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Disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e triangolare
∀ x, y ∈ ℝn
|x + y| ≤ |x| + |y|
Dim
|x + y|2 = (x + y) ⋅ (x + y) = x ⋅ (x + y) + y ⋅ (x + y) =
= x ⋅ x + x ⋅ y + y ⋅ x + y ⋅ y = |x|2 + 2 x ⋅ y + |y|2 ≤ |x|2 + 2||x|| |y| + |y|2
(CS) Cauchy-Schwarz
= (|x| + |y|)2
Rettificabilità delle curve C1
(a)
Se f : [a, b] è di classe C1 ⇒ f è rettificabile e ℓ(β) = ∫ab |l'(t)| dt .
Dim di (a) e solo se di (b)
= partizione di [a, b], ℓ() = ∑i=1n |l(ti) - l(ti-1)| =
siccome l ∈ C1 uso il T.F.C.
= ∑i=1n |∫ti-1ti l'(t) dt| ≤ ∑i=1n ∫ti-1ti |l'(t)| dt = ∫ab |l'(t)| dt
⇒ sup ℓ() ≤ ∫ab |l'(t)| dt .
Ascissa Curvilinea
È una riparametriz. equivalente ↔ f.c. |Γ'(τ)| = 1 ∀ τ
Costruzione
t: [a1, b] Rⁿ regolare s: [a1, b] → [0, ℓ(t)]
t → ∫0t |t'(u)| du =: s(t)
s ∈ C1 s'(t) = |Γ'(t)| > 0
⇒ ∃ inversa di s: [0, ℓ(t)] → [a1, b]
s ↦ t(s)
Prop.
Γ-(s) = Γ(t(s))
Dim
t'(s) = 1 / s'(t(s)) > 0
Γ(t) = Γ-(s(t))
dΓ / dt = dΓ-(s(t)) / dt = dΓ- / ds ds / dt = v(t) dΓ- / ds
v(t) = |dΓ / dt| = v(t) |dΓ- / ds|
⇒ |dΓ- / ds| = 1.
⇨ |t'(t)|
Formule di Taylor di ordine 2 con il resto di Peano
f ∈ C2(A), xo ∈ A ⇒ f(xo+h) = f(xo) + ∇f(xo)·h + 1/2 hTHf(xo)h + o (|h|2)
per h → 0
bisogno
V = h / |h| g(t) := f(x0 + t V) ∈ C2 in (3-ε, ε[I]
g(0) = f(x0) g'(t) = ∇f(x0 + t V) · ν = ∑ ∂f/∂xi () Vi
g''(t) = ∑i,k Vi ∑j=2 ∂2f/∂xj∂xi (x0 + t y) V3
g'(0) = ∇f(x0)·ν g''(0) = ∑i,k tij xij (x0) ViV3 = VTHf(xo) v
F. W Taylor per g ⇒
f(xo+t V) = g(t) = g(0) + tg'(0) + 1/2 tg''(0)t2 + o(t2), t → 0
t = |h|
t V = h
Criteri di definitezza per le forme in due variabili
M = ( a b / b c) φ(h,k) = a h2 + 2 bhk + c k2
1) a ≠ 0 • φ def. posit. ⇔ { det M > 0 a>0
• φ def. negat. ⇔ {det M > 0 a 0 (neg.)
(a
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