Teoremi Analisi 1

FERMAT

DEFINITO [, ]

₀ MIN/MAX RELATIVO₀ ≠ , DERIVABILE ₀

= ′(₀) = 0

_{COEFFICIENTE ANGOLARE DELLARETTA TANGENTE = 0}

DIMOSTRO

∃: ∀∈]₀−, ₀+[ ⇒ () ≤ (₀)

CONSIDERO → || <

₀+ ∈ ]₀−, ₀+[ ⇒ (₀+) ≤ (₀)

PER CUI _{(RAPPORTO INCREMENTALE)}

_{((0+) − (0)) / ≥ 0} se < 0

SE > 0 ⇒ R.I. ≤ 0

∃ sempre

lim_→0 R.I. ⇒ ′(₀) = 0

NON VALE VICEVERSA

₀ non è punto di min/max_{0 è un punto di flesso conderivata = 0e tangente orizzontalema non è un punto di massimoo minimo}

FERMAT

f DEFINITO [c, b]

x₀ MIN/MAX RELATIVO

f DERIVABILE x₀

DIMOSTRO

∀ x ∈ ]x₀ - δ, x₀ + δ[ ⇒ f(x) ≤ f(x₀)

CONSIDERO

h → |h| < δ

∀x₀ + h ∈ ]x₀ - δ, x₀ + δ[ ⇒ f(x₀ + h) ≤ f(x₀)

• PER CUI ^{f(x₀ + h) - f(x₀)} _h > 0 SE h < 0

SE h > 0 ⇒ R.I. < 0

lim_h→0 R.I. = 0 ⇒ f'(x₀) = 0

NON VALE VICEVERSA

x₀ non è punto di min/max

x₀ è un punto di flesso con

derivata = 0

e tangente orizzontale

ma non è un punto di massimo o minimo

Teorema di Rolle

f definita [a,b] => ℝ

f(x) continua in [a,b]derivabile in ]a,b[

f(a) = f(b)

Esiste X₀ ∈ [a,b] → f'(X₀) = 0

Dimostrazione

• Weierstrass

  Esistono X₁ minimo,X₂ massimo assoluto

  X₁ ≤ x ≤ X₂

• Almeno 1 dei punti X₁, X₂ cade nell'intervallo
  • Fermat'(X₂) ≥ 0  o  f'(X₁) ≥ 0

• Non appartengono (X₁ e X₂) all'intervalloDunque deduciamo X₁ = a  e  X₂ = b
• Per ipotesi abbiamo f(a) = f(b) => f(X₁) = f(X₂)
• f(a) = f(X₁) ≤ f(x) ≤ f(X₂) = f(b)

La funzione risulta costante, la derivata di una costante è sempre 0

Teorema dei Carabinieri

Date a, b, c definite in [α,β] → ℝFunzioni in successionea(x) ≤ b(x) ≤ c(x)∀ x ∈ [α,β]

Selim_x→x₀ a(x) = lim_x→x₀ c(x) = l→ lim_x→x₀ b(x) = l

Se il limite di x→x₀, generico, delle funzioniagli estremi avrà uno stesso risultato lanche lo stesso limite (x→x₀) della funzione compresadarà risultato l

Dimostrazione

Consideriamo i limiti delle funzioni esterneper definizione

lim_x→x₀ a(x) = l∀ ε > 0 ∃ v₁ (a(x) - l) < ε → l - ε < a(x) < l + ε

lim_x→x₀ c(x) = l∀ ε > 0 ∃ v₂ (c(x) - l) < ε → l - ε < c(x) < l + ε

Dunquel - ε < a(x) ≤ b(x) ≤ c(x) < l + ε

⇓

l - ε < b(x) < l + ε → b(x) - l < ε → lim_x→x₀ b(x) = l

Teorema di Lagrange

Data f definita in [a,b] → ℜ

per cui

f(x) continua [a,b]

derivabile (a,b)

Esiste x₀ ∈ (a,b) tale che → f'(x₀) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

Dimostrazione

Consideriamo g(x) = f(x) - [^{f(b) - f(a)}/_{b - a}](x-a)

Ponendo x=a e x=b

Avremo g(a) = g(b) = 0

Inoltre, essendo g(x) derivabile in (a,b)

Avremo:

g'(x) = f'(x) - ^f(b)-f(a)/_{b - a}

Per il teorema di Rolle esiste x₀ ∈ (a,b) per cui

g'(x₀) = 0

Quindi

f'(x) - ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} = 0 → f'(x₀) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

C.V.D.

DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI

(1 + x)^m ≥ 1 + mx    ∀ m ∈ N    ∧ ∀ x ≥ -1

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE

R(1)

↳ (1 + x)¹ ≥ 1 + x ?    VERO; 1 + x = 1 + x

P(k) → P(k + 1)   VERA?

ABBIAMO

(1 + x)^k ≥ 1 + kx

MOLTIPLICO ENTRAMBI PER (1 + x)    x + 1 ≥ 0    PER IPO

(1 + x)^{k + 1} ≥ (1 + kx)(1 + x)

(1 + x)^{k + 1} ≥ 1 + kx + x + kx²

→ ≥ 0

(1 + x)^{k + 1} ≥ 1 + x + kx

(1 + x)^{k + 1} ≥ 1 + [x (1 + k)]

P(k, k + 1) è VERA

Principio d'induzione

P(m) proposizione dipendente da m

∀m∈N {

• P(1) vera (base d'induzione)
• P(k) vera ⟹ P(k+1) vera

Massimo Relativo

f: X -> ℝ

SE ∃ I intorno x₀ → f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ I ∧ X

Allora x₀ punto di max relativo

Massimo Assoluto

f(x₀) ≥ x ∀ x ∈ X

INSIEME

Minimo Relativo

f: X -> ℝ

SE ∃ I intorno x₀ → f(x₀) ≤ f(x) ∀ x ∈ I ∧ X

Allora x₀ punto di min relativo

Minimo Assoluto

f(x₀) ≤ x ∀ x ∈ X

Teorema di Weierstrass

f: [a,b] -> ℝ

f continua

Allora ammette massimo e minimo assoluto

cioè ∃ x₁, x₂ ∈ [a,b] : f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) ∀ x ∈ [a,b]

Primo teorema dei valori intermedi

f: [a, b] → ℝ se f continua, assume tutti i valori compresi tra

se f(a) < f(b)

∀ y ∈ [f(a), f(b)] ∃ c ∈ ]a, b[: f(c) = y

Secondo teorema

f: [a, b] → ℝ se f continua, assume tutti i valori compresi tra massimo e minimo

y ∈ [f(x₁), f(x₂)] ∃ c: f(c) = y

se f(c) = y è strettamente crescente ∃ ! c: f(c) ≥ y

Teorema ponte

lim_{x → x₀} f(x) = l

∀ successione x_n che tende ad x₀

lim_n f(x_n) = l

n → f(x_n)

Teorema degli Zeri

f: [a, b] → ℝ continua

f(a)·f(b) < 0

⇒ ∃ x₀ ∈ (a, b) f(x₀) = 0

Dimostrazione

f(a) < 0     f(b) > 0

c = _{a + b}/²

f(c) ⇔ ⟷ ⟶ 0

> 0  {matematici sfigati} {non accade mai}

〈 a₁ = c      b₁ = b

> 0  a₁ = a   b₁ = c

Abbiamo un intervallo [a₁, b₁]

f(a₁) < 0   f(b₁) > 0

b₁ - a₁ = _{b - a}/²

É la metà dell'intervallo di partenza

Teorema di caratterizzazione delle primitive

Se F e G sono primitive di f, allora F - G = K

K -> costante

Dimostrazione

(F - G)' = F' - G' = f - f = 0 -> F - G = K

Quando f: x → _è continua, allora ammette una _primitiva

Integrale indefinito

∫f(x) dx = _{TUTTE LE PRIMITIVE DI} f _{CHE DIFFERISCONO PER UNA COSTANTE}

c = _{a1 + b1}/₂

f(c) = {

f(a₁) < 0   f(b₁) > 0   b_n - a_n = _{b1 - a1}/_2ⁿ = _{b - a}/_2ⁿ

in generale avremo 3 successioni a_n, b_n, c_n

f(a_n) < 0   f(b_n) > 0   b_n - a_n = _{b - a1}/_2ⁿ

✑ la successione a_n è crescente (a_* < a_n < a_n+1 ≤ ...)

a_n ∈ [a,b] limitate ⇒ ∃ lim_n a_n = x₀

b_n = a_n + _b-a/2ⁿ

lim_n b_n = lim_n a_n + lim_{n b-a}/2ⁿ = x₀

lim_n f(a_n) _{(< 0)} ≡ f(x₀) = lim_n f(b_n) _{(> 0)} ← teorema ponte

unica possibilità f(x₀) = 0

Teorema di Monotonia

f : (a,b) → ℝ continua

f : (a,b) → ℝ derivabile

f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a,b)

Se f è crescente allora f' sarà ≥ 0

Dimostrazione

f crescente ⟹ x₁ < x₂ ⇔ f(x₁) < f(x₂) ∀ x₁, x₂

Consideriamo x₁ < x₂ per ℝ x₁, x₂ ∈ (a,b)

Consideriamo l'insieme (x₁, x₂) ⊆ (a,b)

Applichiamo Lagrange a (x₁, x₂)

∃ x₀ ∈ (x₁, x₂) : f'(x₀) · (x₂ - x₁) ⇒ f(x₂) - f(x₁) ≥ 0

f(x₂) ≥ f(x₁)

Seconda implicazione

Supponiamo f(x) crescente, h > 0 ⟹ x < x + h ⇒ f(x) ≤ f(x+h)

Definiamo il rapporto incrementale

f(x+h) - f(x) / h ≥ 0 con N(x) ≥ 0 e h > 0

Se h < 0 x + h < x ⇒ f(x+h) ≤ f(x)

Dunque

f(x+h) - f(x) / h ≥ 0 con N(x) < 0 e h < 0

È dimostrato anche il viceversa

Derivate

f(x): (a, b) → ℝ

x ∈ (a, b)

f è derivabile in x se esiste ed è finito

il limite del rapporto incrementale

lim_h→0 ^{f(x+h) - f(x)}/_h {derivata di f (f'(x))}

Derivata delle funzioni composte

f(g(x))

• g derivabile in x
• f derivabile in g(x)

D: f (g(x)) = f'(g(x)) · g'(x)

Teorema dell'unicità del limite

Se esiste un limite esso è unico

Supponiamo∃ lim a_n= l esso è unico

Dimostro per assurdo

1. lim a_n= l₁ ∀ ε>0 ∃ n₁ ∀ n>n₁ ; |a_n - l₁| < ε
2. lim a_n= l₂ ∀ ε>0 ∃ n₂ ∀ n>n₂ ; |a_n - l₂| < ε

Scelgo ε = |l₁ - l₂| / 2 > 0

(Essendo l₁ e l₂ diversi l'espressione è maggiore di 0 poiché il valore assoluto sará 0 solo quando consideriamo uno o

Aggiungo e sottraggo a_n

|l₁ + a_n - a_n - l₂|

|l₁ - a_n| + |a_n - l₂| proprietà triangolare

|l₁ - l₂| ≤ |a_n - l₁| + |a_n - l₂| < ε + ε

|l₁ - l₂| < 2ε

|l₁ - l₂| < ε < |l₁ - l₂| / 2

AssurdoLo stesso valore non può essere inferiore (o maggiore) di se stesso