Teoremi di Hopital, Taylor, Weierstrass

Teorema di De L'Hopital

Questo teorema serve a calcolare i limiti delle funzioni indeterminate.

Ho:

y = f(x) continua e derivabile in un intervallo

Altre g(x) = f(x) forma indeterminata.

Applico il teorema:

lim_x→c f(x)/g(x) = lim_x→c f'(x)/g'(x)

Esempio

f(c) = 0 e g(c) = 0

g(x) = g(c)/(x-c)

Ne calcolo il limite

lim_x→c [f(x)-f(c)]/[x-c] = f'(c)

lim_x→c g(x)-g(c)/x-c = lim_x→c g'(c)/g(c)

F.I. 1 → lim x→c

F.I. ∞ → lim x→∞

Se y sono funzioni derivabili in un intervallo.

Se ci sono funzioni derivabili in un intervallo.

Suppongo che quando x tende a 0.

lim_x→0 g(x) = 0.

Suppongo che quando x tende a x₀: f(x) e g(x) tendono.

lim x₀ f'(x).

Nel caso il rapporto non derogherà al valore g.

Esempio

lim x_x→x f= ∞

Risolvere la derivata del limite.

N.B.: Utilizzare la scala degli infiniti.

Osservazione:

se _{x → x0} lim _{x → x0} g(x) ≠ 0 allora

posso dire qualcosa su ^f(x)/_g(x)

Esempi:

1. _{x → 0} lim _{x → 0} sinx/x = 1 → Risolvo il limite della derivata
2. _{x → 0} lim _{x → 0} (4 + x)^α - 4/x → Risolvo il limite della derivata:
3. _{x → 0} lim _{x → 0} 1 - cosx/x = 0
4. _{x → π} lim _{x → π} sinx - x/x = -1/π
5. _{x → ∞} lim _{x → ∞} (e^x - 1)/x = ∞

Lim _{x → +∞} (e^x - x)/(e^x - 2x) = 1

Ancora in questo caso devo considerare la scala degli ∞

Lim _{x → -∞} e^x/x² = 0

Aplico la L'Hôpital:

Lim _{x → 0} √x/x = 0

…

f(x) = ¹/_1+x con x₀=0.

1/(1+x) = (1+x)^-1

Quindi:

• g⁽¹⁾(x) = (1+x)^-1 * (1+x) = -(1+x)^-2
• g⁽²⁾(x) = (1+x)^-2 * 2 (1+x)^-1 * -1 = (1+x)^-2
• g⁽³⁾(x) = 2(1+x)^-3 = 6(1+x)^-3 = (1+x)^-5
• g⁽⁴⁾(x) = 6(1+x)^-6 = 24(1+x)^-5 = 24(1+x)^-5 - 24 = 24(1+x)^-4

Qualche valore f(0) = ? Basta mettere x=0 e vale -1

f⁽⁰⁾(0)=1 Toc: f⁽⁰⁾=1

f⁽¹⁾(0) = -1 T₁ = f(a) + f⁽⁰⁾(0) (x-x₀) = 1 +(-1)(x) = 1 - x

f⁽²⁾(0) = 2 T₂ = T₁ + ^f(1)(0)/_1! (x-x₀)² = 1 - x + 2/2 (x²) = 1 - x + x²

f⁽³⁾(0) = 6 T₃ = T₂ + ^f(2)(0)/_2! (x-x₀)³ = 1 - x + x² - 6/3 (x³) = 1 - x + x² - 2x³

Funzione seno con il polinomio di Taylor:

sinx = x - ^x3/_3! + ^x5/_5! - ^x7/_7! + ...

Funzione coseno con il polinomio di Taylor:

cosx = 1 - ^x2/_2! + ^x4/_4! - ^x6/_6! + ^x8/_8! - ...