\sum m_s (p \rangle x_o \langle _s)}{\sum m_s} \) con \( (p_s, m_s) \ \subset R \)

\( G = \frac{\int \rho(\xi)x d\xi}{\int \rho(\xi) d\xi} \) \( x_o = \frac{\int \check{\xi} x d\xi}{\int \rho (\xi) dx} \)

Oss: Si individua il baricentro sulla posizione del filo omogeneo

• Si usa un baricentro a seconda del baricentro in linea retta ed il momento di spostamento (angolo dedotto dal taglio baricentro)
• Con individuo di volume posiziono individuazioni di piani e contenitori
• Le coppie di sotto piani particolari ruotano sul baricentro del corpo
• Se l'oggetto meccanico risulta uniforme si computa sull’omogeneità del movimento
• Se l’oggetto si progetta con simmetria di piani si internazionalizza il corpo elettricamente \( O = \vec{A} \)

Momenti di Inerzia

Si definisce momento di inerzia di un sistema di punti materiali con rotazione rispetto ad asse in m.r. rispetto all'asse rigido

• Caso discreto \( I = \sum m_s l_s^2 \)
• Caso continuo \( I = \int \rho(\xi) s^2 d\xi \)

Se è condotta come ad un corpo rigido e con asse fisso rispetto al corpo rigido si calcola su un piano integrale con momenti di rotazione rispetto ad asse perpendicolare

Corpo rigido: Si dice corpo rigido un sistema ed è l’insieme da due interni, le cui distanze rimangono costantemente tenge

(Calcolo Momenti di Inerzia)

3°) Teorema di Huygens

Supponiamo di avere \( P(p_s, m_s)_{s=1}^n \) in un sistema interno, noto il momento \( m_s \) che all'istante resta ovunque nel rispetto delle posizioni del baricentro, sarà il momento rimarrà rispetto ad un qualsiasi retto \( \langle G \rangle = \int \xi * x dx \)

\( I = I_0 + Md^2 \) con \( M = \sum_{s=1} m_s \)

ACCELERAZIONE

a(_t) = (d²r/dt²) = d/dt (dr/dt) = d²r/dt² = d²(P(s) - O)/dt

Forma Intrinseca

d_s/(ds/dt) = dt ⇔ ṡ + d/dt

dṡ/dt . ṡ = ṡṫ + ṡ⁄ρ_n

a̲_t = ṡ̇p = dei tangenziali a̲_n = ṡ²/ρ_n . due componenti a normale

Casi: a̲_t = 0 quando s = 0 ⇔ s cost. (ṡ₀) noto calcolare b. ṡ̇ ... la componente centrilipe

a̲_n = 0 quando ṡ = 0 quando non ∗ tutto oppure quando 1/ρ_n = 0 ⇔ ρ_n = ∞

⇔ significa che la curva è rettilinea MOTO RETTILINEO a. MOTO UNIF. RETTIL. ⇔ ṡ = 0

Forma Cartesiana

a(_t) = ẍî + ÿj = r̈

Classificazione dei MOTI

1. s(t) = ṡ₀t + s₀

MOTO UNIFORME

1. s(t) = 1/2 a ₀t² + 2₀t + s₀

MOTO UNIFORMEMENTE VARIO

1. s(t) = A cos(ωt + φ)

MOTO OSCILLATORIO ARMONICO

A₀(¾)m s₀

frecze n nebb. cos (U)(ωt + 2π . x 0) = -A cos(ωt + φ)

Un moto di equazione come s(t) si dice Periodico se ∃ T(x) s(t) = s(t), ∀ t

il minimo T positivo viene detto PERIODO

il moto oscillatorio armonico è periodico di periodoT = 2π

s(t) ( t ). . . A cos (wt + 2π . x) . . = A cos(ωt + φ) = A cos(m . φt² + b^x)

la frequenza di tbb moto sia f = t₀ = ω/2π

Teorema

∃ C.S. affine allo stato cinetico rigido con ω̇ = 0

∂ per un polo O_P tale che

dω/dt = 0

oppure

dI/dt ω = α

Th: dϕ/dt = ω_Z

1. Hp e corrisponde un C.S. con O_P polo →
2. C.S

dω/dt = α,

dI/dt ω = (P = O)

-> ω × ϖ(P = O) = (ω(p = O))

-> se ω(t) = 0

• dω/dt porta a dimos. 3ω cos(ω, ω)
• dI/dt ω → V(ϖ, ω) con polo fisso

3ω α = τ × (P-0)

Se ho α × (ω̇(ω × (P-0)) → α × (P-ω))

Th: stato con movimento rotazione

Ellissoide

Supponiamo che dp/dt → τ ω

axis di Nozzi

velocità di spaziamento

Teorema di Nozzi: C.S. affine allo stato cinetico rigido sull'ellissoide

Hp con ω ≠ 0

Th: I ≠ 0 →

dω/dt ω = (P = O) v.n. (V(t))

Th detto con ellissoide

dI/dt (ϖ, ω) = 0

dI/dt ω = 0