Teoremi con dimostrazioni

Teoremi con dimostrazioni (x esame 11/01)

Teorema (unicità del limite)

∈ ℝ. Assumiamo che sia una successione convergente a. Allora il suo limite è unico.

Dimostrazione

Supponiamo che ( ) ∃ , ∈ ℝ ≠ ∶

• 1 2 1 2() | | ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∶ − < ∀ ≥ 1 1 1()
• | | ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∶ − < ∀ ≥ 2 2 2

| | (̅)− > 0 1 2 1̅ = ⟹ (̅) 2 2(̅) (̅), (̅)) = max( Chiamo 0 1 2 ≥ 1 ∀ ≥ ⟹0 ≥ 2 quindi valgono entrambe le definizioni di limite scritte sopra.

| |− = |( − ) + ( − )| ≤ | − | + | − | =1 2 1 2 1 20 0 0 0 per la disuguaglianza triangolare.

| | | || − | | − | − 1 2 1 2 1 20 0 | |= + < ̅ + ̅ = + = − 1 2< < 2 2 Una disuguaglianza stretta tra due termini uguali è impossibile. ⟹ = 1 2 ◆

Teorema (condizione necessaria per la convergenza di una serie)

∞ ⟹∑ ⟶0 ⟸=0

Dimostrazione

⟶ ∈ ℝ Per ipotesi = + + ⋯ + + 1 2 −1 } ⟹ − = −1 = + + ⋯ + −1 1 2 −1( )lim = lim − = lim − lim = − = 0 −1 −1→+∞ →∞ →∞ →∞+∞ − ∞ non ho ◆

Teorema (regolarità delle serie a termini di segno fissato)

{ } ∑≥ 0 ≤ 0 Se è una successione a termini definitivamente o allora è regolare.

Dimostrazione

{ } ≥ 0 0), Sia successione delle ridotte di una serie a termini (≤ si verifica immediatamente che essa è monotona crescente (decrescente) ≤ = + + ⋯ + + + ⋯ + + = ∀ 1 2 1 2 +1 +1 ≥{ } quindi è regolare. ◆

Teorema (criterio della radice)

Sia una successione a termini