Teoremi riducibilità, Meccanica razionale

Studio della risolubilità di un S.S.R verso Z

Abbiamo iniziato lo studio della risolubilità di un S.S.R ➔ Z. Sappiamo che vettori S.S.R più semplici/elementari ("mattoni fondamentali") sono:

• Un vettore applicato
• La coppia

Essendo "mattoni" fondamentali possiamo dire che ogni S.S.R è riducibile a un vettore applicato piuttosto ad un altro attraverso operazioni di calcolo già definite. Ogni dato di sostituzione di un vettore applicato fra due vettori applicati (triangolo) e viceversa possono sostituire anche altre operazioni elementari.

Operazioni derivate sui S.S.R

1. Eliminare una coppia di bracci mettendo uno di bracci sulle vettoriali in disuso ponendo il sito. NB: Attributo dei propri per braccio ridotto per la distanza fra due rette di applicazione dei vettori di una coppia. Quindi il braccio non è un vettore:

   • Voglio eliminare {(A, Ȳ), (B, Ȳ)}
   • Aggiungo la coppia {(A, ‾Y), (B, ‾Y)}
   • Sostituisco i vettori (A, Ȳ) con (A, Ô) e (B, Ȳ), (B, Ȳ) con (B, Ô)

2. Trasportare un vettore (A, Ȳ) lungo la propria retta di applicazione fin oltre il punto fisso:

   • Voglio traslocare (A, Ȳ) lungo la propria retta d'applicazione
   • Aggiungo in B la coppia (B, Ȳ) (B, Ȳ)
   • Sopprime la coppia di braccia nulla {(A, Ȳ), (B, Ȳ)} e calcolo Σ = (B, Ȳ)

Queste operazioni derivate su un vettore si tornerà in un incambio proprio sopra ad ogni polso... La dichiarazione è già stata vista per le operazioni elementari, lasciati descrivere quelle descritte.

Operazioni derivate sui S.S.2

1. Elimino una coppia di braccia su una di esse, che risulta nel disegno padre del sistema. NB: Attributo dei propri per braccio implica la distanza fra le due teste di applicazione dei vettori della coppia. Quindi il braccio non è un vettore:

   • Voglio eliminare _A,_B
   • Aggiungo la coppia _A,_B
   • Sostituisco i vettori _A,_B e _B,_A con _B.

2. Trasporto un vettore _A lungo la propria retta d'applicazione una volta derivata la chiara identità risultante priva di una parte esterna del movimento planare:

   • Voglio traslocare _A,_B lungo la propria retta d'applicazione
   • Aggiungo in B la coppia _B
   • Sopprimo la coppia di braccia nulla _A,_B e scrivo Σⁱ.

Conclusione

Trasformando un sotto ∑ con un numero finito di passi ciascuno costituito da una riduzione elementare, e non derivati, si arriva ad avere un sotto ∑^* equivalente a ∑ ( ∑^* = ∑ ) e in questo ̅R = ̅R^* e ̅Qa = ̅Qa^* ∀ Qa

Definizione

Un sotto ∑ si dice riducibile ad un sotto ∑', se esiste una sequenza (NB!) di sequenze e operazioni elementari di numero finito. Finite di operazioni elementari e derivate tale che tale sequenza, partendo da ∑, la trasforma in ∑'.

Un sotto ∑ si dice riducibile a zero, e viene proprio a ridurlo a una sola ∑' costituito da sole coppie di bracci nulle. Si scrive ∑ rid O∑ dove qui coppia di bracci nulla e non O∑.

Teorema

∑ rid ∑' ⟺ ∑ ∼ ∑'

Dato che un sotto ∑ è riducibile a ∑', allora i due s.n.s. sono equilibrati.

Vediamo che:

1. ∑ rid ∑' ⟹ ∑ ∼ ∑'

Dim: segue dalla definizione

Corollario

∑ rid O∑ ⟹ ∑ c ⟳ O∑ ovvero ∑ = O e ̅R = O̅

In parole: Un s.n.s. riducibile a zero ha risultante e momento privi nulli rispetto ad ogni polo.

2. ∑ ∼ ∑' ⟹ ∑ rid ∑' superiore

Dim: Si dimostra coi loro successivi.

Considero ∑ = { P_n, V_α, α = 1...n } = { P_a - V_α, α = 1...n } - ∑ ( P_a - V_α, α = 1...n )

∑ = ∑_1⁺ - ∑ = ∑₀ ∪ - ( ∑ )

Dimostriamo che ∑ rid ∑' ⟹ ∑' rid ∑

Sia ∑ = ∑' ; ̅R = ̅R_' ; ̅Qa = ̅Qa_' ∀ polo Q

∑ – ∑' ha ̅R = ̅R_' – O = O̅Qa = ̅Qa_' - ̅Qa_' = O

Quindi ∑' - ∑ è un sotto equipilibrato, così facendo si braccio nullo ∑' - ∑ rid O∑

∑ = ( ∑ + ∑' – ∑) = ∑ + ( ∑' – ∑)⟹ ∑ = ∑ + ( ∑' – ∑) + 0∑

Parte da una e aggiungi alle coppie di bracci nulle ( ∑' - ∑ ) e ovvero ∑ rid ∑ rid

Lezione

Dato tre punti ₁, ₂, _{3), uno di essi è profilo e u scelto sione punto:}

• di₁ rid _i = {₂, ₃)}.

₂,... _n} un s.s.o.

1. Prendo un generico ,_i Sestere untras posto. Sicur Pu₂,₃ propri non conseguiro..
2. Consegue ora Pu coro i punti ₁.₂.₃₂. Suor tre vettore ri cronente incomplitable
3. Scaguogio tico lugo d₂,₃
4. Cra che lio scoposto Lil trasporto ser.₁,₂₃

Conclusione: Ogni _i ridicolente tri vector aplicato.

Lemma 2.3

Ogni ∑ = {(P_x,̅) x=1,...., } è riducibile a 2 vettori applicati dei cui uno dei ̅ è applicato nel un punto A₁ fissato a piacere

DIM: Sia ∑ come in 5.2.3. Scelgo un punto A ∈ S. Per il lemma 1. il ∑ è riducibile a 3 vettori applicati {(A₁,̃₁),(A₂,̃₂),(A₃,̃₃)}=∑ con A₁,A₂,A₃ punti scelti a piacere

Sia π₂ il piano per A₁ contenente (A₂,̃₂)

Sia π₃ · · · (A₃,̃₃)

Se π₂ ≡ π₃ È il caso Euclideo: si procede con un solo piano

Se π₂ ≠ π₃ i due piani hanno orientazione diversa, perciò serve intersezione su retta si interseca una retta A₁ ∈ π₂ ∩ π₃ {β} Scelgo su tale retta Q (Q a piacere)

Congiungo QA₂ e QA₁ Scompono i ̃₁ lungo le diretrici γ(stesso per due rette r)

̅₁ ⊥ γ Trasporto ̅₁ su A₁ ̅₂ su Q (lo stesso per lungo le due rette) ̃₂

Faccio la somma dei vettori (Q,̃₂ e (A₁,̃₁) su entrambi i piani

Quindi ho scomposto i tre vettori applicati (A₁,̃₁) (A₂,̃₂), (A₃,̃₃) in 2 vettori applicati di cui uno è fissato in A₁ scelto da me all'inizio

Teorema fondamentale di riducibilità

Ogni sotto _Σ = {(P_x, V_x), x=1,..., n} è riducibile se un qualsiasi un vettore applicato in A, punto proprio dello spazio è una coppia

Σ rid _Σ t.c. Σ rid del _Σ perché può diventare riducibile

Un sistema il rid può essere riducibile del suo risultante detto regolo applicato io poi una coppia

NB: DIM: Sia _{Σ un sist. qualunque e sia A1 il punto proprio dello spazio (A1 ∈ S).}

Posizioni bene il -_Σ rid . e _i ∈ V t.c. _{Σ è riducibile a Σ = {A1, Vi}, (Q, 0 .-)}

1. Sia Z' punto da (A₁, V_i) ∈ (Q, 0 . )
2. In A_i aggiungo la coppia (A - V_i) (A - 0 .)
3. Risultano V_i + V_i con il loro risultante R R = V_i + V_i
4. Dimostrato

Nota: Riposizionare R opporre la coppia (così afasiori)

Vediamo ora i sistemi di vettori applicati che si possono ridurre ad un solo vettore applicato in un punto o a un solo coppia (con più semplici esempi).

Definizione

Dato un qualunque _Σ il suo M(_C) è una torsione. Nel caso in cui i punti di numerose forze della _F e torsore dati _zo, tale torsore ammette una rappresentazione geometrica: l'asse centrale α del torsore M(_C) , è detto asse centrale del sistema _Σ.

Per essere più precisi, questo punto giacendo sull'asse centrale della _Σ individuata l'asse centrale del torsore Y_c (di numerosi punti) perché nulla sarà un torsore: Così l'asse centrale di una _Σ è l'asse centrale del suo momento polare che è un torsore.

Corollario

_Σ è riducibile a un solo vettore applicato oppure a una sola coppia ⇔ il suo torsore risultante è nullo. (Il Torsore risultante di una _Σ e il torsione puntuale del vettore polare di _Σ) cioè: _Yc (R_c) = 0 ⇔ V Q

Appio per 1.1 fondamentali di riducibilità, cioè: Z₂ riduce Z¹ t.c. Z₂¹; { (A₁, R) } ∪ { (A₁, V); (Q - Vã) } ⇔ { Q e S | 3 iT è V Ma Yã = 0 perché Yã = 1R Se Rã = 0 allora _Σ è riducibile alla coppia Y₂Rã = 0 Se Rã≠0   _Σ è riducibile a (A₁, R ) e ∠AM = 0 ⇔ 方面Rã = 0 Sia M&hat;aRã = 0   _Σ è riducibile per il teorema fondamentale ad un vettore applicato e una coppia. Se Rã = 0 allora _Σ è riducibile alla coppia. Rã≠0 allora YãαRã = 0   SullegAti che annulla dei suoi polari. Yãα/Rã Yã YãαRã = 0  →  Yãα ⊥Rã≠0+ Yã⊥α⇒ £ Yaã = 0 perché l'unico modo affidata sia ∥ e ⊥ Rã