Limiti e teoremi

Matematica: rapporto incrementale

Definizione

Il rapporto incrementale di una funzione \( f : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è definito su un intervallo \( I = (a, b) \) con \( a, b \in \mathbb{R} \) e \( a < b \). Per un \( x \in I \) e \( h \neq 0 \), tale che \( x + h \in I \), il rapporto incrementale si esprime come:

\[ \frac{f(x + h) - f(x)}{x + h - x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Osservazioni

• Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che passa per due punti \( P(x, f(x)) \) e \( Q(x + h, f(x + h)) \) appartenenti al grafico della funzione.
• Se \( P \) e \( Q \) coincidono, allora la retta diventa tangente.
• Si dice che \( f \) è derivabile in \( x \) se esiste ed è finito il limite: \[ \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Derivata della funzione composta

Definizione

Siano \( f : A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e \( g : B \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) tali che \( f(A) \subseteq B \). La funzione \( (g \circ f)(x) : A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), scritta anche come \( g(f(x)) \), è una funzione composta con funzione interna \( f \) e funzione esterna \( g \).

Osservazioni

• Se \( f \) è derivabile in \( x \) e \( g \) è derivabile in \( y = f(x) \), allora la funzione composta è derivabile in \( x \) ed ha derivata: \[ D[(g \circ f)(x)] = g'(f(x)) \cdot f'(x) \]

Limiti notevoli

Teorema derivabilità e continuità

Definizione

Se \( f \) è derivabile in \( x \), allora è continua in \( x \).

Dimostrazione

Sia \( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \) esistente e finito. Da questo bisogna dimostrare che \( f \) è continua in \( x \), ovvero che:

\[ \lim_{{x \to x_0^-}} f(x) = \lim_{{x \to x_0^+}} f(x) = f(x_0) \]

Sia \( f(x + h) - f(x) = [f(x + h) - f(x)] \cdot \frac{h}{h} \) con \( h \neq 0 \). Si può scrivere:

\[ \lim_{{h \to 0}} [f(x + h) - f(x)] \cdot \frac{h}{h^2} \]

Si calcola il limite:

\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot \lim_{{h \to 0}} h \]

Questo limite può essere anche scritto:

\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot h \]

Solamente se non è una forma di indecisione. Dato che all'interno del limite l'unica forma di indecisione possibile è la forma \([+\infty \cdot 0]\) oppure \([- \infty \cdot 0]\).