Teoremi, pdf

Elementi di base cap 2

Dominio e codominio

Data una funzione, l'insieme dei punti per i quali è definita si chiama dominio della funzione. L'insieme a cui appartengono le variabili dipendenti di una funzione viene detto codominio della funzione.

Funzioni suriettive e funzioni iniettive

Se per ogni elemento del codominio esiste un elemento tale che f(x) coincide con l'immagine di x, in altre parole, se il codominio di f coincide con l'immagine di f, diciamo che f è una funzione suriettiva. Una funzione si dice iniettiva su un sottoinsieme di D se e solo se per qualsiasi coppia appartenente a D, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2.

Funzioni crescenti e decrescenti

Una funzione si dice crescente se il suo grafico va verso l'alto quando ci si sposta da sinistra a destra. Una funzione è crescente se per ogni x1, x2 del dominio si ha che x1 < x2 implica f(x1) < f(x2). Una funzione si dice decrescente se il suo grafico va verso il basso quando ci si sposta da sinistra verso destra, ossia se x1 < x2 implica f(x1) > f(x2). Diremo che una funzione è monotona se è crescente oppure decrescente.

Punti di massimo e di minimo

Anche i punti in cui una funzione inverte la sua monotonia sono importanti. Il punto (x0, f(x0)) si dice minimo relativo o locale della funzione. Il punto (x0, f(x0)) si dice massimo relativo o locale della funzione.

Teorema 2.2 (unicità del limite)

Una successione ha al più un limite.

Dimostrazione (per assurdo): Supponiamo che la successione {a_n} con n ∈ ℕ abbia due limiti x1 e x2 con x1 ≠ x2. Fissiamo |x1 - x2| > ε. I due intervalli sono disgiunti; quindi, se fissiamo ε minore della distanza tra x1 e x2, la successione cade sia in x1 che in x2. Ciò non può accadere, quindi il teorema è vero.

Teorema 2.3 (limite di una somma di successioni)

Siano {a_n} con n=1 e {b_n} con n=1 due successioni con limiti rispettivamente a e b. Allora la successione {a_n + b_n} converge al limite a + b.

Teorema 2.4

Siano {a_n} con n=1 e {b_n} con n=1 due successioni con limiti rispettivamente a e b. Allora la successione dei prodotti {a_n × b_n} converge al limite ab.

Teorema 2.5

Sia {a_n} con n=1 una successione convergente con limite x, e b un numero tale che a_n ≤ b ≤ x per ogni n. Allora x ≤ b se e solo se per ogni ε > 0 esiste un numero positivo δ tale che |f(x) - L| < ε per ogni x ∈ I - {x₀}.

Teorema 2.6

Sia data una funzione f: ℝ → ℝ e un punto x₀ tale che in D esistano successioni {x_n} convergenti a x₀, con f(x_n) → L. Allora lim_x→x0 f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un numero positivo δ tale che la disuguaglianza |f(x) - L| < ε è soddisfatta per ogni x con |x - x₀| < δ.

Teorema 2.7

Data una funzione f e un punto P (finito o infinito), tale che esistano in D successioni convergenti a P. Se f è crescente in un intervallo di valori minori di P, allora il limite di f per x che tende a P esiste e il suo valore coincide con l'estremo superiore di f su un intervallo, se f è limitata superiormente in tale intervallo, mentre vale +∞ se f è illimitata.

Derivabilità e continuità

Una funzione è derivabile in x₀ se il limite
lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀))/h
esiste ed è lo stesso per ogni successione {h_n} che converge a 0. Una proprietà delle funzioni ancora più basilare della derivabilità è la continuità. Una funzione è continua se il suo grafico non presenta interruzioni. Condizione necessaria perché una funzione sia derivabile è che sia continua. Le discontinuità si hanno quando le funzioni sono definite a tratti e sono individuate tre specie di discontinuità. Se f' è una funzione continua di classe C¹, diremo che la funzione originale è derivabile con continuità o di classe C¹. La derivata di f in x₀, se esiste, si chiama derivata seconda di f in x₀. Se f ha derivata seconda ovunque, allora è una funzione ben definita di C². Se f'' è una funzione continua, si dice che f è derivabile due volte con continuità, o di classe C². Il processo di derivazione successiva può continuare.

Teorema 2.8 (teorema degli zeri per y = 0)

Se una funzione f è definita e continua sull’intervallo [a, b], allora l’insieme immagine è un intervallo, ossia se f(a) < 0 < f(b) allora esiste sicuramente c tale che f(c) = 0.

Teorema 2.9

Se la funzione f è definita e continua sull'intervallo [a, b] ed esistono due punti x₁ e x₂ tali che f(x₁) × f(x₂) < 0, allora esiste un punto c tale che f(c) = 0.

Teorema 2.10

La derivata di f in x₀ è f'(x₀) = 2x₀.

Teorema 2.11

Per ogni intero positivo n, la derivata di xⁿ in x₀ è f'(x₀) = nx₀^n-1.

Teorema 2.12

Si supponga che c sia una costante arbitraria e che u e v siano funzioni derivabili in x₀, con v(x₀) ≠ 0. Allora:

• (cu)′(x₀) = c · u′(x₀)
• (u ± v)′(x₀) = u′(x₀) ± v′(x₀)
• (uv)′(x₀) = u′(x₀)v(x₀) + u(x₀)v′(x₀)
• (u/v)′(x₀) = (u′(x₀)v(x₀) - u(x₀)v′(x₀))/(v(x₀))²
• ((v(x))ⁿ)′ = n(v(x))^n-1 · v′(x)
• (e^x)′ = e^x

Applicazioni cap 3

Uso delle derivate per lo studio grafico

Poiché f'(x₀) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto x₀, f'(x₀) > 0 indica che la retta tangente ha inclinazione positiva, quindi anche il grafico al quale la retta è tangente assume una pendenza verso l'alto. Per tracciare il grafico di una data funzione bisogna:

• F(x₀)′ = 0: Innanzitutto si trovano i punti in cui f'(x₀) = 0 o in cui f'(x₀) non è definita, che vengono detti punti critici di f.
• Si valuta la funzione in ciascuno di questi punti critici e si riportano i corrispondenti punti sul grafico.
• Si valuta il segno di f' su ognuno degli intervalli. Per vedere se f' è positiva o negativa su uno qualsiasi di questi intervalli dobbiamo solo valutare il segno di f' in un conveniente punto dell’intervallo.
• Se f' > 0 sull’intervallo, il grafico sarà crescente su di esso. Se f' < 0, il grafico sarà decrescente su di esso.

Una funzione derivabile con f''(x) ≥ 0 su un intervallo si dice convessa o concava verso l’alto su di esso. Una funzione derivabile con f''(x) ≤ 0 su un intervallo si dice concava verso il basso su di esso. I punti in cui la derivata seconda si annulla sono chiamati punti critici del secondo ordine o, se in essi la derivata seconda cambia di segno, punti di flesso.

Se f è una funzione razionale con denominatore che si annulla per x = x₀ e con denominatore che non si annulla in x = x₀, allora la retta verticale x = x₀ è un asintoto verticale di f. Sui lati di questo asintoto verticale, il grafico di f va a +∞ o -∞. Le derivate f' e f'' possono cambiare segno quando si passa da una parte all’altra di un asintoto verticale. In altre parole, usiamo questi punti per dividere l’asse delle x in intervalli sui quali f' e f'' hanno segno costante. Se f' è negativa sull’intervallo alla sinistra dell’asintoto verticale, allora deve andare a -∞ alla sinistra dell’asintoto. Si ricordi che per trovare i punti di intersezione con l’asse delle x di una funzione razionale si deve solo porre il numeratore uguale a 0. Se non esistono punti di intersezione in un dato intervallo tra i punti critici e/o asintoti, il grafico non attraversa l’asse delle x in quell’intervallo.

Teorema 3.1 (funzione crescente su intervallo)

Sia f una funzione derivabile con continuità sull’intervallo D. Allora:

• Se esiste un intervallo aperto contenente x₀ su cui f' > 0, f è crescente su di esso.
• Se esiste un intervallo aperto contenente x₀ su cui f' < 0, f è decrescente su di esso.

Dimostrazione

La dimostrazione è immediata alla luce del teorema 3.2 e di una fondamentale conseguenza del teorema 2.6, per la quale se una funzione è continua in un punto e in tale punto assume valore positivo, allora esiste un intervallo aperto contenente x₀ formato da punti per i quali la funzione è ancora positiva. Se applichiamo questo risultato alla derivata prima, essendo f'(x₀) > 0, otteniamo un intervallo (a, b) su cui vale f' > 0 e la tesi deriva dal teorema 3.2.

Teorema 3.2

Sia f una funzione derivabile con continuità sull’intervallo D.

• Se su un intervallo (a, b) ha derivata positiva, allora f è crescente su di esso (crescente in senso debole).
• Se su un intervallo (a, b) ha derivata negativa, allora f è decrescente su di esso (decrescente in senso debole).
• Se f è crescente su (a, b), allora f' ≥ 0 su di esso.
• Se f è decrescente su (a, b), allora f' ≤ 0 su di esso.

Dimostrazione

Siano x₁, x₂ ∈ (a, b) con x₁ < x₂ e su (x₁, x₂) f abbia derivata positiva. Per il teorema del valore medio esiste un punto c tale che:

(f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = f'(c) > 0

Teorema 3.3 (Condizione Necessaria I ordine)

Se x₀ è un massimo o un minimo interno di f, allora x₀ è un punto critico di f (f'(x₀) = 0).

Dimostrazione

In un intorno del punto di max/min interno, la funzione non è né crescente né decrescente. Per il teorema 3.1, la derivata prima non è né positiva né negativa, ma deve essere nulla o non definita.

Teorema 3.4 (Condizione Sufficiente II ordine)

Sia f una funzione di classe C² su un intervallo aperto e sia x₀ ∈ D.

• Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0, allora x₀ è un massimo relativo di f.
• Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0, allora x₀ è un minimo relativo di f.
• Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) = 0, allora x₀ può essere un massimo, un minimo o nessuno dei due (punto critico degenere).