Teoremi con dimostrazioni di Meccanica Razionale per Ingegneria

INDICE

BARICENTRI

MOMENTI DI INERZIA

1. GE PIANO di SIMMETRIA pg. T2
2. HUYGENS + dim. pg. T3
3. COSENI DIRETTORI pg. T4
4. MOM. d’INERZIA con ELLISSOIDE + dim. pg. T5
5. PRINCIPALI D’INERZIA pg. T6
6. HUYGENS per i mom. d. deriv. + dim. pg. T7
7. FORMULE POISSON + dim. pg. T8
8. FORMULA FOND. CINEM. RIGIDA + dim. pg. T9
9. Stato cinetico TRASLATORIO pg. T10
10. “      ”    ROTATORIO + dim. pg. T11
11. “      ”    ELICOIDALE (Teor. Mozzi) + dim. pg. T11
12. COMP. VELOCITA RELATIVE + dim. pg. T12
13. COMP. ACCELERAZIONI RELATIVE + dim. pg. T12
14. C.N.S. EQUIVALENZA fra SIST. d. FORZE pg. T14
15. N≥3 FORZE ~~~~~~> 2 FORZE max pg. T15
16. FORZE INTERNE ~ niv. NIULLO pg. T15
17. Sint forze ‖     => I=0 pg. T16
18. ↨ CENTRO delle FORZE ‖ pg. T17
19. FORZA CENTRIFUGA RISULTANTE pg. T18
20. PR. LAVORI VIRTUALI pg. T19
21. EQ. CARDINAU statica pg. T20
22. METODO del POTENZIALE pg. T21
23. EQUILIBRIO STABILE/INSTABILE pg. T23
24. TEOREMA di TORRICELLI pg. T24
25. Calcolone Q pg. T25
26. G₀₁   per un sistema pg. T26
27. KÖNIG pg. T27
28. FORZE VIVE (“teorema dell’en. cinetica”) pg. T28
29. CONSERVAZIONE ENERGIA MECC. totale pg. T29

ARGOMENTO 1 - BARICENTRI

G è PIANO DI SIMMETRIA

• Un SISTEMA MATERIALE ha un PIANO DI SIMMETRIA (geometrico + materiale) ⇒ G è PIANO DI SIMMETRIA

COROLLARIO

• Se i PIANI di SIMMETRIA sono 2 ⇒ G è all'INTERSEZ. fra i 2 PIANI (in 3D: RETTA)
• Se i PIANI di SIMMETRIA sono 3 ⇒ G è all'INTERSEZ. fra i 3 PIANI (in 3D: PUNTO)

5. PRINCIPALI D'INERZIA

• ASSE O₁x₁   è   PRINCIPALE d'INERZIA
• ASSE O₁y₁   è   PRINCIPALE d'INERZIA
• ASSE O₁z₁   è   PRINCIPALE d'INERZIA

A² - B = 0

A = C = 0

B = C = 0

A', B', C'   I MOMENTI DI DEVIAZIONE

Condizione Geometrica:

Se un CORPO RIGIDO possiede un PIANO DI SIMMETRIA

le rette ⊥ PIANO DI SIMMETRIA in O₂   sono PRINCIPALI d'INERZIA

Corollario:

Se Π è un CORPO RIGIDO

il PIANO contenente Π   è PIANO di SIMMETRIA

ogni retta ⊥ al PIANO in O₂ è PR. d'INERZIA

asse O₂₁ è PARALLELO (è passante per O₁)

PR. D'INERZIA

B = C = 0   (perché ₁ ≠ 0)

Tr₁

EQ. ELLISSOIDE:   A₁² + B₁² + C₁² - 2A'₁₁ = 1

Dato   _S = (_S, _S, 0)

Tr₂

C = ∑ _S=4^N (m (² + ²)) = ∑ _S=4^N m ( + )

= ∑ _S=4^N ( ( + ))   =  A + B

C.N.S. STATO CINETICO ELICOIDALE

(Teorema di Mozzi)

Lo stato cinetico di un corpo rigido è uno stato elicoidale se:

_dθ/dt = ū + ω̅ × (P - O₁)

I ≠ 0

DIM.1

^o x dθ/dt - St. Cin. Elic.

_dθ/dt = dO₁/dt = ō̅ + ω̅ × (P - O₁) = ū + ω̅ ×

^o calcolo I = dO₁/dt · ω̅ = ū · ō̅ = ω̅² ≠ 0 c.v.d.

DIM.2

• SCOMPONGO dO₁/dt ü
• DIVISIONE VETT. dθ/dt = ū_┴ + ū_┴
• FORMULA FOND.CIN. R. ∃O₂ ū_┴ = ω̅ × (O₁ - O₂)
• ∀P∈ℓ dP/dt = dO₁/dt + ω̅ × (P - O₁)

dP/dt = ω̅ × (O₁ - O₂) + ū_∥ + ω̅ × (P - O₁)

= ω̅ × (O₁ - O₂ + P - O₁) + ū_∥

= ū_∥ + ω̅ × (P - O₂)

MOTO ELICOIDALE (O₂, ω̅) c.v.d.

LA SCOMPOSIZIONE di dO₁/dt

16

Un SISTEMA di

1. FORZE ATTIVE _Fi RISULTANTE MOMENTO RES.
2. REAZIONI VINC. _Qi RISULTANTE MOMENTO RES.

INTERNE → è sempre A NULLO

DIM.

Per il PRINCIPIO di AZIONE-REAZIONE → le FORZE ATTIVE / REAZ. VINCOLARI INTERNE

compaiono sempre a 2 a 2 come COPPIE di BRACCIO NULLO (N(0) = F_x b)

• RISULTANTE _Fi / _Qi = 0
• MOMENTO RISULTANTE _Q(0) / _Qⁱ(0) = 0

C.V.D.

DIM. 2 (C.S.)

°                                                                        SPUNTO IL PRINCIPIO DEI: LAVORI VIRTUALI

•   Calcolo il LAVORO VIRTUALE infinitesimo:

   δL + δP =

  (Fez + FezFez ...) δz           

RISULTATO TROVATO

{SOLUZIONE

{δL + δP = 0 ⇐⇒ δL > 0

PRINCIPIO LAVORI VIRTUALI

C0 è CONFIGURAZIONE DI equilibrio C.V.D.

IL LAVORO VIRTUALE del CORPO RIGIDO è

δL = R·δθ₁ + Ώ(Ω1)·δθ₁

Quantità di moto di un sistema rispetto al baricentro

Quantità di moto di un sistema rispetto ad un osservatore g{x'y'z'} baricentrico + traslante

_vs è la velocità del punto Ps rispetto al baricentro G

Dim (sistema finito)

• _{x teor. composiz. velocità}
• vs = v's + vc
• vs = v's + d/dtG + ω × (Ps-G)
• vs = v's + vg
• ⇨ v's = vs - vg
• _{x def. di QG}
• = Σ ms v's
• = Σ ms (vs - vg)
• = Σ ms vs - Σ ms vg
• = Q - M vg
• = Q - Q = 0

c.v.d.