Teoremi Analisi 2

CAP.1

calcolo differenziale

TEOREMA dei valori intermedi

Sia f(x, y) continua in A ⊂ ℝ², A convesso per archi. Allora presi comunque (x₀, y₀), (x₁, y₁) ∈ A, la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori f(x₀, y₀) e f(x₁, y₁)

DIM Dato che A è un insieme convesso per archi, presi comunque P₀=(x₀,y₀) e P₁(x₁,y₁)∈A, sia ϕ:[0,1] ⇒ ℝ² una curva di sostegno di [0,1] ⊂ A (ϕ(0) = P₀ e ϕ(1) = P₁) e, con t, essendo f(x, y) continua : ∃ ϕ(t) = (x(t), y(t), t ∈ [0, 1], t₀ essendo f(x, y) continua su A, ho che f|A continua in [0, 1] e data dai valori intermedi per funz. di 1 variabile reale. Ho che f(t) assume tutti i valori compresi tra f(0) = f(x₀, y₀) e f(1) = f(x₁, y₁) e dunque che f(x, y) assume tutti i valori compresi tra f(x₀, y₀) e f(x₁, y₁).

TEOREMA derivabilità funzioni differenziabili

Se f(x, y) risulta differenziabile in (x₀, y₀) con df(x₀, y₀)(h, k) = A*h + B*K allora f(x, y) risulta derivabile parzialmente in (x₀, y₀) con ∂f _(x₀,y₀) / ∂x = A e ∂f _{(x₀, y₀)} / ∂y = B Onde risulta:

⇒ df _{(x₀, y₀)(h, k)} = ∂f / ∂x _{(x₀, y₀)} * h + ∂f / ∂y _{(x₀, y₀)} * k = ∇f(x₀, y₀)•(h, k)

Poiché f(x,y) risulta differenziabile in (x₀,y₀), per (x,y) → (x₀,y₀) ho che ∃ A, B ∈ R /

f(x,y) = f(x₀,y₀) + A(x-x₀) + B(y-y₀) + o (√((x-x₀)² + (y-y₀)²))

allora:

f(x₀ + h,y₀) = f(x₀,y₀) + Ah + o(h) per h → 0

e quindi

∂f(x₀,y₀)/∂x = lim_{h → 0} f(x₀+h,y₀) - f(x₀,y₀)/h

= lim_{h → 0} Ah + o(h)/h = A

allo stesso modo provo che ∂f(x₀,y₀)/∂y = B

TEOREMA

gradiente

Sia f(x,y) funzione definita in A ⊂ R² e differenziabile in (x₀,y₀) nel modo A. Allora ∀ versore V ∈ R² esiste ∂f(x₀,y₀) e risulta

⇒ ∂f(x₀,y₀)/∂V = ∇f(x₀,y₀) ⋅ V

DIM

Poiché f(x,y) risulta differenziabile in (x₀,y₀) per (x,y) → (x₀,y₀) ho:

f(x,y):= f(x₀,y₀) + ∇f(x₀,y₀) ⋅ [x-x₀, y-y₀] + o(√((x-x₀)²+(y-y₀)²))

da cui, preso V=(α, β)∈R² con α²+β²=1 risulta

f((x₀+αh),(y₀+βh)) = f(x₀,y₀) + ∇f(x₀,y₀) ⋅ (αh, βh) + o(h)

e quindi

∂f(x₀,y₀)/∂V = lim_{h → 0} f(x₀+αh, y₀+βh) - f(x₀,y₀)/h = ∇f(x₀,y₀) ⋅ (α, β)

e dunque

(r(x,y)-r(x₀,y₀)) = ∂x f(x₀,y₀) · (x-x₀) + ∂y f(x₀,y₀) · (y-y₀)

√((x-x₀)²) = ((y-y₀)²)

| ∂x f(ex,y) - ∂x f(x,y₀) || ≤ | x - x₀ |

√((x-x₀)²+(y-y₀)²)

+ | ∂y f(ex₀,ny₁) - ∂y f(x₀,ny₀) | = ∂y f(x₀,y₀)

| √((x-x₀)²+(y₀-ny₁)²)

se (x,y) → (x₀,y₀) allora (ex,y) → (x₀,y₀) e (x₀,ny) → (x₀,y₀) essendo le derivate parziali continue in (x₀,y₀) si ha

lim ∂x f(x,y) - ∂x f(x₀,y₀) (x,y) → (x₀,y₀)

= lim ∂y f(x₀,ny) = ∂y f(x₀,y₀) = 0

(x,y) → (x₀,y₀)

e dunque dalla precedente stima e dai teore.ma del confronto segue la tesi

TEOREMA funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso

Sia (fx,y) funzione der x,u,ibile parzialmente nell'aperto connesso sotto posto, ∂x f(ex,y,u) 0 per ogni (x,y) ∈ A. Allora f(x,y) assuto costante in A.

DIM

S fissato (x₀,y₀) ∈ A presso comunque (x₀,nx) ∈ A

Teorema sul lavoro di un campo conservativo

Sia F: A ⊆ ℝⁿ → ℝⁿ campo vettoriale continuo e conservativo sull'aperto A ⊆ ℝⁿ. Se γ è una curva regolare (archi) con sostegno contenuto in A, di punti iniziale x₀ e finale x, allora

∫_γ F(x)⋅ds = V(x) - V(x₀)

essendo V un potenziale di F in A.

Dim

Sia γ(t), t ε [a,b] una parametrizzazione di γ, che supponiamo regolare in [a,b],

γ(a) = x₀ e γ(b) = x. Allora, dalla definizione,

∫_γ F(x)⋅ds = ∫_a^b F(γ(t))⋅γ'(t)dt

Poiché il campo F(x) è conservativo e V(x) è un suo potenziale, esiste un risultato F(γ(t))= ∇V(γ(t))

per ogni t ε [a,b]. Posto f(t) = V(γ(t))

Dal teorema della derivazione di una funzione composta, ho f'(t) = ∇V(γ(t))⋅γ'(t), e quindi, dalla formula fondamentale del calcolo integrale, ho:

∫_γ F(x)⋅ds = ∫_a^b ∇V(γ(t))⋅γ'(t)dt = ∫_a^b f'(t)dt

= f(b) - f(a)

= V(γ(b)) - V(γ(a))

TEOREMA di Green

Sia F(x,y) = (F₁(x,y), F₂(x,y))

un campo vettoriale di classe C¹ in un aperto A di R² e sia D un dominio normale regolare in A. Allora

denotata con ∂D la curva semplice, chiusa e regolare

adatta con sostegno la frontiera di D positivamente orientata risulta

∮_∂D F · dx = ∬_D ( ∂F₂ ∂x - ∂F₁ ∂y ) dx dy

Dim

Considero il caso in cui D è un rettangolo

D = { (x,y) ∈ R² | x ∈ [a,b], y ∈ [c,d] }.

La frontiera ∂D risulta unione delle 4 curve

γ_i, con i = 1,2,3,4 di parametrizzazione

• γ₁(t) = (t,c), t ∈ [a,b]
• γ₂(t) = (b,t), t ∈ [c,d]
• γ₃(t) = (t,d), t ∈ [b,a]
• γ₄(t) = (a,t), t ∈ [c,d]

dove γ₃ e γ₄ denotano le curve opposte di γ₁ e γ₂.

Dalla def. di campo

∮_∂D F · dx = ∫_γ1 F · dx + ∫_γ2 F · dx + ∫_γ3 F · dx + ∫_γ4 F · dx

= ∫_a^b F₁(t,c) dt + ∫_c^d F₂(b,t) dt - ∫_b^a F₁(t,d) dt

sono eq. riconducibili a eq. a v. separabili le eq diff.

omogenee (dette di )

forma → y' = g(y/x)

EQ DIFF. ESATTE

forma → A(x,y) + B(x,y)y' = 0

EQ LINEARI I ORDINE

forma → y' = a(x)y + b(x)

caso omogeneo → y' = a(x)y b(x) = 0

soluzione → y(x) = e^(-∫a(x)dx) [∫b(x)e^(∫a(x))dx + k]

eq Bernoulli → y' = a(x)y + b(x)y^a

EQ LINEARI II ORDINE

forma → y'' + b(x)y' = a(x)y + g(x)

Oscillatore Armonico

semplice => descrive il moto di un corpo di massa m vincolato a muoversi su una guida rettilinea soggetto alla forza generata da una molla in assenza di resistenza avverso all'attrito il moto è descritto da:

y' + ω^2y = 0

y(t): c₁ cos(ωt) + c₂ sin(ωt)

le soluzioni sono periodiche

Smarzato

= > in caso di attrito

y'' + 2ry' + ω^2y = 0

=> δ = m ≥ 0 para il coefficiente di attrito