Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy

Docente di analisi e fisica Falco Amedeo

Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy

Teorema di Rolle

Sia f, una funzione definita in un intervallo [a,b], ovvero: f : [a ,b] → R ed inoltre supponiamo che questa funzione sia continua nello stesso intervallo e quindi derivabile nello stesso. Se la funzione assume gli stessi valori agli estremi dell’intervallo, cioè: f(a) = f(b).

Allora esiste almeno un punto x₀, tale che la derivata della funzione si annulli: f'(x₀) = 0.

La dimostrazione più banale viene eseguita sfruttando il teorema di Weierstrass o Fermat. Se le funzione agli estremi coincidono, per il teorema di Fermat, essendo ad esempio f(x₀) = M (massimo), allora il minimo sarà un punto all’interno dell’intervallo, mentre il massimo (M) è esterno quindi f'(x) = 0. Oppure, se soddisfate le condizioni di Weierstrass, sappiamo che nell’intervallo ci sono sia un minimo che un massimo assoluto. Se M = m significa che y = f(x) è una funzione costante la cui derivata è 0.

Esempio n.1

Sia data la seguente funzione f(x):
f(x) = sin(x) + 1 π.
Questa funzione è definita in un intervallo [0, π], ovvero -1 ≤ sin(x) ≤ 1.

Docente di analisi e fisica Falco Amedeo

Sostituiamo una volta l’argomento del seno con 0 e successivamente con π:
f(0) = 1 = f(π).
Per il teorema di Rolle, ovvero che agli estremi la funzione assume lo stesso valore, possiamo dire che esisterà almeno un punto x₀, appartenente a quell’intervallo, tale che la derivata prima della funzione si annulli.

Se facciamo la derivata di f(x) otteniamo: f'(x) = cos(x).

Il coseno, sappiamo che vale zero a π/2, per cui x = π/2, ovvero il punto interno all’intervallo [0, π], laddove la derivata prima della funzione si annulla.

Teorema di Cauchy

Siano date due funzioni, f(x) e g(x), con le stesse ipotesi citate per il Teorema di Rolle, allora ci sarà, per il Teorema di Cauchy, un punto x₀ ∈ (a, b) tale che:

[f'(x₀) / g'(x₀)] = [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)]

Dimostrazione

Prendiamo una funzione ausiliaria del tipo:

h(x) = [f(b) - f(a)]g(x) - [g(b) - g(a)]f(x)

Ora per il Teorema di Rolle, sappiamo che questa funzione è definita all’interno dell’intervallo [a,b], e che sarà derivabile.

Docente di analisi e fisica Falco Amedeo