Teorema degli zeri delle funzioni

Teorema degli zeri delle funzioni

Teorema di esistenza degli zeri

Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, in cui f si annulla.

f continua in [a; b], f(a) < 0, f(b) > 0 ⇒ ∃ c ∈ ]a; b[ | f(c) = 0

Controesempi

• La funzione è continua nell'intervallo ]1; 5[, f(1) < 0 e f(5) > 0, ma non esiste alcun punto dell'intervallo in cui essa si annulla.
• La funzione non è continua in x = -1; f(-4) < 0 e f(3) > 0. Non esiste alcun punto dell'intervallo [-4; 3] in cui essa si annulla.

Teorema di Weierstrass

Stabiliamo se vale il teorema di Weierstrass per la seguente funzione, nell'intervallo indicato:

f(x) = {

•   -x² + 4     se  x ≤ 2
•   ¹/₂x – 1      se  x > 2

in [-1; 3].

Dobbiamo verificare l'ipotesi del teorema, ossia che la funzione è continua nell'intervallo [-1; 3]. Per ogni x ∈ [-1; 3] e x ≠ 2, la funzione è continua perché sono continue le funzioni y = -x² + 4 e y = ¹/₂x – 1. Per x = 2 si ha f(2) = 0 e lim_x→2^- (-x² + 4) = lim_x→2⁺ (¹/₂x - 1) = 0, quindi anche in 2 la funzione è continua.

Concludiamo che vale il teorema di Weierstrass.

Osservazione

Dal grafico della funzione possiamo dedurre che nell'intervallo [-1; 3] il punto di massimo è (0; 4) e quello di minimo è (2; 0). Il massimo M della funzione è M = 4 e il minimo m è m = 0.