Tecnica delle Costruzioni - ERRORE

Esame sull'analisi di telaio

A cura degli studenti del prof. M. A. Pisani

Indice

• I corollari di Mohr __________________________________________ p. 1.1
  • Esercizio n° 1 _________________________________________________ p. 1.3
  • Esercizio n° 2 _________________________________________________ p. 1.4
  • Esercizio n° 3 _________________________________________________ p. 1.5
  • Esercizio n° 4 _________________________________________________ p. 1.6
  • Esercizio n° 5 _________________________________________________ p. 1.7
  • Esercizio n° 6 _________________________________________________ p. 1.8
  • Esercizio n° 7 _________________________________________________ p. 1.10
  • Esercizio n° 8 _________________________________________________ p. 1.12
  • Esercizio n° 9 _________________________________________________ p. 1.14
  • Esercizio n° 10 ________________________________________________ p. 1.16
  • Esercizio n° 11 ________________________________________________ p. 1.19
  • Esercizi a casa ________________________________________________ p. 1.20
• Il metodo delle forze ____________________________________ p. 2.0
  • Esercizio n° 1 _________________________________________________ p. 2.02
  • Esercizio n° 2 _________________________________________________ p. 2.07
  • Esercizio n° 3 _________________________________________________ p. 2.12
  • Esercizio n° 4 _________________________________________________ p. 2.17
  • Telai a nodi fissi ed a nodi spostabili _______________________ p. 2.25
    • Esercizio n° 5 _________________________________________ p. 2.30
    • Esercizio n° 6 _________________________________________ p. 2.36
    • Esercizio n° 7 _________________________________________ p. 2.41
    • Esercizio n° 8 _________________________________________ p. 2.47
• Il metodo degli spostamenti ____________________________ p. 3.0
  • Esercizio n° 1 _________________________________________________ p. 3.01
  • Esercizio n° 2 _________________________________________________ p. 3.10
  • Esercizio n° 3 _________________________________________________ p. 3.16
  • Esercizio n° 4 _________________________________________________ p. 3.28
  • Esercizio n° 5 _________________________________________________ p. 3.35
  • Esercizio n° 6 _________________________________________________ p. 3.45
  • Esercizio n° 7 _________________________________________________ p. 3.56
  • Esercizio n° 8 _________________________________________________ p. 3.67
  • Esercizio n° 9 _________________________________________________ p. 3.01iii

I corollari di Mohr

A cura di Sara Patrignani

Convenzioni

Si adottano le seguenti convenzioni di segno: i versi di azione assiale, forze e coppie concentrate, reazioni vincolari, sono ininfluenti nelle espressioni in fondo a questa pagina e possono quindi essere scelti arbitrariamente.

Analogia di Mohr

Analogia formule:

2d y(x) M(x) = - Dall’equazione della linea elastica per piccoli spostamenti, trascurando le 2dx EJ deformazioni di taglio ed utilizzando la teoria del I ordine.

2d M(x) = - q(x) Dall’equazione di equilibrio dell’elementino di trave. 2dx

Noto q(x) si può ricavare M(x) con considerazioni di equilibrio, senza integrare.

Teorema di Mohr

La linea elastica di una trave coincide col diagramma del momento fittizio M* q* = M provocato in ogni sezione della trave ausiliaria dal carico fittizio: EJ

Esercizi

Esercizio 1 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

1 R = R = 1 2 L L

Momento flettente positivo perché tende le fibre per y > 0 (inferiori)

M = (L x) · -

Struttura ausiliaria:

1 q* = (L x) · - EJ L EJ 1 L L 1 L

L L R* = = R* = = · · · - 21 EJ 2 3 L 6 EJ EJ 2 6 EJ 3 EJ L φ = V* = R* = - - 2 2 2 6 EJ L φ = V* = + R* = 1 1 1 3 EJ y y 0 = = 1 2 L L 3 EJ 6 EJ

Esercizio 2 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

M = 12 R = 0 1

Struttura ausiliaria:

1 q* = EJ M* 2 L 2 2 2 L L L L R* = q* L = · M* = R* L q* L = = · - · · - 1 EJ 2 1 2 EJ 2 EJ 2 EJ L φ = V* = R* = 1 1 1 EJ φ = y = 0 2 1 2 L y = M* = 2 L 2 2 2 EJ 2 EJ

Esercizio 3 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

Struttura ausiliaria:

2 1 L L M* = L - · · = - 1 EJ 2 2 EJ L V* = 1 EJ 1 q* = EJ 2 L 2 EJ L EJ 2 L y = M* = - 1 1 2 EJ L φ = V* = 1 1 EJ y = φ = 0 2 2

Esercizio 4 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

Struttura ausiliaria:

x q* = EJ L V* 1 EJ M* 12 L 1 L V* = L = · · 1 EJ 2 2 EJ 3 L 1 2 L L M* = L - · · · = - 1 EJ 2 3 3 EJ

y = φ = 0 2 L 2 3 L 2 EJ 3 L y = M* = - 1 1 3 EJ 3 EJ 2 L φ = V* = 1 1 2 EJ

Esercizio 5 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

L L 2 2 Q Q R = R = 2 2 1 2 Q L Q L = · 2 2 4

Struttura ausiliaria:

QL q* = 4 EJ 2 2 QL QL L 1 QL R* = = R* = · · · - 2 1 4 EJ 2 2 16 EJ 16 EJ 2 L QL L 1 QL

  V* x = = = 0 · · -   3 2 4 EJ 2 2 16 EJ  

L 2 3 L QL L 1 QL L QL   2 M* = x = + = - · · · ·   3 2 4 EJ 2 2 3 16 EJ 2 48 EJ  

2 2 3 QL QL QL y = 3 16 EJ 16 EJ 48 EJ y = y = 0 1 2 2 QL φ = V* = R* = R* = V* = φ = - - 1 1 1 2 2 2 16 EJ 3 QL φ = 0 48 EJ 2

Esercizio 6 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

L L R = q R = q · 1 2 2 2 L x x ( ) M = q x q = q L x · · - · · · - 2 2 2 2 L M = q · 3 8

Struttura ausiliaria:

2 L q* = q · 3 8 EJ x ( ) q* = q L x · · - 2 EJ   L 3 L 2 L 1 3 L ∫ R* = q* = q = q* dx · · ·   R* = q · 2 3 2 3 24 EJ 2   1 24 EJ 0

L 32 L 2 L ∫ V* = q* dx + R* = q* + q 0 - - · · · = 3 1 3 2 3 24 EJ 0

LL 2     4 2 2 3 3 4 4 2 L L L 1 L x L x x x 5 L ( )( ) ∫ M* = R* q * x dx = q q L + = q · - - · - · · · - · - · · ·       3 1 2 2 48 EJ 2 EJ 2 2 2 3 3 4 384 EJ       0 0 y = y = 0 1 2 45 L y = M* = q · · 3 3 384 EJ 3 L φ = V* = R* = R* = V* = φ = q - - · 1 1 1 2 2 2 24 EJ φ = V* = 0 3 3 3 L 3 L q · q · 24 EJ 45 L 24 EJ q · · 384 EJ

Esercizio 7 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

2 L L 2 M = q L q L = q · - · · 2 2 2 R = q L· 1 2 L q · 2 2 x x ( ) M = q L x q = q 2 L x · · - · · · - 2 2

Struttura ausiliaria:

2 x L ( ) q* = q 2 L x· · - q · 2 EJ 2 EJ M* 2 L L   2 3 3 1 x x L ∫ R* q* dx q 2 L = q= = · · · - ·   1 2 EJ 2 3 3 EJ   0 0 1.10 L   L   3 4 2 4 3 4 L x L q x x x 5 L ( )( ) ∫ 2 M* = q L q 2 L x L x dx = q 2 L + 3 L = q · · - · · - · - · - · · - · · · ·     2 3 EJ 2 EJ 3 EJ 2 EJ 2 4 3 24 EJ     0 0

y = M* = 0 1 1 3 L φ = V* = R* = q · 1 1 1 3 EJ 45 L y = M* = q· · 2 2 24 EJ φ = V* = 0 2 2 45 L q· · 24 EJ 3 L q · 3 EJ

Esercizio 8 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

L L L L 2 2 2 2 3 1 3 1 3 R = Q Q = Q - · - · R = Q L = Q · · · · 1 3 2 2 L 2 L Q · 2 L Q · 2

Struttura ausiliaria:

L q* = Q · 2 EJ M* V* V* M* M* M* V* V* V* V* 4 d 4 2 2 2 4 s 2 3 4 3 M* 5 L q* = Q · 2 EJ R* 1 1.12 2 L L L 1 QL R* = Q - · · · · = - 1 2 EJ 2 3 L 12 EJ 2 2 QL QL 1 L 1 QL = V* - + · = · · - 2 12 EJ 2 EJ 2 2 2 48 EJ L 2 3 QL L QL 1 L 1 QL 2 = M* + = - · · · · · - 2 12 EJ 2 2 EJ 2 2 2 3 32 EJ 2 2 QL QL 1 QL = V* + = L - · · 3 12 EJ 2 EJ 2 6 EJ 2 3 QL L QL L 1 2 L 1 QL = M* + = · · · · · · 4 6 EJ 2 2 EJ 2 2 3 2 8 EJ 2 2 QL QL L 1 7 QL V* = + · · = · 4 s 6 EJ 2 EJ 2 2 24 EJ 2 QL L 1 QL = V* = · · 4 d 2 EJ 2 2 8 EJ L 2 3 3 QL L 1 QL L 1 QL 1 QL 2 = M* + = + - · · · · · · · · 5 2 EJ 2 2 3 8 EJ 2 8 EJ 6 EJ y = M* = 0 1 1 2 QL φ = V* = R* = - 1 1 1 12 EJ 3 2 QL QL 3 QL y = M* = - 32 EJ 48 EJ 22 QL QL 2 2 32 EJ 6 EJ 12 EJ 2 QL φ = V* = - 2 2 48 EJ 3 QL y = M* = 0 3 1 QL 3 3 8 EJ · 2 QL 6 EJ φ = V* = 27 QL 3 3 6 EJ · 24 EJ 2 QL 3 1 QL y = M* = · 8 EJ 4 4 8 EJ 27 QL φ = V* = · 4 s 4 s 24 EJ 2 QL φ = V* = 4 d 4 d 8 EJ 3 1 QL y = M* = · 5 5 6 EJ φ = V* = 0 5 5

Esercizio 9 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

L L 2 2 L Calcolare l’abbassamento del nodo 2. Q Q Q Q L 2 2 2 2 Q · 2 L Q · 2 L Q · 4

Struttura ausiliaria:

QL 4 EJ M* M* V* V* V* 2 2 QL ds 2 3 22 EJ 3 QL L 2 L QL M* = = = y · · 2 22 EJ 2 3 6 EJ 1.14

Alternativa

Struttura assegnata:

1 k V V 2 s 2 d 1 L·

Struttura ausiliaria:

M* 2 L EJ 3 L L 2 L L 1 M* = · · = = 2 EJ 2 3 3 EJ K Q V = 2 d 2 3 V QL y = = c.v.d. 2 d 2 K 6 EJ

Esercizio 10 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

Calcolare l’abbassamento η della struttura sotto il carico P. E,J costanti.

Parte "A"

Struttura assegnata:

1 k 12 L L 2 2 L 4 1.16 L

Struttura ausiliaria:

4 EJ M* 2 L L 1 L = · · 4 EJ 2 2 16 EJ 2 3 L L L L 1 1 L L 1 M* = = = · - · · · · 16 EJ 2 4 EJ 2 2 3 2 48 EJ k η ' η = η ' + η '' η η 21 b R = P · η '' 1 a + b R R a 1 2 R = P · 2 a + b 3 R PL b η = = · 11 k 48 EJ a + b 3 R PL a η = = · 22 k 48 EJ a + b 3 3 2 2   b PL a b a b PL a +b   ( ) η ' = η η η =+ - · = · + - · ·     2 1 2 ( ) 2 a + b 48 EJ a + b a + b a + b a + b 48 EJ   a + b  

Parte "B"

Struttura assegnata:

R 2 R 1 1.17 a b &#sdot; R a = P&#sdot; &#sdot; 1 a + b

Struttura ausiliaria:

P a b &#sdot;&#sdot;EJ a + b M*  &#sdot; &#sdot; P a b b 2b P a b a a 1  &#sdot; &#sdot; &#sdot; + &#sdot; &#sdot; &#sdot; +b &#sdot; =   EJ a + b 2 3 EJ a + b 2 3 a + b   2 2&#sdot; &#sdot; P a b a +3a b+2b &#sdot; &#sdot;= ( ) 2EJ 6 a + b 2 2 2 2 P a b a +3a b+2b P a b a a P a b&#sdot; &#sdot; &#sdot; &#sdot; M* = η'' =a&#sdot; &#sdot; &#sdot; - &#sdot; &#sdot; &#sdot; &#sdot;( ) 2EJ 6 EJ a + b 2 3 3EJ a + ba + b 3 2 2 2 2 PL a +b P a b&#sdot; η = η' + η'' = +&#sdot; &#sdot;( ) 248EJ 3EJ a + ba + b Verifiche: 3 L P η = P =&#sdot; Se a=0 oppure b=0: c.v.d. 48EJ k3 3P L a P 1 1=η +P = +P&#sdot; &#sdot; &#sdot; &#sdot; Se a=b: c.v.d. 2 48EJ 6EJ 2 k k L=2a

Esercizio 11 - A cura di Sara Patrignani

Struttura assegnata:

NE=200000 2mm η P=200 kN L Dimensionare la trave in modo che la freccia non ecceda di .500 Ricordando pag. 7:

3 2 2 PL L 500 PL 500 200000 4000 · 9 4 η' = = J = = = 0,167 10 mm→ · · · 48EJ 500 48 E 48 200000 3 3360 330( ) 9 4J = 170 170 8 = 0,1758 10 mm · - - · · 12 12( ) 2A = 360 170 170 8 330 = 7740 mm · - - · kN γ = 77 3m 7740 Np = 77000 = 596 · 21000 m Ricordando pag. 9: 596 44000 · 45 pL 5 1000 η'' = = = 0,0565 mm · · 9384 EJ 384 200000 0,1758 10 · · 3200000 4000 · η' = = 7,584 mm 948 200000 0,1758 10 · · · 4000 η 7,584 0, 0562 7, 640 mm 8 mm= + = ≤ = 500

Esercizi a casa

2 L φ = Q · 1 2 EJ 3 L y = Q · 2 3 EJ 3 L φ = q -· 1 6 EJ 4 L y = q · 1 8 EJ

Il metodo delle forze

A cura di Gabriele Pennacchio

Introduzione al metodo delle forze

Il metodo delle forze è il più naturale per il calcolo delle incognite iperstatiche. Serve come base per introdurre metodi di calcolo più avanzati (metodo degli spostamenti, elementi finiti, elementi di contorno)

(Teoria e Tecnica delle Costruzioni, Introduzione alla analisi strutturale, M.Caironi P.Gambarova S.Tattoni)

Il metodo di risoluzione detto "Delle Forze" è uno dei metodi più diretti ed intuitivi per la risoluzione di telai piani iperstatici, per questo, quando possibile, è preferibile rispetto ad altri. Tale metodo consiste nell’analizzare più di una struttura separatamente (come per i lavori virtuali). Le strutture saranno:

• Struttura principale o di servizio: cioè la struttura in analisi declassata ad isostatica esoggetta ai soli carichi esterni (è preferibile sopprimere dei gradi di vincolo tali da mettere in evidenza momenti, es.: incastro → cerniera);
• Strutture secondarie: identiche alla struttura di servizio, ma stavolta soggette singolarmente alle reazioni vincolari soppresse in precedenza e per comodità (date i incognite iperstatiche si avranno allora iconsiderate di intensità unitariastrutture secondarie).

Delle varie strutture si studiano, separatamente, gli spostamenti lineari e/o le rotazioni relative, registrati dai vincoli declassati, sotto l’azione dei carichi esterni e delle incognite iperstatiche di intensità unitaria. Ricavati tali dati sarà allora possibile scrivere un numero di equazioni, tali da rispettare il vincolo di appartenenza, pari alle incognite iperstatiche messe in evidenza.

Equazioni di Müller-Breslau

Le equazioni, dette di congruenza, hanno il nome di e hanno la forma seguente:

Σ n δ Χ + δ0i = 0 j = 1

Dove:

• δ è lo spostamento (rotazione (φ) o spostamento lineare(δ)) subito dal vincolo i-esimo a causa dell’incognita iperstatica j-esima =1;
• δ0i è lo spostamento (rotazione (φ) o spostamento lineare(δ)) subito dal vincolo i-esimo a causa dei carichi esterni.

Esercizio n° 1 – A cura di Gabriele Pennacchio

N.B. L’iperstaticità della struttura è immediatamente osservabile: è la continuità dell’asta nel nodo B.

1. Analizzare eventuali parti isostatiche

Non ci sono appendici isostatiche

2. Analizzare la struttura
• Telaio a nodi fissi (struttura isostatica una volta declassati i vincoli sovrabbondanti);
• Con riferimento alla struttura originale:

  G.d.L. = 3 (perché l’asta è unica) G.d.V. = 2(cerniera) + 1(carrello) + 1(carrello) = 4