Teorema del Valor Medio (Rolle e Lagrange), Dimostrazione

ROLLE

Data una f: [a,b] → R continua in [a,b] e derivata in (a,b) se f(a) = f(b) allora esiste un punto c ε (a,b) tale che f'(c) = 0

Dimostrazione:f: [a,b] → è continua per il teorema di Weierstrass esistono un m e M ε (a,b) tal che f(m) ≤ f(x) ≤ f(M) ∀ x ε (a,b)

Ora si possono verificare 2 casi:

1. f(m) = f(M) Questo implica che la funzione è costante lungo tutto l'intervallo [a,b] perciò f'(x)=0 ∀ ε (a,b)

2) m ≠ M Siccome avevamo posto per ipotesi che f(a) = f(b) non esistono né massimo né minino in a o in b allora vo del deve avere dell'interno dell'intervallo(a,b)

ROLLE

Data una f: [a,b] → ℝ continua in [a,b] e derivata in (a,b), se f(a) = f(b), allora esiste un punto c ∈ (a,b) tale che f'(c) = 0

Dimostrazione

f: [a,b] è continua in [a,b] quindi per il teorema di Weierstrass esistono un M e m ∈ (a,b) tali che f(m) ≤ f(x) ≤ f(M) ∀ x ∈ (a,b)

Abbiamo così f(m) ≤ f(x) ≤ f(M)

Ora si possono verificare 2 casi:

1. f(m) = f(M) Questo implica che la funzione è costante lungo tutto l'intervallo [a,b] perciò f'(x) = 0 ∀ x ∈ (a,b)
2. m ≠ M Essendo come ipotesi c ∈ (a,b) f(c) = f(c) non ci sia massimo né minimo in a o in b. Allora esiste un c di tale funzione nell'intervallo (a,b)

Prendiamo il caso in cui m_r = 0 x_M ed f(a,b)

Quindi x_M ∈ (a,b) ⇒ f'(x_M) = 0

Ossia per il teorema di Fermat sappiamo che un p_u di estremo ha derivata prima nulla, quindi f'(x_M) = 0.

Perció se scriviamo x_M = c otteniamo che f'(c) = 0.

LAGRANGE

Data una f: [a,b] → ℝ continue in [a,b] e

derivabile in (a,b) allora

f'(c) =

f(b) - f(a)

b - a

Il significato geometrico è il seguente:

Quindi vedi che esiste un punto c tra a,bin cui la retta tangente a f(c) ha lo stessocoefficiente delle secante passante per gli estremi(a,f(a)) e (b,f(b)).