Analisi matematica I - il teorema di Fermat

FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO

Abbiamo visto che la nozione di estremo relativo è molto importante per lo studio del diagramma di una funzione. Vogliamo ora occuparci di altre due considerazioni del diagramma che non sono meno importanti.

Definizione 1: Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo [a, b]. In tale ipotesi il diagramma di f è dotato di una retta tangente in ogni punto di [a, b].

Inoltre, si ha che f è convessa in [a, b] quando in ogni punto accade che il diagramma di f è al di sopra della retta tangente nel punto di ascissa x.

Analogamente, si dice che f è concava in [a, b] se in ogni punto accade che il diagramma di f è al di sotto della tangente nel punto di ascissa x.

Osservazione notevole: Ricordando che l'equazione della retta tangente al diagramma di f nel punto x0 è y = f(x0) + f'(x0)(x - x0), possiamo affermare che:

(f''(x) ≥ 0) ⇔ f è convessa

(f''(x) ≤ 0) ⇔ f è concava

$\forall$ ∈ f convessa in a, b se f(x) ≤ f(x) per ogni x in a, b

∀ ∈ f concava in a, b se f(x) ≥ f(x) per ogni x in a, b

Definizione 2.6

Sia f(x) una funzione derivabile nell'intervallo a, b e c un punto interno ad a, b, cioè a < c < b.
Si dice che c è un punto di flesso per la funzione f o anche che il punto P(c, f(c)) è un punto di flesso per il diagramma di f quando accade che f(x) è concava in a, c e convessa in c, b, o viceversa.

Osservazione

Si noti che se c è un punto di flesso per f allora esistono punti x di a, b diversi da c in cui il diagramma di f sta al di sopra della tangente in P e punti x di a, b diversi da c in cui il diagramma di f sta al di sotto della tangente in P. Conseguentemente, la tangente di flesso attraversa il diagramma.

Osservazione

Nelle applicazioni può capitare che il

diagramma di f abbia l'andamento in figura e cioè sia [ ] [ ]a , x x , b x convesso in e concavo in e la tangente di sia verticale, evidentemente in tal caso 0 0 0= ∞' xf ( x ) risulta e si dice che la funzione f ha in un flesso a tangente verticale e la retta di 00 =x x equazione si chiama retta tangente di flesso. Naturalmente tutto ciò vale anche quando 0 [ ] [ ]a , x x , b viceversa, in f è concava e in f è convessa. 0 0

CRITERIO DI CONVESSITA' (senza dimostrazione) [ ] ] [a , b a , b Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell'intervallo e due volte in . V.s.i. [ ]] [    ≥ ∀ ∈'' f convessa in a , b ⇔ f ( x ) 0 x a , b     ( ) ( ) ≤ concava0    Da questo teorema si deduce immediatamente il seguente risultato.

TEOREMA (condizione necessario di flesso) [ ] ] [∈a , b x a , b Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell'intervallo e due volte nel punto .

V.s.i.0( )( ) ⇒ =''x punto di flesso per f f ( x ) 00 0DimxSe è un punto di flesso, per il criterio di convessità e per il criterio di monotonia la derivata0 [ ] [ ]' a , x x , b xf ( x ) risulta crescente in e decrescente in o viceversa. Conseguentemente è un0 0 0'f ( x )punto di estremo assoluto e quindi anche di estremo relativo per . Dal teorema di Fermatapplicato alla funzione f’ segue la tesi. 7Osservazione = 4f ( x ) xL’implicazione incontrata in questo teorema non si inverte. Ad esempio la funzione è= = ≥ ∀ ∈¡' 3 '' 2f ( x ) 4 x , f ( x ) 12 x 0 xconvessa in tutto R perché risulta . Tuttavia risulta=''f (0) 0 ; la derivata seconda si annulla nel punto zero che non è di flesso.OsservazioneDalle considerazioni svolte in questo paragrafo si deduce che lo studio del segno della derivataseconda di una funzione f consente di determinare la concavità, la

convessità e i punti di flesso del diagramma. I punti di flesso a tangente non verticale sono da ricercare tra i punti interni all'intervallo di definizione di f nei quali la derivata seconda si annulla. Se in un punto risulta f''(x) = 0 e inoltre la derivata seconda è minore di zero a sinistra di x e maggiore di zero a destra di x, allora x è un punto di flesso per f. Naturalmente si giunge alla stessa conclusione se a sinistra di x f''(x) > 0 e a destra f''(x) < 0.

5) ASINTOTI

Si dice asintoto una retta alla quale una curva, che nei casi che ci riguardano è un diagramma, si avvicina infinitivamente. Gli asintoti si dicono orizzontali, verticali e obliqui.

Considerata una funzione f(x) è facile convincersi che:

I) y = l è l'asintoto orizzontale per f se lim f(x) = l quando x tende all'infinito.

II) x = a è l'asintoto verticale per f se lim f(x) = +∞ o -∞ quando x tende ad a.

±→x x0

Nel caso dell’asintoto obliquo y=mx+n è evidente che la distanza PQ del diagramma dalla retta tende a zero se e solo se tende a zero la “distanza verticale” PT cioè la differenza tra le ordinate del diagramma della retta.

Ne segue che: ( )[ ]( )= + ⇔ − + =III) y mx n asintoto obliquo per f lim f ( x ) ( mx n ) 0→ ±∞x

Si verifica che y=mx+n è un asintoto obliquo se e solo se f ( x ) ( )= = −m lim e n lim f ( x ) mx→ ±∞ → ∞xx x

Osservazione 1

Si noti che, affinché il diagramma di f(x) abbia la retta obliqua y=mx+n come asintoto è necessario∈ ¡≠ m , nm 0 che risulti e . Conseguentemente se uno dei due limiti non esiste oppure esiste ed è infinito il diagramma è sprovvisto di asintoto obliquo.

Osservazione 2

Si noti che per il teorema di unicità del limite gli asintoti risultano unici 86) LA REGOLA DI L’HOPITAL x

Consideriamo

Due funzioni reali f e g entrambe infinitesime o entrambe infinite in un punto x. In x = 0, ∞, ∞/0, o tal caso il loro rapporto f/g si presenta in forma indeterminata o perché il limite può esistere (finito o infinito) come può non esistere. Un metodo utile per studiare tali forme indeterminate è fornito dal seguente teorema:

TEOREMA DI L'HOPITAL (senza dimostrazione)

Siano f(x) e g(x) due funzioni reali derivabili nell'intervallo (a, x, b) con a ≤ x ≤ b. Supponiamo che risulti:

lim f(x) = lim g(x) = 0 oppure lim f(x) e lim g(x) → ±∞

per x → 0.

E che i rapporti f/g e f'/g' abbiano significato in (a, x, b), cioè che risulti:

lim g(x) ≠ 0 e g'(x) ≠ 0 per x → 0

Se f e g sono infinitesime in x, in tale ipotesi:

Vale l'implicazione:
$“\genfrac{}{}{0ex}{}{f(x)}{f(x)}=\in \Rightarrow =¡“\genfrac{}{}{0ex}{}{g(x)}{g(x)}\to \to “\genfrac{}{}{0ex}{}{g(x)}{g(x)}xxxx=0$

Osservazione 1 (notevole)
In base al teorema di l'Hospital ogni volta che il limite
$f(x)\to g(x)xx\to \infty$
si presenta nella forma indeterminata $0/0$ o nella forma $\infty /\infty$, si può cercare di calcolare tale limite
$f(x)\to g(x)xx\to “\genfrac{}{}{0ex}{}{f(x)}{g(x)}\to xxxx=0$

Naturalmente può capitare che anche il limite
$f(x)\to g(x)xx\to “\genfrac{}{}{0ex}{}{f(x)}{g(x)}$
si presenti in forma indeterminata. In tal caso, se $f\text{'}$ e $g\text{'}$ verificano le ipotesi del teorema di l'Hopital, è possibile
$f(x)\to g(x)xx\to “\genfrac{}{}{0ex}{}{f(x)}{g(x)}$

Applicando la regola di l'Hopital, possiamo provare a calcolare il limite:

lim g(x) = lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x)

E conseguentemente:

f(x) = lim f'(x) / g'(x) = lim f''(x) / g''(x)

Osservazione 2: Si noti che l'implicazione contenuta nel teorema di l'Hospital non si inverte. Consideriamo ad esempio le funzioni f(x) = x^2 e g(x) = x. Le quali sono entrambe infinitesime in 0 e verificano le ipotesi del teorema. Si ha:

f'(x) = 2x, g'(x) = 1

E quindi:

lim f'(x) / g'(x) = lim 2x / 1 = 0

→ →g ( x ) e 1 e 1x 0 x 0 x 0

Osservazione 3

Da questi esempi si deduce che la regole di l’ Hospital si può applicare non solo ai limiti nelle∞ ∞/forme indeterminate 0/0 e ma anche, con opportuni artifici di calcolo, a tutte le formeindeterminate.

7) STUDIO DEL DIAGRAMMA DI UNA FUNZIONE

I risultati fin qui ottenuti ci consentono di studiare l’andamento del diagramma di una espressione