Teoremi, Analisi 2

Teoremi esistenza e unicità-

Se il problema di Cauchy

• y' = f (t,y)
• y(t₀) = y₀
• (t₀,y₀) ∈ D^k
• f: D → R una funzione

Teorema di Peano (di esistenza)

Se D è aperto e f è continua allora il problema ammette soluzione.

• Nominale: y: I → R è soluzione massimale se per ogni altra soluzione y: I → R con I ⊆ I allora I = I.

Teorema di esistenza e unicità locale

Se D è aperto e f e f_y sono continue in D allora il problema ammette un’unica soluzione massimale.

Al posto della continuità di f_y si può imporre la lipschitzianità locale rispetto alla seconda variabile ovvero:

Per ogni compatto (insieme chiuso e limitato) K ⊂ D esiste una costante L tale che

• |f(t,y₁) - f(t,y₂)| ≤ L · |y₁ - y₂|

Per ogni copia (t,y₁) e (t,y₂) in K.

Esiotenza globale

Se f: (a,b) × R → R è continua con la sua derivata parziale f_y, allora ne esistono h, k > 0 tali che

• |f(t,y)| ≤ h + k |y| allora la soluzione massimale è definita su tutto (a,b).

Il teorema vale anche se invece della continuità di f_y imponiamo la lipschitzianità globale di f rispetto alla seconda variabile ovvero esiste L tale che

| f(T,x,y₁) - f(T,x,y₂) | ≤ L ( y₁ - y₂ )

per ogni T ∈ (a,b) e ( y₁, y₂ ) ∈ R

Teorema di Schwartz

Se f è una funzione definita su un intorno aperto D ⊆ R² che ammette derivate fino al secondo ordine e le derivate parziali miste sono continue, allora esse coincidono in ogni punto P ∈ D

ovvero f_xy = f_yx f : R² ⇒ R

Derivata direzionale

La derivata direzionale ci consente di calcolare la variazione della prestura di f lungo una direzione specifica indicata da un vettore unitario

Tramite gradiente ∇^vf = v ∙ ∇f = f_x oppure lim _h→0 f((x+hv₁),(y+hv₂))-f(x,y)

h

Derivata parziale

Per studiare la rapidità di variazione di una funzione f lungo uno iendo fissa l'altra) si utilizzano le derivate parziali:

lim _h→0 f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)

h

= f_x

Curve integrale

Una curva parametrica di classe C¹ è detta curva integrale del campo vettoriale F nel suo vettore tangente al tempo t coincide con il vettore associato dal campo F al punto γ(t) ovvero:

γ^'(t) = F(γ(t))

Potenziale scalare - Campo conservativo

Un campo vettoriale F : D ⊆ R² → R² è conservativo se esiste una funzione φ : D → R di classe C¹ tale che:

F(x,y) = ∇φ(x,y) per tutti gli (x,y) ∈ D in tal caso φ è detto potenziale di F e le sue curve di livello linee equipotenziali.

Un campo conservativo ammette infiniti potenziali: se il dominio è connesso due dei suoi potenziali differiscono per una costante.

Condizione necessaria di conservatività di un campo vettoriale

Se F(x,y) = [F₁(x,y)i + F₂(x,y)]j è conservativo, allora:

∂F₁(x,y)/∂y = ∂F₂(x,y)/∂x per ogni punto in D

Campo irrotazionale

Si dice irrotazionale un campo vettoriale il cui rotore è nullo ∇x F = 0 per ogni punto in D.

[y/(x²+y²) i - x/(x²+y²)] soddisfa la condizione necessaria ma non è conservativo in R² \ {0}

Conservazione dell'energia

Data una forza F_x che dipende dalla posizione della corpo, con lo

steso direzione del moto la 2° legge della dinamica diventa

• mẍ = F_x
• x(0) = x₀
• ẋ(0) = v₀

Il lavoro svolto dalla forza fra 2 punti a - b risulta

dunque ∫_a