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• Teorema di esistenza degli zeri
Siano A ⊆ R un aperto connesso e f: A→R una funzione continua in A. Supponiamo che esistono due
n
punti distanti di A, x e y tali che f(x)>0 e f(y)<0. Allora esiste almeno un punto c ∈ A tale che f(c)=0.
Dimostrazione
Dato che A è connesso, i punti x e y si possono congiungere tramite una poligonale contenuta in A. su
uno dei segmenti che compongono la poligonale la funzione assume certamente valori di segno
opposto. Indichiamo con x e x gli estremo del segmento. Parametrizziamo il segmento di estremi x ,
1 2 1
x ponendo x(t)= x (1-t)+x t con t ∈ [0,1]. Quindi consideriamo la funzione F:[0,1]→R definita dalla
2 t 2
legge F(t)=f(x(t)) e osserviamo che essa è continua perché composta da funzioni continue. Inoltre
assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo di definizione e quindi possiamo applicare il
T. di esistenza degli zeri per le funzioni di una variabile. Esiste allora t* ∈ ]0,1[ tale che F(t*)=0 ovvero
esiste c interno al segmento di estremi x e x tale che f(c)=0.
1 2
• Teorema di Weierstrass
Siano K un compatto di R e f: K→R una funzione continua in K. Allora f ammette massimo e minimo in
n
K, ovvero ∃ x ∈ K: f(x )=inf f(x), ∃ x ∈ K: f(x )=sup f(x).
1 1 2 2
Dimostrazione
Proviamo che f(K) è compatto in R. sia {
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