Limiti e teoremi

Rapporto incrementale f : I → R

Definizione: Il rapporto incrementale di una funzione I = (a, b) a, b ∈ R, a < b, x ∈ I, h ≠ 0, con x + h ∈ I, è dato da:

Osservazioni:

• Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta P(x, f(x)) Q(x + h, f(x + h)) che passa per due punti e appartenenti al grafico della funzione f. Se P e Q coincidono, allora la retta diventa tangente.
• Si dice che f è derivabile in x se esiste ed è finito il limite

Derivata della funzione composta f : A ⊆ R → R, g : B ⊆ R → R

Definizione: Sia A e B tali che f(A) ⊆ B. La funzione composta (g o f)(x) : A ⊆ R → R, scritta anche come g[f(x)], è una funzione composta con funzione interna f e funzione esterna g.

essere anche scritto ,h→0 h→0hf (x + h) − f (x )0 0lim ⋅ hsolamente se non è una forma di indecisione.h→0 hh → 0Dato che all’interno del limite l’unica forma di indecisione possibile è laforma [+∞・0] oppure [-∞・o].f (x + h) − f (x )0 0lim = f′(x )Per ipotesi esiste ed è finito, quindi si puòh→0 0hscrivere che:f (x + h) − f (x ) f (x + h) − f (x )0 0 0 0= = 0lim ⋅ h lim ⋅ lim h .h→0 h→0 h→0h hQuindi si ottiene che f (x + h) − f (x )0 0 =0lim f (x + h) − f (x ) = lim ⋅ hh→0 0 0 h→0 hlim f (x + h) − f (x ) = 0h→0 0 0lim f (x + h) = f (x )h→0 0 0h → 0 x = x + h x → xSe ponendo si ha che sostituendo nel limite si ha:0 0lim f (x) = f (x ) x, che è la definizione di funzione continua in .x→x 0 00 3Punti di non derivabilità:Punto angoloso• f′ (x ) ≠ f′ (x ) almeno

uno finito.e dei due limiti è- 0 + 0

Punto di flesso a tangenza verticale• f'(x) = f'(x) = ± ∞, punto nel quale la funzione passa- 0 + 0concava convessada a e viceversa. Una funzione può avere punto dix f xesisteflesso verticale in se in .0 0

Punto di cuspide• f'(x) = ± ∞ ≠ f'(x) = ± ∞- 0 + 0 4

Punti di massimo e di minino:Globalif: A ⊆ R → R ASia, con insieme di definizione.f(A) M m M mSe ammetta valore massimo (valore minimo) allora () e ilf Aassolutopunto di massimo (max) (minimo (min)) per in .assoluto esiste unico;Il punto di massimo (minimo) se è a questa ordinatax ∈ A sen cospossono essere associati uno o più valori. (es. funzione e ).Relativif: A ⊆ R → R A x ∈ (A ∩ A')Sia, con insieme di definizione. Un punto 0f ∃δ > 0locale relativoè un punto di massimo (minimo) per se

tale per cui ∀x ∈ (A ∩ N(x ; δ)) si ha che : f (x) ≤ f (x ) massimo f (x) ≥ f (x ) minimo

Teorema di Fermat

f : A ⊆ R → R

Definizione: punto di estremo

Sia e sia un (massimo o minimo) locale tale per cui è ad .

f x f′(x ) = 0

derivabile

Se è in , allora .

Dimostrazione:

x A h > 0

1. punto interno

è un ad se esiste tale per cui l’intorno(x − h ; x + h) ⊆ A