Limiti (definizione e teoremi)

Funzioni e Limiti

Sia D ⊂ ℝ, f: D → ℝSia x₀ ∈ ℝ, supponiamo che ∃ I_{x0 - r0}, x₀ ∈ I[ - I \ {x}]sia contenuto in D.es. D = ]a, b[ e ∀ x₀ ∈ ]a, b[, D è simmetrica, D = ]a, +∞[, ..., D = ℝ

Limite

In questa parte, possiamo definire ∃ lim_x→x0 f ∈ ℝse ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) tale che ∀ x ≠ x₀, x ∈ I_{x0 - r0} → |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - l| < ε

Limite

1. f(x) = x², D = ℝ, x ≠ x₀cerco con l = x₀² f(x₀)|x² - x₀²| = |(x + x₀)|(|x - x₀|)

|x + x₀| = |x - x₀ + 2x₀| ≤ |x -x₀| + 2|x₀||x -x₀|² |x - x₀| (|x -x₀ + 2|x₀|)

Se |x -x₀| <δ ⇒ |x², x₀²| <  < (|x₀| + 2 |x₀|) & =small;

       <  <  <

1. es. f(x) = sin(x)D - ] -∞; 0[ U ]0,+∞[ lim_x→0 sin(x) ?

È detto perchè ∀ ε > 0; ∃ - &small; ⊂ ]0,&alpha;[ ed essendo un notevole lim_x→0 sin(x); x → 1

∀ ε > 0 ∃&small;  > 0 < |x| <&small;

|_sin(x)/x - 1| < ε ⇔ -ε < _sin(x)/x - 1 < ε

Visto che per 0 < |x| < 1/2

cos(x) ≤ _sin(x)/x ≤ 1

cos(x) - 1 < _sin(x)/x - 1 < 0

Fissato ε > 0, ∃ δ tale che -ε < cos(x) - 1 per ε = 1/2

cos(x) ≥ 1/2 per

δ = arccos(1-ε)

e.g. f(x) = |x|

D ⊂ ℝ ≥ 0

candidato naturale per il limite è ⟦0⟧=0

∀ ε > 0 ∃ δ tale che 0 < |x| < δ ⇒ |⟦x⟧| < ε

per δ = 1 ε = 1

x - ϵ |y| < δ

-1 < ⟦x⟧ < 0

0 < x < 1

Se x ∈ [0;1[ |⟦x⟧| = 0 < ε ∀ ε, va bene qualunque δ < 1

Se x ∈ ]-1,-1] |⟦x⟧| = 1 quindi x /∈ L, non esistono valori

per ogni δ tale che 0 < |x| < δ ⇒ |⟦x⟧| < ε

Perciò il limite non è

^lim_x→x0 ⟦x⟧ = 0  ^lim_x→x0 ⟦x⟧ = -1

LIMITE DESTRO: ^lim_{x→x ⁺0} f(x) = m se ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) tale che

• ∀ x ∈ D, 0 < x₀-δ < x < x₀ + δ ⇒ |f(x) - m| < ε

LIMITE SINISTRO: ^lim_{x→x ^-0} f(x) = m se ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) tale che

• ∀ x ∈ D, -δ < x-x₀ < 0 ⇒ |f(x) - m| < ε

LIMITE +∞

• f: D → ℝ, x₀ ∈ ℝ ⇒ ∃ -∞ tale che ]x₀-r ; x₀[⊂ [x₀ tub ⊂ D
• allora ^lim_x→x0 f(x) = +∞ se ∀ x, x₀ ∃ δ > 0 tale che

• 0 < |x-x₀| < δ ⇒ f(x) > N

LIMITE -∞

• Allora ^lim_x→x0 f(x) = -∞ se ∀ x, x₀ ∃ δ > 0 tale che
• -0 < |x-x₀| < δ ⇒ f(x) < -N

Limiti notevoli:

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)

2. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\)

   \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\) \(\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\)

   \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2}\) \(\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos(x)}{x^2}\)

3. \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)

   \(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^{x \log\left(1 + \frac{1}{x}\right)}\)

   \(\log\left(1 + \frac{1}{x}\right) \to 0\)

   \(\lim_{x \to \infty} x \log\left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1\)

4. \(\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1\)

5. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e\)

   \(\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + y)}{y}\) \(1 + y = e^z \to \frac{z}{e^z - 1}\)

COMPOSIZIONE:

\(f : D \to \mathbb{R}\) \(g : E \to \mathbb{R}\) Sia \(x_0 \in \mathbb{R}\) tale che \(\exists r > 0 \exists x_0 - r, x_0 + r [x_0 \} \subset D\) ed \(\Phi (]x_0 - r, x_0 + r[) \subset E\) supponiamo che \(\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0 \in E\) e che \(\exists \delta > 0\) \(\forall y \in ]y_0 - \delta, y_0 + \delta[ \subset E\) Allora se \(\exists \lim_{y \to y_0} g(y) = l\) allera \(\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = l\)

3t + 2 \; t_x = e^{-1/t x} - 5

t_c = -1/x

x = -1/t_c

\(\gamma = -2x + 5\)

asimtopo obliquo :

\(\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 - 2x}{3 - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 - 2x}{3 - 2x} e^{-1/x^2} = e^{\infty} \cdot 0 = \infty\)

z = \(\frac{1}{t}(\frac{1}{x})\)

\lim_{x \to 0} (\cos(x))^{1/2} e^{x/\log(\cos(x))}

\cos{x}e^{e_{x \to 0} \frac{1}{x} \log(\cos(ax))} \;\; \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \log(\frac{1 + \cos(x) - 1}{x^2}) = \frac{1}{2}

y = \cos(x) - 1 = 0, y \to \infty

\frac{1}{2} \log(\frac{1}{1 + y}) = -\frac{1}{2}

\lim_{x \to 0} x^{1/2} = e^{-1/2}