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Analisi matematica I - il teorema di Fermat Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Giuga. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il teorema di Fermat sui massimi e minimi relativi, il teorema di Rolle, il teorema di Lagrange e le conseguenze notevoli di Lagrange.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. S. Giuga

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ESTRATTO DOCUMENTO

] [

= ∀ ∈

'

f ( x ) 1 x 0,1

(per l’ipotesi 2) f(0)=f(1)=0 . Ebbene, essendo tale funzione non verifica la

tesi del teorema di Rolle.

TEOREMA DI LAGRANGE

Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo compatto [a,b] e derivabile nei punti interni ad [a,b],

x

esiste un punto interno ad [a,b] tale che:

0 −

f (

b ) f ( a ) ( )

= '

f x

− 0

b a

Questa uguaglianza si chiama formula di Lagrange.

Dim

Consideriamo la funzione ausiliare −

 

f (

b ) f ( a ) ( )

= − + −

g ( x ) f ( x ) f ( a ) x a

 

 

b a

La quale,geometricamente, rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P del diagramma e del

punto Q della retta congiungente gli estremi A=(a,f(a)), B=(b,f(b)) aventi la stessa ascissa(distanza

variabile del diagramma della retta). ] [

a , b

Si verifica facilmente che g(a)=g(b)=0. D’altra parte g è continua in [a,b], derivabile in risulta

f ( b ) f ( a ) ] [

= − ∀ ∈

' '

g ( x ) f ( x ) x a , b

b a ] [

x a , b tale che

Ne segue, per il teorema di Rolle, che esiste un punto 0

− ] [

f (

b ) f ( a ) ∈

= − =

' ' x a , b tale che

g ( x ) f ( x ) 0 . Ma ciò equivale a dire che esiste un punto

− 0

0 0 b a −

f (

b ) f ( a )

=

'

f ( x ) .

0 b a

Il teorema è dimostrato.

3)CONSEGUENZE NOTEVOLI DEL TEOREMA DI LAGRANGE

Sappiamo che ogni funzione costante in un intervallo è derivabile ed ha derivata identicamente

nulla. Viceversa, mediante il teorema di Lagrange, si dimostra il seguente:

TEOREMA (sulle funzioni con derivata nulla) ] [

a , b

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in . V.s.i.

( ) ( )

] [ [ ]

= ∀ ∈

'

f ( x ) 0 x a , b f cos tan te in a , b

Dim 4

[ ]

∈ ≠

x x a , b x x

Siano con . applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f all’intervallo

1 2 1 2

x x

compatto di estremi e si ha:

1 2 −

f ( x ) f ( x ) = =

'

2 1 f ( x ) 0

− 0

x x

2 1

x

Dove è un punto interno all’intervallo in questione. Ne segue che

0 ( )

[ ] ( )

∈ ≠ ⇒ =

x , x a , b e x x f ( x ) f ( x )

1 2 1 2 1 2

[ ]

a , b

E ciò implica che f è costante in . Il teorema è dimostrato.

CRITERIO DI MONOTONIA [ ] ] [

f ( x ) a , b a , b

Sia una funzione continua nell’intervallo e derivabile in . V.s.i.

[ ]

] [

   

≥ ∀ ∈

' f ( x ) crescente in a , b

f ( x ) 0 x a , b

   

 

( )

 

( )

≤ decrescente

0  

 

Dim [ ] [ ]

<

∈ x x

x , x a , b x , x

Siano con . Applicando il teorema di Lagrange all’intervallo si ha

1 2 1 2 1 2

f ( x ) f ( x ) = ≥

'

2 1 f ( x ) 0

− 0

x x

2 1

] [

x x , x

Dove . Ne segue

0 1 2 [ ]

< ⇒ ≤ ∀ ∈

x x f ( x ) f ( x ) x , x a , b

1 2 1 2 1 2

[ ]

a , b

E ciò per definizione significa che f è crescente in

Dim [ ] ] [

∀ ∈ ∀ ∈

x a , b e x a , b essendo f crescente risulta:

0 −

f ( x ) f ( x ) ≥

0 0

x x

0

E quindi anche −

f ( x ) f ( x ) ] [

= ≥ ∀ ∈

' 0

f ( x ) lim 0 x a , b

0 0

→ x x

x x

0 0

Il teorema è completamente dimostrato. 5

Osservazione notevole

Dalla dimostrazione del criterio di monotonia si deduce facilmente la seguente implicazione

[ ]

] [

   

> ∀ ∈

' f strettamente crescente in a , b

f ( x ) 0 x a , b

   

 

( )

 

( )

< decrescente

0  

  = 3

f ( x ) x

Tuttavia questa implicazione non si inverte. Consideriamo infatti la funzione

= =

' 2 '

f ( x ) 3 x f (0) 0

strettamente crescente in R. Essendo risulta . Pertanto la derivata di una

funzione strettamente monotona può annullarsi in qualche punto.

Osservazione 2

I teoremi di cui ci siamo occupati non valgono in generale se l’insieme di definizione della funzione

f non è un intervallo.

4) FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO

Abbiamo visto che la nozione di estremo relativo è molto importante per lo studio del diagramma di

una funzione. Vogliamo ora occuparci di altre due considerazioni del diagramma che non sono

meno importante.

Definizione 1 [ ]

a , b

Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo , in tale ipotesi il diagramma di f è dotato di

[ ]

a , b

retta tangente in ogni punto di .

[ ] [ ]

a , b x a , b

Si ha che f è convessa in quando in ogni punto accade che il diagramma di f è al di

0

x

sopra della retta tangente nel punto di ascissa .

0

[ ] [ ]

a , b x a , b

Analogamente si dice che f è concava in se in ogni punto accade che il diagramma

0

x

di f è al di sotto della tangente nel punto di ascissa .

0

Osservazione notevole x

Ricordando che l’equazione della retta tangente al diagramma di f nel punto è

0

= + −

'

y f ( x ) f ( x )( x x )

0 0 0

Possiamo affermare che: ( )

( )

[ ] [ ]

⇔ ≥ + − ∀ ∈

'

f convessa in a , b f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) x , x a , b

0 0 0 0

( )

( )

[ ] [ ]

⇔ ≤ + − ∀ ∈

'

f concava in a , b f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) x , x a , b

0 0 0 0

Definizione 2 6

[ ] [ ] ] [

a , b x a , b x a , b

Sia f(x) una funzione derivabile nell’intervallo e un punto interno ad cioè .

0 0

x P ( x ; f ( x ))

Si dice che è un punto di flesso per la funzione f o anche che il punto è un punto

0 0 0 0

[ ] [ ]

a , x x , b

di flesso per il diagramma di f quando accade che f(x) è concava in e convessa in o

0 0

viceversa.

Osservazione [ ]

x x

a , b

Si noti che se è un punto di flesso per f allora esistono punti di diversi da in cui il

0 0

[ ]

x a , b x

diagramma di f sta al di sopra della tangente in e punti di diversi da in cui il diagramma

0 0

x

di f sta al di sotto della tangente in . Conseguentemente la tangente di flesso attraversa il

0

diagramma.

Osservazione

Nelle applicazioni può capitare che il diagramma di f abbia l’andamento in figura e cioè sia

[ ] [ ]

a , x x , b x

convesso in e concavo in e la tangente di sia verticale, evidentemente in tal caso

0 0 0

= ∞

' x

f ( x )

risulta e si dice che la funzione f ha in un flesso a tangente verticale e la retta di

0

0 =

x x

equazione si chiama retta tangente di flesso. Naturalmente tutto ciò vale anche quando

0

[ ] [ ]

a , x x , b

viceversa, in f è concava e in f è convessa.

0 0

CRITERIO DI CONVESSITA’ (senza dimostrazione)

[ ] ] [

a , b a , b

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo e due volte in . V.s.i.

[ ]

] [

   

≥ ∀ ∈

'' f convessa in a , b

f ( x ) 0 x a , b

   

 

( )

 

( )

≤ concava

0  

 

Da questo teorema si deduce immediatamente il seguente risultato.

TEOREMA (condizione necessario di flesso) [ ] ] [

a , b x a , b

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo e due volte nel punto . V.s.i.

0

( )

( ) ⇒ =

''

x punto di flesso per f f ( x ) 0

0 0

Dim

x

Se è un punto di flesso, per il criterio di convessità e per il criterio di monotonia la derivata

0 [ ] [ ]

' a , x x , b x

f ( x ) risulta crescente in e decrescente in o viceversa. Conseguentemente è un

0 0 0

'

f ( x )

punto di estremo assoluto e quindi anche di estremo relativo per . Dal teorema di Fermat

applicato alla funzione f’ segue la tesi. 7

Osservazione = 4

f ( x ) x

L’implicazione incontrata in questo teorema non si inverte. Ad esempio la funzione è

= = ≥ ∀ ∈

¡

' 3 '' 2

f ( x ) 4 x , f ( x ) 12 x 0 x

convessa in tutto R perché risulta . Tuttavia risulta

=

''

f (0) 0 ; la derivata seconda si annulla nel punto zero che non è di flesso.

Osservazione

Dalle considerazioni svolte in questo paragrafo si deduce che lo studio del segno della derivata

seconda di una funzione f consente di determinare la concavità, la convessità e i punti di flesso del

diagramma. I punti di flesso a tangente non verticale sono da ricercare tra i punti interni

x

all’intervallo di definizione di f nei quali la derivata seconda si annulla. Se in un punto risulta

0

=

'' x

f ( x ) 0 e inoltre la derivata seconda è minore di zero a sinistra di e maggiore di zero a destra

0

0 x x

allora è un punto di flesso per f. naturalmente si giunge alla stessa conclusione se a sinistra di

0 0

> <

'' ''

f ( x ) 0 f ( x ) 0

e a destra .

5) ASINTOTI

Si dice asintoto una retta alla quale una curva, che nei casi che ci riguardano è un diagramma, si

avvicina infinitivamente. Gli asintoti si dicono orizzontali, verticali e obliqui.

Considerata una funzione f(x) è facile convincersi che

( )

( )

= ⇔ =

I) y l asintoto orizzontale per f lim f ( x ) l

→ ±∞

x

 

( )

= ⇔ = +∞ − ∞

 

II) x x asintoto verticale per f lim f ( x ) opp

.

 

0 ±

x x

0

Nel caso dell’asintoto obliquo y=mx+n è evidente che la distanza PQ del diagramma dalla retta

tende a zero se e solo se tende a zero la “distanza verticale” PT cioè la differenza tra le ordinate del

diagramma della retta.

Ne segue che: ( )

[ ]

( )

= + ⇔ − + =

III) y mx n asintoto obliquo per f lim f ( x ) ( mx n ) 0

→ ±∞

x

Si verifica che y=mx+n è un asintoto obliquo se e solo se

f ( x ) ( )

= = −

m lim e n lim f ( x ) mx

→ ±∞ → ∞

x

x x

Osservazione 1

Si noti che, affinché il diagramma di f(x) abbia la retta obliqua y=mx+n come asintoto è necessario

∈ ¡

≠ m , n

m 0

che risulti e . Conseguentemente se uno dei due limiti non esiste oppure esiste ed è

infinito il diagramma è sprovvisto di asintoto obliquo.

Osservazione 2

Si noti che per il teorema di unicità del limite gli asintoti risultano unici 8

6) LA REGOLA DI L’HOPITAL x

Consideriamo due funzioni reali f e g entrambe infinitesime o entrambe infinite in un punto . In

0

∞ ∞

0 / 0 /

tal caso il loro rapporto f/g si presenta in forma indeterminata o perché il limite può

esistere (finito o infinito) come può non esistere. Un metodo utile per studiare tali forme

indeterminate è fornito dal seguente teorema

TEOREMA DI L’HOPITAL(senza dimostrazione)

] [ ≤ +∞

a , x x

Siano f(x) e g(x) due funzioni reali derivabili nell’intervallo con (nell’intervallo

0 0

] [ ≥ − ∞

x , b x

con ). Supponiamo che risulti

0 0 = = = ±∞ = ±∞

lim f ( x ) lim g ( x ) 0 oppure lim f ( x ) e lim g ( x )

→ → → →

x x x x x x x x

0 0 0 0

] [ ] [

a , x x , b

E che i rapporti f/g e f’/g’ abbiano significato in (in ) cioè che risulti

0 0

( )

[ ]

[ ]

≠ ≠ ∀ ∈ ∀ ∈

'

g ( x ) 0 e g ( x ) 0 x a , x x x , b x

, se f e g sono infinitesime in . In tale ipotesi

0

0 0

vale l’implicazione:    

'

f ( x ) f ( x )

= ∈ ⇒ =

¡

   

lim l lim l

'  

→ →

 

g ( x ) g ( x )

x x x x

0 0

Osservazione 1 (notevole)

In base al teorema di l’ Hospital ogni volta che il limite

f ( x )

lim

→ g ( x )

x x

0 ∞ ∞

/

Si presente nella forma indeterminata 0/0 o nella forma si può cercare di calcolare tale limite

x

sfruttando il limite in del rapporto delle derivate

0 '

f ( x )

lim .

'

→ g ( x )

x x

0 f ( x )

lim

Se quest’ ultimo limite esiste (finito o infinito) allora esiste anche il e risulta

→ g ( x )

x x

0

 

'

f ( x ) f ( x )

=

 

lim lim .

'

→ →

 

g ( x ) g ( x )

x x x x

0 0

x

Naturalmente può capitare che anche il limite in del rapporto delle derivate f’/g’ si presenti in

0

forma indeterminata. In tal caso, se f’ e g’ verificano le ipotesi del teorema di l’ Hopital, è possibile

''

f ( x )

lim

riapplicare la regola di l’Hopital e cioè si può provare a calcolare il limite ''

→ g ( x )

x x

0

Evidentemente, se questo limite esiste, risulta

' ''

f ( x ) f ( x )

=

lim lim

' ''

→ →

g ( x ) g ( x )

x x x x

0 0

E conseguentemente ' ''

f ( x ) f ( x ) f ( x )

= =

lim lim lim .

' ''

→ → →

g ( x ) g ( x ) g ( x )

x x x x x x

0 0 0 9


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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