Teoremi di Guldino

TEOREMA DI GULDINO

Sia D insieme convesso e compatto del piano xz. il solido S generato dalla rotazione di angolo 2π di D rispetto all'asse z è detto solido di rotazione.

TEOREMA (I TEO. DI GULDINO)

Sia A(D)=∬_D dx dz l'area di D e G_=(xG,zG) il baricentro di D.

• x_G = ¹/_A(D) ∬_D x dx dz
• z_G = ¹/_A(D) ∬_D z dx dz

allora V_ol(S) = A(D) . 2π x_G = 2π ∬_D x dx dz

TEOREMA (II TEO DI GULDINO)

Sia f: [a,b] → ℝ² curva regolare nel piano xz

• t ⟼ _(x(t)
• _y(t))

la superficie Σ generata dalla rotazione di angolo 2π di Img(f) rispetto all'asse z è detta superficie di rotazione.

TEOREMA (II TEO DI GULDINO)

Se l(γ) = ∫_a^b √ x'²(t) + z'²(t) dt è la lunghezza di γ

e G=(x_G,z_G) il baricentro di x_G = ¹/_l(Σ) ∫_a^b x(t)√x'²(t)+z'²(t)dt

z_G = ¹/_l(Σ) ∫_a^b z(t)√x'²(t)+z'²(t)dt

TEOREMA DI GULDINO

Sia D insieme connesso e compatto del piano xz.

Il solido S generato dalla rotazione di angolo 2π di D rispetto all'asse z è detto solido di rotazione.

TEOREMA (I TEO. DI GULDINO)

Sia \( A(D) = \int\int_D \, dx \, dz \) l'area di D e \( G = (x_G, z_G) \) il baricentro di D.

• \( x_G = \frac{1}{A(D)} \int\int_D x \, dx \, dz \)
• \( z_G = \frac{1}{A(D)} \int\int_D z \, dx \, dz \)

Allora

• \( Vg(S) = A(D) \cdot 2\pi x_G = 2\pi \int\int_D x \, dx \, dz \)

TEOREMA (II TEO DI GULDINO)

Sia

• \( [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2 \) curva regolare nel piano xz
• \( t \rightarrow (x(t), y(t)) \)

La superficie \( \Sigma \) generata dalla rotazione di angolo 2π di \( Im(\gamma) \) rispetto all'asse z è detta superficie di rotazione.

TEOREMA (II TEO DI GULDINO)

Sia

• \( l(\gamma) = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \) la lunghezza di γ
• \( G=(x_G, z_G) \) il baricentro di \( x_G = \frac{1}{l(\gamma)} \int_a^b x(t) \sqrt{x'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \)
• \( z_G = \frac{1}{l(\gamma)} \int_a^b z(t) \sqrt{x'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \)