Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy

Docente di Analisi e Fisica Falco Amedeo

Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy

Teorema di Rolle

Sia f, una funzione definita in un intervallo [a,b] , ovvero:

f :[a ,b R

]→

ed inoltre supponiamo che questa funzione sia continua nello

stesso intervallo e quindi derivabile nello stesso. Se la funzione

assume gli stessi valori agli estremi dell’intervallo, cioè:

f a

( )=f (b)

, b]

∈[a

Allora esiste almeno un punto x , tale che la derivata della

0

funzione si annulli: '

f x

( )=0

La dimostrazione più banale, viene eseguita sfruttando il teorema di

Weistrass o Fermat, per cui se le funzione agli estremi coincidono,

per il teorema di Fermat, essendo ad esempio f(x )=M (massimo)

0

allora il minimo sarà un punto all’interno dell’intervallo, mentre il

massimo (M) è esterno quindi f’(x)=0, oppure se soddisfate le

condizioni di Weistress, sappiamo che nell’intervallo ci sono sia un

minimo che un massimo assoluto, e se M=m significa che y=f(x) è

una funzione costante la cui derivata è 0.

Esempio n.1

Sia data la seguente funzione f(x):

f(x)= sin(x) +1 π ¿

Questa funzione è definita in un intervallo [0; , ovvero -1

⁡

≤ sin x 1

( )≤ .

Docente di Analisi e Fisica Falco Amedeo

Sostituiamo una volta l’argomento del seno con 0 e

π

successivamente con : f 0 π)

( )=1=f (

Per il teorema di Rolle, ovvero che agli estremi la funzione assume

lo stesso valore, possiamo dire che esisterà almeno un punto x ,

0

appartenente a quell’intervallo, tale che la derivata prima della

funzione si annulli.

Se facciamo la derivata di f(x) otteniamo:

' ⁡

f x x)

( )=cos ( π π

Il coseno, sappiamo che vale zero a , per cui x = , ovvero il

2 2

0

π

punto interno all’intervallo [0, ], ladove la derivata prima della

funzione si annulla.

Teorema di Cauchy

Sia date due funzioni, f(x) e g(x), con le stesse ipotesi citate per il

Teorema di Rolle, allora ci sarà, per il Teorema Di Couchy, un punto

, b)

∈(a

x tale che:

0 ' '

[ ] [ ]

( )−f ( ) ( )−g ( )

f b a g x g b a f

( ) = (x )

0 0

Dimostrazione.

Prendiamo una funzione ausiliaria del tipo:

[ ] [ ]

h x f b a g x g b a f

( )= ( )−f ( ) ( )− ( )−g ( ) (x)

Ora per il Teorema di Rolle, sappiamo che questa funzione è

definita all’interno dell’intervallo [a,b], e che sarà derivabile

Docente di Analisi e Fisica Falco Amedeo

all’interno dello stesso intervallo, per cui ci sarà un punto x dove la

0

derivata prima si annulla!

Ma dimostriamo che agli estremi la funzione h(x) assume lo stesso

valore (ipotesi di Rolle)

h b b g b a g b b f b g a f b a f b a g(b)

( ) ( ) ( )−f ( ) ( )−g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=f + =g −f

h a b g a a g a b f a g a f a b g a b f

( ) ( ) ( )−f ( ) ( )−g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=f + =f −g (a)

g a f b a g b b g a b f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−g ( )

−f =f (a)

Il teorema di Rolle è verificato, non ci resta che fare la derivata della

funzione h(x):

' ' '

[ ] [ ]

h x f b a g x g b a f x)

( )= ( ) ( ) ( )− ( )−g ( )

−f (

Dal teorema di Rolle sappiamo che h’(x=x )=0 ( proprio per ipotesi,

0

perché deve essere continua la funzione all’interno dell’ intervallo),

quindi otteniamo la dimostrazione del Teorema di Couchy:

' '

[ ] [ ]

f b a g x g b a f

( )−f ( ) ( )−g ( )

( ) = (x ) CVD

0 0

Esempio n.2

Siano date due funzioni: 3 g x

( )

f x

( )=x =x

Derivabili, definite e continue all’interno dell’intervallo (-2,2)

20

[ ] [ ]

2+2 3 x

−8−8 ∗1= 2

x

−16=12 0