Teorema di Guldino
Solido di rotazione
Sia D un insieme convesso e compatto del piano xz. Il solido S generato dalla rotazione di angolo 2π di D rispetto all'asse z è detto solido di rotazione.
Teorema (I teorema di Guldino)
Sia A(D) = ∬D dx dz l'area di D e G = (xG, zG) il baricentro di D.
xG = 1/A(D) ∬D x dx dz
zG = 1/A(D) ∬D z dx dz
Allora Vol(S) = A(D) . 2π xG = 2π ∬D x dx dz
Teorema (II teorema di Guldino)
Sia f: [a, b] → ℝ2 curva regolare nel piano xz t ⟼ (x(t)y(t)). La superficie Σ generata dalla rotazione di angolo 2π di Img(f) rispetto all'asse z è detta superficie di rotazione.
Se l(γ) = ∫ab √ x'2(t) + z'2(t) dt è la lunghezza di γ e G = (xG, zG) il baricentro di
xG = 1/l(Σ) ∫ab x(t)√x'2(t) + z'2(t) dt
zG = 1/l(Σ) ∫ab z(t)√x'2(t) + z'2(t) dt
Teorema di Guldino
Sia D insieme connesso e compatto del piano xz. Il solido S generato dalla rotazione di angolo 2π di D rispetto all'asse z è detto solido di rotazione.
Teorema (I teorema di Guldino)
Sia \( A(D) = \int\int_D \, dx \, dz \) l'area di D e \( G = (x_G, z_G) \) il baricentro di D.
\( x_G = \frac{1}{A(D)} \int\int_D x \, dx \, dz \)
\( z_G = \frac{1}{A(D)} \int\int_D z \, dx \, dz \)
Allora \( Vg(S) = A(D) \cdot 2\pi x_G = 2\pi \int\int_D x \, dx \, dz \)
Teorema (II teorema di Guldino)
Sia \( [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2 \) curva regolare nel piano xz \( t \rightarrow (x(t), y(t)) \). La superficie \( \Sigma \) generata dalla rotazione di angolo 2π di \( Im(\gamma) \) rispetto all'asse z è detta superficie di rotazione.
Sia \( l(\gamma) = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \) la lunghezza di γ.
\( G=(x_G, z_G) \) il baricentro di \( x_G = \frac{1}{l(\gamma)} \int_a^b x(t) \sqrt{x'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \)
\( z_G = \frac{1}{l(\gamma)} \int_a^b z(t) \sqrt{x'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \)
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