Teoremi Analisi 1

Fermat

f definito [a,b]

x₀ min / max relativo

x₀ ≠ a; ≠ b

f derivabile x₀

f'(x₀) = 0

coefficiente angolare della retta tangente = 0

Dimostro

∃ δ : x₀ - δ ≤ x₀ ≤ x₀ + δ ⇒ f(x) ≤ f(x₀)

Considero h → |h| < δ

x₀h ∈ ]x₀ - δ, x₀ + δ[ ⇒ f(x₀ + h) ≤ f(x₀)

Per cui

(f(x₀ + h) - f(x₀)) / h > 0 se h < 0

Se h >> 0 ⇒ R.I. < 0

Esiste sempre

lim_h→0 R.I. = 0 ⇒ f'(x₀) = 0

Non vale viceversa

x₀ non è punto di min/max

x₀ è un punto di flesso con derivata 0 e tangente orizzontale ma non è un punto di massimo o minimo

Teorema di Rolle

f definita [a, b] ⇒ R

f(x) continua in [a, b]

Derivabile in ]a, b[

f(a) = f(b)

Esiste

x₀ ∈ [a, b] ⇒ f'^'(x₀) = 0

Dimostrazione

• Weierstras

Esistono X₁ minimo assoluto

X₂ massimo assoluto

X₁ ≤ X ≤ X₂

1. Almeno 1 dei punti X₁, X₂ cade nell'intervallo
2. Fermat

f'^'(X₂) ≥ 0 / f'^'(X₁) ≥ 0

3. Non appartengono (X₁ e X₂) all'intervallo

Dunque deduciamo X₁ = a e X₂ = b

Per ipotesi abbiamo f(a) = f(b) ⇒ f(X₁) = f(X₂)

f(a) = f(X₁) ≤ f(b) ≤ f(X₂) = f(b)

• La funzione risulta costante, la derivata di una costante e sempre 0

Principio d'induzione

P(n) proposizione dipendente da n

• P(1) vera (base d'induzione)
• P(k) vera → P(k+1) vera

Teorema di Monotonia

f : [a, b] → ℝ continuaf : (a, b) → ℝ derivabile

⇒ f(x) sarà crescente in (a, b)

f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b)

Se f è crescente allora f' sarà ≥ 0

Dimostrazione

f crescente ⇒ x₁ < x₂ ⇔ f(x₁) < f(x₂) ∀ x₁, x₂

Consideriamo x₁ < x₂ per x₁, x₂ ∈ (a, b)

Consideriamo l'insieme (x₁, x₂) ⊂ (a, b)

Applichiamo Lagrange a (x₁, x₂)

∃ x₀ ∈ (x₁, x₂) : f'(x₀) =

(f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁) ≥ 0

f(x₂) > f(x₁)

Seconda Implicazione

Supponiamo f(x) crescente, h > 0 → x < x+h ⇒ f(x) ≤ f(x+h)

Determiniamo il rapporto incrementale

(f(x+h) - f(x)) / h > 0 con N(x) ≥ 0 e h > 0

Se h > 0 x+h < x ⇒ f(x+h) ≤ f(x)

Dunque (f(x+h) - f(x)) / h ≥ 0 con N(x) < 0 e h < 0

E' dimostrato anche il viceversa