Teoremi con dimostrazioni scritti a mano

Teoremi parziale aprile con dimostrazioni per

Legge di uno del prodotto scalare e annullamento

Legge di uno del prodotto scalare, annullamento ttv o solo e ooq se se tit. Iniziano dimostrando che dim ose1kt OKOkI ILe I ItO IL della. Quindi di cancellazione legge la somma segue per ora OI che WEEKl invece allora Q mostriamo Q se tu Q che infatti sogno 19Eta tatto ta sommando ottiene che Q sia eta ta tetto soo tete infatti to te mostrare da ora e che vogliano viceversa il ossia segue.

Considerando Qo K 70oEQ EA E IE_ ILtv LP Assoc APen infatti 1 2L mostriamo inoltre che precisazione 11 I1 OOKIt I.

Immagine di una funzione lineare come sottospazio

È un'immagine di lineare una funzione lineare sottospazio. Sia l'insieme funzione WDef delle una immagini LV di e elementi mediante degli si immagine della funzione lineare. In L Zeev Leite NEW KLiv.

Prop. Sia su lineare allora una funzione Im delle LV d l'insieme di è mediante immagini N codominio dal sottospazio un Imm d. Dobbiamo che dimostrano dim contiene aw è chiusa è chiusa rispetto alla somma al prodotto scalare pon uno.

Poiché L diretta lineare è che maniera insegue Lievi QuiDino Im t che dire chiuso alla vuol è somma EImillImitiE t. comprendere With Wi Wa LIkitYaLEYE.IE EImIdLIK LCKZIWi Wa Im. Quindi quindi appartiene ancora With a e chiuso rispetto alla somma.

Dire Im d che chiuso è prodotto scalare al uno per Im ca KEtw HtKNEIMILI e che dire vuol ERIK lineare ELite IMI dtu. Per Im a cui anche rispetto carino è prodotto al W. Poiché 2In Escalone che uno per segna Im W sottospazio a codominio è vettoriale del un dominio e del un.

Nucleo di un'applicazione lineare

Il sottospazio nucleo. Sia di Daf lineare V N il nucleo un'applicazione l'insieme dell'applicazione nullo o formato spazio e dalle di contro aw immagini Ken da d EEV aw. Quindi dall rappresenta soluzioni e desso omogenea Lia QUIl di OSS l'insieme delle matrice e nucleo quindi una AIdi Q soluzioni L U W.

Prop. Sia lineare applicazione allora un associato il è dal nucleo sottospazio essa una Ik dominio di di matrici parliamo è. Se sottospazio esso dim. Poiché 2 dia allora lineare è o segue la consideriamo I quanto riguarda aka somma per Lila Livitic Aw allora di LikediviYifanKitKat t il Qui cui per Per alla il chiuso nucleo rispetto prodotto è somma Lit te 1kI.

Consideriamo e aw Litri diviE E OwOwKen d. Quindi vettoriale dominio del sottospazio è un associato lineare dell'applicazione è cui a e lineare.

Teorema della struttura delle soluzioni

Teorema EQ di delle di un soluzioni struttura di. Fissato Def. Sia lineare V funzione W WEW una d l'insieme delle fibra chiamiamo cui controimmagini dd mediante W LIEV L'ini LaLiv.

Sia teorema funzione struttura su di lineare una e Lilod d la fibra E W sia allora vo luia di tutti della vettori consiste forma ie soli va I Va hentaivere con. Iniziano che dimostrare DI va a appartiene vov L l'omogeneità l'additività. Usiamo di nucleo al e LIIILiv Lilo Like dit VoUVen Quko W W.

Viceversa che dimostriamo venehenld Vevoi verse Lilo Like Lies t W Votre Ew 1LE. Quindi a1 adi.

Corollario criterio di iniettività

Corollario criterio. Una applicazione lineare è iniettiva se e solo se suo nucleo contiene il vettore nullo al più. Per ad dim iniettiva funzione ogni una essere elemento del elemento codominio corrispondere al deve un più del dominio. Essendo L'ini Ethan di tenth Io unica soluzione avere lo come per segue.

Base di V

Base VDI B V. Un Prop dionddinato è sottoinsieme una di base V di è solo generatori insieme un se e se di V i indipendenti B di vettori linearmente sono e chiedere la dim equivalente è la proposizione a di la iniettiva parametrizzazione sia mappa e La suriettiva tesi dal immediatamente fatto segue che la B suriettiva è è se solo mappa se unedi di N mentre insieme la è generatori mappa 111 B di iniettiva i Dm solo siano se lattoni se e linearmente indipendenti.

Vettori linearmente indipendenti

Vettore linearmente indipendenti VDef. Dato dice l'insieme V che va si vi è linearmente dipendente solo e se sati talat taka otiEdti. Questa con formula scolari nulli non viene__detta lineare relazione. Viceversa V indipendente degli esistono se è non che l'equazione nulli scacchi e soddisfano non sono.

Un insieme Prop Vai linearmente indipendente se solo e se d K I O1d 2. Se l'inacenmente indipendenti vi va sono evd combinazione di lineare è non vi va 1. Dim dobbiamo V che caso dipendente d mostrare e solo se hat'IVI Q.

Se OK allora D come se unica soluzione t o quindi annullamento prodotto I è legge indipendente. Viceversa tu mostriamo che K o 0 supponiamo e V19QEl te linearmente 0 quindi è con dipendente da.

Caso 2 dimostriamo vi va linearmente che prima se sono dato di allora indipendenti che dipendenza relazione ogni inha lineare che si sussiste YaIi in y Ya_ questo dire che vuol essendo indipendenti I Ya che sono lineare di è indipendenti Vi va va allora combinazione non ri va i.

Dimostriamo vi vai indipendenti che ora se sono Vi di combinazione lineare va va è non i allora vi_va è vecelieffiate potrtimmodist è ne vetta è 0 tiId KantItandrebbe l'apcontrocioma. Da che cio segue tiri EdEzra OIdCon te Ita Ed 70.

Criterio di uguaglianza di spazi di dimensione finita

Criterio di di finita uguaglianza spazi dimensione di. Dato dimensione HEV spazi di Teor se vettoriali finita V H dim V dim 11 che segue Wfa. Dim dim V siam sia me Inmadim dimi allora h.

Casa dim ha V essa una m. Poiché base di l'insieme quindi vettori è massima una indipendenti VW di di base vettoriale è uno N da il quindi è insieme me sottospazio ma generato VHH VEH di HEV di e generatori dimV IR M dim31 H OE.

Esempio me se dim è allora Mel netta la se è l'origine per l'origine dim IR dim H V3 il è 2 piano di applicazione.

Criterio di invertibilità, iniettività e suriettività

Invertibilità, suriniettività criterio di LTeor. V Sia W dimensione di tra un'applicazione spazi finita dim lui dim n allora m sia e m L h.

• 1 Iniettiva nè L.
• 2 L e ha suriettiva m.
• 3 M invertibile è m m.

Dim. Per iniettività di il criterio 1 applicazione un Iod lineare Men iniettiva è solo cioè e se se se di il teorema nullità la nullità più per sua rango dimh vZenoe m il.

2 Un codominio coincide è suriettiva se con applicazione di l'insieme arrivo ossia se Im L W dimmi IL dim M. Che di teorema dire il nullità che equivale per a ha m. E dolce la la 3 e 2 somma.

Teorema di Rouché-Capelli

Teorema di Rouché-Capelli. Ax1 Sia b lineare Teor sistema in modo un 4 incognite. Allora coefficienti in n a. Il sistema di ammette il solo soluzioni se e se rango Alb A della completa al è matrice uguale rango.

Se ammette soluzioni sistema il allora queste tali da che dipendono parametri nn ttmtilt talatI Io nkm.isIl tilittava forma ttmtela n una una nucleo n.

Sia b sistema Aa2 lineare Teor il modo in m incognite LA bmanca allora n siano e:

• 1 Se sistema n nn il avevate a una una soluzione sola n.
• 2 Se n allora il e ammette sistema n a Inda dipendono che questo soluzioni parametri n n da sistema sottodeterminato l'appellativo di al si caso.
• 3 Se il h sistema rt si ammetta non soluzioni e dice sovradeterminato.

Ipotizziamo dim che sistema ammetta il soluzioni la tesi due dal del immediatamente punto segna fatto che corrispondenza 1 in soluzioni le la sono con teorema il il che volta nucleo di nullità a sua per. Non da dipende resta parametri n cin quindi che dimostrano A il di che è a uguale rango se rango della matrice sistema completa soluzioni ammette il.

Iniziano dicendo il sistema. Che Aa b ha soluzioni solo Im Lab e Ima che sapendo la lo è se e Col dobbiamo b e Colla A mostrare che De colla lo A di colonna spazio solo e se se coincide dalla colonna lo matrice completa con spazio b lineare dalle combinazione di infatti è colonne una se di A Alb lineare combinazione allora ancora ogni è A di delle combinazione quindi lineare colonne una Colla.

Viceversa bACoe Coe LAIDI allora Cola se b coelta inti certamente cola quindi appartiene e a a Cola Coe è. Infine di Alb allora poiché sottospazio un due hanno la i sottospazi stessa se uguali sono dimensione heh quindi e di.

Invarianza dello spazio riga

Invarianza riga spazio. B Sia Teor sia A ottenuta matrice matrice la e una. Allora di A elementari tramite sulle operazioni righe Row Row A B B Men A Nen MLBRCA di A.

Siano le base formano di colonne inji una essa Colla B di le colonne formano rispettive solo e una se se CollB base di. Prima per B hanno dim A che lo mostrare occorre cosa e per di definizione spazio spazio stesso esso non riga riga dalle delle.