Passaggio al limite sotto il segno di integrale
Sia {fn} una successione di funzioni continue in [a,b] ed uniformemente convergente in [a,b] ad una funzione f. Allora vale la formula:
limn→∞ ∫ fn = ∫ f
Dimostrazione
La funzione f è continua. Inoltre, si ha:
|∫ fn - ∫ f| ≤ ∫ |fn - f| (b-a)
Teorema del raggio di convergenza
- Sia data la serie di potenze ∑ an(x - x0)n, e sia ρ il suo raggio di convergenza. Allora:
- Se ρ = 0 la serie converge soltanto in x0.
- Se 0 < ρ < +∞ la serie converge assolutamente in ]x0 - ρ, x0 + ρ[ e totalmente in [x0 - k, x0 + k] per 0 < k < ρ.
- Se ρ = +∞ la serie converge assolutamente in R e totalmente in [x0 - k, x0 + k] per ogni k > 0.
Dimostrazione
Proviamo la 1 supponendo per assurdo che la serie converga in un punto x* ≠ x0. Per il lemma di Abel la serie converge in tutti i punti x tali che 0 < |x - x0| < |x* - x0|. Quindi |x - x0| ∈ contro la prima proprietà dell’estremo superiore.
Proviamo la 2. Sia x ∈ ]x0 - ρ, x0 + ρ[. Per la seconda proprietà dell’estremo superiore esiste ∈ tale che |x - x0| < da cui |an(x - x0)n| ≤ |an| e quindi la serie converge assolutamente in x.
Proviamo che la serie converge totalmente in [x0 - k, x0 + k] per ogni 0 < k < ρ. Per la seconda proprietà dell’estremo superiore esiste ∈ tale che > k. Si ha quindi |an(x - x0)n| ≤ |an|, ∀ x ∈ [x0 - k, x0 + k], da cui la convergenza totale nell’intervallo [x0 - k, x0 + k].
La funzione somma di una serie di potenze è derivabile
- Sia data la serie di potenze ∑ an(x - x0)n con raggio di convergenza ρ > 0. Consideriamo la funzione f: ]x0 - ρ, x0 + ρ[→R definita dalla legge:
- f(x) = ∑ an(x - x0)n, ∀ x ∈ ]x0 - ρ, x0 + ρ[.
- Allora:
- f ha derivate di qualsiasi ordine in ]x0 - ρ, x0 + ρ[;
- f(k)(x) = ∑ an(n-1)...(n-k+1)(x - x0)n-k;
- f(k)(x0) = k!ak ∀ k ∈ N.
Dimostrazione
La funzione f...
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