Teoremi, pdf

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI CAP 10

Matrici associate a un sistema lineare

⋯

11 1

⋮ ⋱ ⋮

=( )

⋯

1

è chiamata matrice dei coefficienti del sistema lineare. Se aggiungiamo a

essa una colonna corrispondente ai membri di destra del sistema, ossia la

colonna dei termini noti, otteniamo la matrice

⋯

11 1

⋮ ⋱ ⋮

Â=( )

⋯

1

Detta matrice aumentata del sistema. Le nostre tre operazioni elementari

sulle equazioni diventano ora operazioni elementari sulle righe della matrice

aumentata e consistono in:

 Scambiare due righe di una matrice;

 Addizionare a una riga un multiplo di un’altra riga;

 Moltiplicare ciascun elemento di una riga per un medesimo numero

diverso da 0.

Una riga di una matrice si dice avere zeri iniziali se i primi elementi della

( + 1)-esimo

riga sono tutti zero e il elemento della riga è diverso da zero. Si

definisce matrice a scala una matrice in cui ogni riga ha almeno uno zero

iniziale in più rispetto alla riga che la precede. Una matrice in cui il numero il

numero di righe è uguale al numero di colonne e in cui gli elementi della

diagonale sono uguali a 1 e gli elementi non appartenenti alla diagonale sono

uguali a zero è una matrice a scala ed è chiamata matrice identità. Il rango di

una matrice è il numero di righe non nulle presenti nella corrispondente forma

a scala. ( , ) che soddisfano l’equazione

Il luogo di tutti i punti lineare

1 2 16

+ = ( , )

è una retta nel piano. Perciò, la soluzione delle

11 1 12 2 1 1 2

due equazioni lineari nelle due incognite

+ =

11 1 12 2 1

+ =

21 1 22 2 2

È il punto di incontro delle due rette nel piano cartesiano. Queste rette

possono anche essere tra loro parallele, quindi o le due rette coincidono o

non si incontrano mai. Se le rette coincidono, qualsiasi punto appartenente a

una delle rette è soluzione del sistema e si dice che il sistema ammette

infinite soluzioni o è indeterminato. Un esempio è dato dal sistema:

+ 2 = 3

1 2

2 + 4 = 6

1 2

Se le rette parallele non si incontrano mai il sistema non ammette soluzioni o

come nell’esempio:

è impossibile + 2 = 3

1 2

+ 2 = 4

1 2

PROPRIETA 10.1

Sia A la matrice dei coefficienti e  la matrice aumentata. Allora:

 r(A) ≤ r(Â)

 r(A) ≤ numero di righe di A

 r(A) ≤ numero di colonne di A

PROPRIETA 10.2

Un sistema di equazioni lineari mxn con matrice dei coefficienti A e matrice

aumentata  è possibile se e solo se r(A) = r(Â)

PROPRIETA 10.3

Un sistema di equazioni lineari o non ammette soluzioni, o ne ammette una o

ne ammette infinite. Quindi, se ammette più di una soluzione, ne ammette

infinite. 17

PROPRIETA 10.4

Se un sistema di equazioni lineari ammette una e una sola soluzione, allora

la matrice A ha un numero di righe pari al numero di colonne. Dunque un

sistema determinato deve avere un numero di equazioni almeno pari al

numero di incognite.

PROPRIETA 10.5

Se un sistema lineare ha più incognite che equazioni (n > m), esso non

ammette soluzioni o ne ammette infinite. n = colonne m = righe

PROPRIETA 10.6

Un sistema di equazioni lineari omogeneo che contiene più incognite che

equazioni (n > m) deve avere un numero infinito di soluzioni.

PROPRIETA 10.7 , … ,

Un sistema lineare con matrice dei coefficienti A è possibile per ogni 1

se e solo se r(A) = numero di righe di A (m) = numero di equazioni.

PROPRIETA 10.8

Se un sistema di equazioni lineari ha più equazioni che incognite (m > n),

, … ,

allora esiste una scelta di termini noti tale che il sistema sia

1

impossibile.

PROPRIETA 10.9

Ogni sistema lineare avente A come matrice dei coefficienti ammetterà al più

una soluzione per ogni scelta di termini noti, se e solo se r(A) = numero di

colonne di A (n) = numero di incognite.

PROPRIETA 10.10

Una matrice dei coefficienti A è non singolare, ossia il corrispondente sistema

lineare ha una e una sola soluzione, se e solo se numero di righe di A =

numero di colonne di A = r(A)

PROPRIETA 10.11

Si consideri il sistema lineare Ax = b

1. se il numero delle equazioni è minore del numero di incognite (m < n)

allora: 18

i) Ax = 0 ammette infinite soluzioni

ii) Per ogni b, Ax = b ha nessuna o infinite soluzioni

iii) Se r(A) = numero di equazioni (m), Ax = b ha infinite soluzioni

2. Se il numero delle equazioni è maggiore del numero di incognite (m >n)

allora:

i) Ax = 0 ammette una o infinite soluzioni

ii) Per ogni b, Ax = b ha nessuna, una o infinite soluzioni

iii) Se r(A) = numero di equazioni (m), per ogni b avrà infinite soluzioni

3. Se il numero di equazioni è uguale al numero di incognite (m =n)

allora:

i) Ax = 0 ammette una o infinite soluzioni

ii) Per ogni b, Ax = b ha nessuna, una o infinite soluzioni

iii) Se r(A) = è uguale al numero di incognite (n) e al numero di

equazioni (m), Ax = b ammette una e una sola soluzione per ogni b.

ALGEBRA DELLE MATRICI CAP 11

L’addizione è possibile tra matrici della medesima dimensione, cioè con il

medesimo numero di righe e di colonne. La somma di due matrici è una

nuova matrice avente la stessa dimensione delle due matrici addizionate. La

differenza tra due matrici A e B della medesima dimensione è la matrice i cui

elementi sono dati dalla differenza tra gli elementi corrispondenti di A e B. Le

matrici possono essere moltiplicate per un numero chiamato scalare. Il

prodotto tra la matrice A e il numero r, indicato con rA, è la matrice creata

moltiplicando ogni elemento di A per r. Nelle moltiplicazioni di matrici esistono

2 differenze: non tutte le coppie di matrici possono essere moltiplicate e il

prodotto dipende dall’ordine in cui le matrici sono moltiplicate. Possiamo

definire il prodotto di due matrici A e B se e solo se:

numero di colonne di A = numero di righe di B

affinché il prodotto tra due matrici esista, A deve avere dimensione e B

. Per ottenere l’elemento di posto (i,j) di AB, moltiplichiamo la i-esima riga

di A per la j-esima colonna di B. Per esempio:

+ +

+ +

( ) ( ) ( )

=

+ +

,

Se A è una matrice e B è una matrice allora il prodotto AB sarà

.

una matrice La matrice prodotto AB il numero delle righe di A e il 19

numero di colonne di B. La trasposta di una matrice A di ordine è la

matrice ottenuta da A scambiando tra loro le righe e le colonne. Una

matrice non singolare è una matrice quadrata il cui rango è uguale al numero

delle righe o delle colonne. Quando una matrice dei coefficienti di un sistema

di equazioni lineari è una matrice non singolare ha una e una sola soluzione.

TEOREMA 11.1

. () =

Sia una matrice e una matrice Allora,

TEOREMA 11.5

Una matrice di ordine può avere al più una inversa.

Dimostrazione per assurdo:

:

Supponiamo che e siano due inverse di

= = ( ) = () = =

quindi l’inversa esiste ed è unica. [ = ]

TEOREMA 11.6

è invertibile, allora è non singolare, e l’unica

Se una matrice di ordine −1

= = .

soluzione del sistema di equazioni lineari è

Dimostrazione: =

−1 −1

() =

−1 −1

( ) =

−1

=

−1

=

L’unicità della soluzione è garantita dall’unicità dell’inversa.

TEOREMA 11.7

Se una matrice di ordine è non singolare, allora è invertibile. 20

IL DETERMINANTE CAP 12

TEOREMA 12.3

Una matrice quadrata è non singolare se e solo se il suo determinante è

diverso da 0.

TEOREMA 12.4

,

Per due matrici arbitrarie

=

TEORMA 12.5 1

−1

=

Se è invertibile,

TEORMA 12.7 1

−1

=

Se A è non singolare,

det

TEOREMA 12.8 (regola di Cramer)

.

Sia una matrice quadrata non singolare di ordine Allora il sistema

=

ammette un’unica soluzione , …,

x = ( ) data da

1

= , … . , ,

= per ogni

det

dove è la matrice ottenuta sostituendo la j-esima colonna di con il vettore

.

dei termini noti

INDIPENDENZA LINEARE CAP 14

Se consideriamo due vettori non nulli e (con le rispettive code collocate

2

1

nell’origine), possiamo prendere tutte le possibili combinazioni lineari di e

1

l’insieme generato

per ottenere da e :

2 2

1

[ ]

ℒ , ≡ { + : ∈ ∈ }

2 1 1 2 2 1 2

1

Se è un multiplo di , o viceversa, diciamo che e sono linearmente

1 2 1 2

dipendenti. In caso contrario, diciamo che i due vettori sono linearmente

…,

indipendenti. I vettori , , in sono linearmente dipendenti se e

2

1

, …,

solo se esistono k scalari , non tutti nulli, tali che

2

1 21

+ …+

+ = 0

1 2 2

1

, …,

I vettori , appartenenti a sono linearmente indipendenti se e

2

1

+…+ =…=

solo se = 0 implica che = 0.

1 1

1

TEOREMA 14.1

, …,

I vettori in sono linearmente dipendenti se e solo se il sistema

1

lineare

1

⋮