Tutti i teoremi (enunciati)

ANALISI 1

(TEOREMI)

Teorema fondamentale dell'Algebra

Dato un polinomio p(z) = a_mz^m + a_m-1z^m-1 + ... + a₀ con am ≠ 0 di grado m in ℂ, ∃ m con k radici distinte con 1 ≤ k ≤ m ed un insieme in ℂ {z₁, ..., z_k} e ∀z_j (j = 1, ..., k) ∃ un numero m_j (molteplicità) ∈ ℕ t.c. p(z) = a_m(z - z₁)^m₁ ... (z - z_k)^m_k

m = m₁ + ... + m_K - grado massimo z_j - radici distinte

Teorema: radici m-esime dell'unità

z^m = 1 ha m soluzioni distinte e sono della forma z_j = cos(2π_j/m) + i sin(2π_j/m) con j = 0, ..., m - 1 e m ≥ 1

Assioma di separazione di Dedekind

Dela una coppia separata A e B in ℝ ∃c ∈ ℝ t.c. a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A e ∀b ∈ B. C è detto elemento di separazione delle coppie.

Estremo superiore

• sup(X) ≥ x ∀x ∈ X
• M ≥ x ∀x ∈ X ⇒ sup(X) ≤ M "maggiorante"

Estremo inferiore

• inf(X) ≤ x ∀x ∈ X
• m ≤ x ∀x ∈ X ⇒ m ≤ inf(X) "minorante"

Teorema di Archimede

∀coppia x, y ∈ ℝ, ∃m ∈ ℕ t.c. mx > y

Limite di una successione

lim_x→+∞ x_m = L se ∀ε>0 ∃n_ε∈ℕ t.c. m>n_ε => |x_m-L|0 ∃n_ε∈ℝ t.c. x>n_ε e x∈X => |g(x)-L|n(K) e x∈X => g(x)>K

Teorema del confronto

Siano f,g: X⊆ℝ→ℝ supX=+∞

Siano lim_x→+∞ f(x) = a ∈ ℝ, lim_x→+∞ g(x) = b ∈ ℝ

Se g(x) ≤ f(x) ∀x∈X => a ≤ b

Teorema dei carabinieri

Siano f,g,h: X⊆ℝ→ℝ supX=+∞ con f(x)≤h(x)≤g(x) ∀x∈X

Supponiamo lim_x→+∞ g(x) = lim_x→+∞ f(x) = L ∈ℝ => lim_x→+∞ h(x)=L

Teorema

Se X⊆ℝ con supX=+∞, sia g: X→ℝ e crescente (decrescente).

Vale quanto segue:

1. lim_x→+∞ g(x) = sup g(x)
2. lim_x→-∞ g(x) = inf g(x)

2. lim_x→+∞ g(x) = inf f(x)
3. lim_x→-∞ g(x) = sup g(x)

Punti di accumulazione

Dato X⊆ℝ un punto x̄∈ℝ si dice p.d. acc. di X s:

∀ε>0 ∃x∈X t.c. 0