Riassunto esame Teorie e Tecniche dei Test, prof. Robusto, libro consigliato Misurare in Psicologia il Modello di Rasch, Cristanto, Mannarini

Lo specifico tratto (o variabile) sia quantificabile

- siano un'effettiva espressione della varietà del

Esista una misura di questo tratto tale che i numeri che la contraddistinguano

- carattere

==> Questo manca alla psicologia, secondo Michell (1999)

ATT: Statistiche sono DIVERSE da misure

Statistiche:

Numeri usati senza preoccuparsi se sono l'espressione di un'unità di misura invariante

- Sono orientete sulle relazioni tra variabili

- Hanno per obiettivo l'analisi dei dati

- Forti assunzioni sulla natura dei dati ma pochi strumenti di controllo

- Relazioni tra variabili sono espresso a livello di campioni e popolazioni

- Hanno inizio e fine con l'analisi dei dati

- Di natura descrittiva

-

Misure

Obiettivo individuare unità di misura invariante e calibrare gli strumenti

- Sono orientate sulle relazioni fra oggetti

- Controllano congruenza dati‐modello e definiscono la natura dei dati

- Sono indipendenti da campioni e popolazioni

-

DEF: Misurazione fondamentale= misurazione che non deriva da altre misurazioni e che consente di compiere operazioni di addizione (e

sottrazione), implicando perciò una concatenazione degli oggetti misurati e concettualizzando perciò un'unità di misura. Essenziali sono dunque

Invarianza dei confronti

- Struttura additiva

- Unità di misura costante

- ==> necessario sistema di riferimento bidimensionale (items e persone per es)

La misurazione in psicologia secondo queste definizioni è possibile, infatti prendiamo questo confronto:

Dati due segmenti lunghi rispettivamente X e Y unità,

La lunghezza del segmento X+Y è pari alla somma delle lunghezze dei due segmenti

Definendo il risultato dell'abilità di una persona m su un item i come il logaritmo del rapporto tra la probabilità di successo e quella di insuccesso, ovvero

Risultato Ami=log(Pmi/(1‐Pmi)) ,

Allora il risultato dell'abilità di due persona m e n sullo stesso item è pari al logaritmo della probabilità di successo congiunto su quella di insuccesso

congiunto.

Ma effettivamente, sommando Per le proprietà dei logaritmi

+

Si ha (visto che log a + log b = log (a*b) )

Che è effettivamente il log della probabilità congiunta di successo sulla probabilità congiunta di insuccesso.

OSS: si usano i logaritmi perché permettono di operare tra ‐inf e + inf, quando in realtà la probabilità va da 0 a 1.

ATT! Punteggi è diverso da MISURE.

Punteggi SEMBRANO misure, perché hanno origine assoluta e possiedono un'apparente unità di misura. ES: mobilità del paziente si misura e questa può

essere correlata con il punteggio di rapidità a effettuare un percorso.

Relazione tra punteggi e misure è OGIVALE, nel senso che punteggi sono in un intervallo finito mentre misure INFINITO! Perciò, quando i dati sono

completi la relazione tra punteggi e misure è MONOTONA in un certo intervallo.

==> Rasch propone un modello (1953) che costituisce condizione necessaria e sufficiente per la definizione di una misura in uan qualunque scienza.

Quantitativa a prescindere dal contesto a cui è applicata

- Risultato di interazione persone‐item non può essere completamente predeterminata

- Più una persona abile più alta probabailità di risposndere correttamente a item di qualsiasi difficoltà

- Più item difficile minore probabilità di ricevere una risposta corretta da una persona di qualsiasi abilità

- Misurare implica un conteggio di unità standard da un punto di partenza standard

-

IRT (Item Response Theory) Teorie e tecniche Page 1

Tratti = variabili latenti nel test, che si possono inferire dalle prestazioni osservate del soggetto su un insieme di items

- Vari modelli matematici che definiscono il modello: deterministici vs probabilistici, con funzione normale vs logistica, ma anche in base al numero di

- parametri.

○ I modelli più semplici, a UN parametro, sono di RASCH:

(probabilità che il soggetto V risponda correttamente (=1) all'item i è proporzionale all'esponenziale della differenza tra l'abilità del soggetto

(beta) e la difficoltà dell'item (delta)

○ La peculiarità di questi modelli sta nel fatto che

 Se un soggetto ha abilità k volte un altro, allora la probabilità che il primo risponda esattamente a un dato item è k volte maggiore alla

probabilità che l'altro risponda correttamente

 Se un item è k volte più facile di un altro, lo stesso soggetto ha una probabilità k volte maggiore di dare la risposta esatta al primo item

rispetto al secondo.

○ Ne esistono di diversi tipi: Simple Logistic, Binomial, Polytomous; Dispersion Location; Many Facet Rasch Measurement; Response

Dependence of Subject; Extended logistic model. Ci si concentra sul Simple Logistic

Simple Logistic Model

Si applica in qualunque contesto in cui ci sia

Una matrice Soggetti x Variabili

- Una dimensione relativamente alla quale vengono valutate le caratteristiche di soggetti e variabili

- Livelli di intensità crescente di sogg e variabili

- Una strumento di valutazione per la dimensione

- maggiore della difficoltà dell'item (delta i = log Di) allora è maggiore la probabilità

Dall'equazione vista prima, se l'abilità del soggetto (beta v= log Av) è

che il soggetto risponda correttamente, mentre se è maggiore il contrario allora è più probabile che il soggetto risponda in maniera contrata (P: X=0 >

P:X=1)

Se si vuole tenere in conto di probabilità di risposta intermedie tra 0 e 1, la formulazione generale del SLM è

Che si legge: La probabilità che la risposta all'item i del soggetto v sia xvi, stanti le abilità del soggetto (beta v) e la difficoltà dell'item (delta i) è pari a bla bla

bla. Nota: se xvi=1 si ricade nel caso P=1 (formula sopra), se xvi=0, si ottiene al numeratore 1, che è prorpio uguale alla probabilità di risposta errata, intesa

come P(X=0)=1‐P(X=1)

La base per l'SLM è la matrice di risposte: indatti si usano come STATISTICHE SUFFICIENTI:

I punteggi complessivi dei soggetti, intesi come somma di xvi tra tutti gli items per un singolo soggetto

- I punteggi totali relativi agli item, sommando i punteggi di vari soggetti per uno stesso item

-

INDIPENDENZA STOCASTICA: La probabilità felle risposte di un insieme di items è pari al prodotto delle probabilità delle singole risposte (come al solito),

ovvero P(xv1, xv2, xv3)= P(xv1)*P(xv2)*P(xv3) pari alla somma delle probabilità associate a tutti i possibili pattern di risposte che producono

PERCIò la probabilità di un certo rv (risultato del soggetto v) è

quel risultato.

Si può dimostrare che da probabilità di un certo pattern di risposte non dipende dall'abilità del soggetto, bensì SOLO dalla difficoltà degli item.

Infatti, la probabilità di un certo pattern di risposte, noto il totale rv è pari alla probabilità di QUEL pattern diviso tutti i pattern che danno il totale rv, ma

scrivendolo algebricamente si può semplificare il termine che contiene beta, cosicchè si ha solo

OSS: si nota così che la stima della difficoltà (delta i) è indipendente dal tipo di distribuzione di probabilità che caratterizza i soggetti: UNA QUALUNQUE

DISTRIBUZIONE è ACCETTABILE.

OGGETTIVITà SPECIFICA: la relazione tra parametri (delta i) di die item è indipendente dai parametri di abilità dei soggetti e, allo stesso modo, la relazione

tra parametri (beta) è indipendente dalla difficoltà degli item: stupidata, nel senso che (beta v‐ delta i) ‐ (beta v ‐ delta j) è uguale a (beta z ‐ delta i) ‐ (beta z‐

delta j). (e allo stesso modo si scrive la seconda parte dell'affermazione) si chiama anche INVARIANZA DELLA RELAZIONE.

LINEARTà DEI PUNTEGGI: Punteggi appartengono ad un continuum lineare in cui l'unità di misura è il logit (derivate dalla forma logaritmica del modello). I

logit danno luogo a una scala ad intervali. Essendo misure LINEARI SU scala INTERVALLI si può utilizzare una trasformazione mediante una funzione lineare

f= k + lambda* x. OSS: il Logit si definisce come:

Verifica ATTENDIBILITà e FEDELTà‐

Metodo dei RESIDUI STANDARD

DEF: Residuo= differenza tra la risposta osservata (Xvi) e il valore atteso di quella risposta ( E(Xvi))

Ora, E(X) è la media ponderata dei valori che può assumere la variabile per la probabilità di questi. Nel caso di un modello dicotomico, la risposta può essere

Teorie e tecniche Page 2

solo 1 o 0. Perciò E(Xvi)=1*P(Xvi=1)+0*P(Xvi=0), perciò E(Xvi)=P(Xvi=1).

Il residuo STANDARD è il residuo diviso la deviazione standard, ovvero

(ricorda che var (Xvi) = P(Xvi=1)*P(Xvi=0) )

OSS: se Xvi=1, allora Non so se serva la dimostrazione, comunque è abb facile: Scriviamo così zvi: Xv‐ P(Xv)/Rad(P(xv=1)*P(xv=0))

Ora si valuta per xv=1, allora diventa zvi(1)= 1‐P(xv=1)/Rad(P(xv=1)*P(xv=0))

Mentre se Xvi=0, allora Ma 1‐P(xv=1) è uguale a P(xv=0), ossia zvi(1)=P(xv=0)/Rad(P(xv=1)*P(xv=0))

Il numeratore si può scrivere come Rad(P(xv=0)^2), così si porta tutto sotto la radice.

Si semplifica il P(xv=0) al denominatore e si elimina il quadrato al numeratore

E si ottiene zvi(1)=Rad(P(xv=0)/P(xv=1))

Se scriviamo esplicitamente P(xv=0) come 1/(1+exp(beta‐delta)) e P(xv=1) come exp(beta‐delta)/(1+exp(beta‐delta)), si

semplificano i termini 1+exp(…) e resta solo zvi(1)=rad(1/exp(beta‐delta)), che per le regole degli esponenziali si può scrivere

come zvi(1)=rad(exp(delta‐beta)) ‐‐> CVD.

Dimostrazione identica nell'altro caso

Attendibilità: si dimostra usando il CHI QUADRO, che è la somma dei risidui standard al quadrato.

Esso può quindi essere

Chi quadro dell'item, quando si fa la somma per un dato item dei residui standard di tutti i soggetti (somma su v di Zvi^2 = chiquadro i) ==>

- (L‐1)*(N‐1)/L gradi di libertà

Chi quadro del soggetto, quando si fa la somma per un dato soggetto dei residui standard di tutti gli items (somma su i di zvi^2 = chiquadro v) ==>

- (L‐1)*(N‐1)/N gradi di libertà

Infit e Outfit

Elaborano i residui standard (zvi) dalle misure ottenute da una pers/item

Outfit dà enfasi alle risposte inattese LONTANE

- ○ Questo si ha perché Outfit valuta una media del chi quadro (ossia della somma degli scarti quadrati) senza ponderarli: perciò outfit di i=

chiquadro di i/N, mentre outfit di v= chi quadro v/L (con L e N rispettivamente numero di item e numero di soggetti

Infit dà enfasi alle risposte inattese VICINEdalle misure ottenute da una pers/item

- ○ Q