Teoremi e insiemi in R al quadrato

Dato un insieme X, si dice chiusura di X ( ) l’unione di X con l’insieme DX, è

X́

un insieme chiuso, si prova inoltre che la chiusura di X è uguale a X unito a FX,

ossia la frontiera dell’insieme X (il contorno, punti né interni né esterni).

Un insieme aperto è connesso quando non è l’insieme di due aperti non vuoti e

disgiunti, inoltre un insieme aperto è connesso quando, presi due punti

all’interno di esso, esiste almeno una poligonale (spezzata) che li unisce,

2

interna all’insieme. Il dominio di (la chiusura di un aperto) non sempre è il

R 2 2

dominio di definizione di una funzione. Dato , D è un dominio di

D⊂ R R

se e solo se D è la chiusura di un aperto, mentre D è un dominio connesso se e

solo se è la chiusura di un aperto connesso.

RAPPRESENTAZIONE DI ALCUNI DOMINI DI 2

R

={( ) < }

Rappresentiamo il dominio X x , y : y x

Notiamo che in questo caso la frontiera è , ed è un insieme aperto

y=x

connesso. [ ]

| | √

2 2

={( ) ( ) ( )−( )

+ ¿ }

Vediamo ora la rappresentazione di X x , y : x−1 y ≤ 2 x , y 1, 0 ≤ 2

Si nota intuitivamente che l’insieme è chiuso e connesso, il dominio è connesso

e limitato (da notare che la frontiera è inclusa dal segno di minore e uguale).

2

={( )

Anche pensando a possiamo pensare a un insieme chiuso

}

X x , y : y ≥ x 2

={( )

(comprende la frontiera) ma non limitato, mentre è un

< }

X x , y : y x

insieme aperto e connesso.

Ci possono essere anche insiemi che sono intersezioni di più insiemi, come

2

={( ) :

< }

X x , y : y x<3 2

La frontiera è uguale all’unione delle due funzioni per 0<x<3 e x=3 per

x= y

x = 3. √ ( )

( )

+ ¿→ z , g f x , y : X

Data , il suo insieme di definizione è:

¿

2 2 2

( ) ∈ ∈

−

f : x , y R →1−x y , g : z R

{ }

{ } 2 2

( ) ( ) ( ) , ossia un cerchio di centro (0, 0) con

= = −

X x , y :f x , y ≥0 x , y :1−x y ≥ 0

raggio minore o uguale a 1.

Vediamo un esempio più particolare: prendiamo la funzione

( )

2 , vediamo che l’insieme di definizione X è

( ) =1−log( )

f x , y y x− y

{ {

>0 <0

y y

{ }

( )

2

( ) ∪

>0

x , y : y x− y → , poiché o entrambi i membri sono negativi, o

2 2

> <

x y x y

entrambi positivi affinché il tutto sia maggiore di 0, vediamo il grafico: