Teoremi e insiemi in R al quadrato

Teoremi e insiemi in R²

Come per l'insieme dei numeri reali, per quel che riguarda i teoremi, anche R² gode di alcuni dei medesimi teoremi. Valgono in R²:

• Teorema dell'unicità del limite;
• Teorema del confronto;
• Teorema sulle operazioni con i limiti (addizioni e moltiplicazioni).

Particolare attenzione va data al teorema sul limite di funzioni composte.

Data f e g, la funzione composta è g(f(x, y)), con (x, y) ∈ A ⊆ R². L'insieme A è definito così: A = {(x, y) ∈ X | f(x, y) ∈ Y}. Sia (x₀, y₀) un punto di accumulazione per A e definiamo z₀ = f(x₀, y₀). Se:

∃ lim_{(x, y) → (x0, y0)} f(x, y) = z₀, ∃ lim_{z → z0} g(z) = lim_{(x, y) → (x0, y0)} g(f(x, y)) = g(z₀).

Funzione continua in un punto

Anche la continuità nell'insieme di R² merita attenzione, essendo una particolare proprietà. Una funzione f: X ⊆ R² → R, dato un punto (x₀, y₀) con X ⊆ D_X (ossia l'insieme dei punti di accumulazione), si dice che la funzione è continua in quel determinato punto se e solo se:

∀ ε > 0, ∃ δ > 0: se (x, y) ∈ X e |(x, y) - (x₀, y₀)| < δ, allora |f(x, y) - f(x₀, y₀)| < ε.

Se (x₀, y₀) ∈ X - D_X (quindi il punto è isolato per X [non appartiene all'insieme dei punti di accumulazione]), allora si assume che la funzione sia continua in quel determinato punto senza limite.

Vale inoltre il teorema della permanenza del segno (per le funzioni regolari). Date due funzioni f(x, y) [definita in X] e g(x, y) [definita in Y], la somma delle due funzioni è definita in X ∩ Y. La composizione di due funzioni continue è essa stessa una funzione continua.

Vale il teorema di Weierstrass per le funzioni continue, ossia se la funzione è compresa in un sottoinsieme compatto di R², allora essa ammette massimo e minimo assoluti, cioè:

∃ (x₁, y₁), (x₂, y₂) ∈ X tali che f(x₁, y₁) ≤ f(x, y) ≤ f(x₂, y₂).

Vale anche il teorema dei valori intermedi, ossia: data una funzione continua f e un intervallo di valori... (continua)