Teorema di esistenza degli zeri

Teorema di esistenza degli zeri

Enunciato Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]. Se f(a) < 0, f(b) > 0, allora esiste x∈(a,b) tale che f(x)=0. Ovviamente tale tesi vale anche se f(a) > 0 e f(b) < 0, cioè il teorema di esistenza degli zeri vale solo supponendo che f(a) ed f(b) siano di segno discorde.

Dimostrazione del teorema mediante il metodo di bisezione

Consideriamo un punto c, punto di mezzo dell'intervallo [a,b], cioè c = _a+b/². Se f(c)=0 abbiamo trovato una radice (soluzione dell'equazione). Altrimenti consideriamo i 2 casi: f(c) > 0, f(c) < 0

Se discordi quindi OK [a,c] [c₁,b₁]

_∏ minimom

In generale avremo _{ se f(c) > 0 ⇒ a₁ = a, b₁ = c _{ se f(c) < 0 ⇒ a₁ = c, b₁ = b

Abbiamo così trovato un intervallo [a₁,b₁], di ampiezza metà del precedente [a,b], per cui risulta f(a₁) < 0, f(b₁) > 0. Adesso eseguiamo la medesima operazione su [a₁,b₁], avremo quindi c₁ = a₁+b₁^/2 e ripetiamo il ragionamento.

f(e₁) < 0 e f(e₁) > 0 vanno bene perché discordi quindi deve esserci uno zero, nell'intervallo e₁

f(b₁) > 0 c₁ <= _e1+b4^/2 e1 = b₁ = c₁