Tecnica delle Costruzioni - ERRORE

L L L 1 QL

R* = Q

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

−

1 2EJ 2 3 L 12EJ

2 2

QL QL 1 L 1 QL

=

V* − + ⋅ =

⋅ ⋅ −

2 12EJ 2EJ 2 2 2 48EJ

L

2 3

QL L QL 1 L 1 QL

2

=

M* + =

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

2 12EJ 2 2EJ 2 2 2 3 32EJ

2 2

QL QL 1 QL

=

V* + =

L

− ⋅ ⋅

3 12EJ 2EJ 2 6EJ

2 3

QL L QL L 1 2 L 1 QL

=

M* + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 6EJ 2 2EJ 2 2 3 2 8 EJ

2

2

QL QL L 1 7 QL

V*

= + ⋅ ⋅ = ⋅

4s 6EJ 2EJ 2 2 24 EJ

2

QL L 1 QL

=

V* =

⋅ ⋅

4d 2EJ 2 2 8EJ

L 2 3 3

QL L 1 QL L 1 QL 1 QL

2

=

M* + =

+

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5 2EJ 2 2 3 8EJ 2 8 EJ 6 EJ

y = M* = 0

1 1 2

QL

φ = V* = R* = −

1 1 1 12EJ 3 2

QL

QL

3

QL

y = M* = − 32EJ 48EJ 2

2 QL

QL

2 2 32EJ 6EJ

12EJ

2

QL

φ = V* = −

2 2 48EJ 3

QL

y = M* =0 3

1 QL

3 3 8EJ ⋅

2

QL 6 EJ

φ = V* = 2

7 QL

3 3 6EJ ⋅

24 EJ 2

QL

3

1 QL

y = M* = ⋅ 8EJ

4 4 8 EJ 2

7 QL

φ = V* = ⋅

4s 4s 24 EJ

2

QL

φ = V* =

4d 4d 8EJ 3

1 QL

y = M* = ⋅

5 5 6 EJ

φ = V* =0

5 5 1.13

Esercizio 9 - A cura di Sara Patrignani

1.9

Struttura assegnata: L L

2 2

L

Calcolare l’abbassamento del nodo 2.

Q Q Q Q

L

2 2 2 2

Q ⋅ 2

L

Q ⋅ 2 L

Q ⋅ 4

Struttura ausiliaria: QL

4EJ

M*

M* V* V*

V* 2 2

QL d

s 2 3

2

2EJ

3

QL L 2L QL

M* = = = y

⋅ ⋅

2 2

2EJ 2 3 6EJ 1.14

ALTERNATIVA

Struttura assegnata: 1

k

V V

2s 2d

1 L

⋅

Struttura ausiliaria: M*

2

L

EJ

3

L L 2L L 1

M* = ⋅ ⋅ = =

2 EJ 2 3 3EJ K

Q

V =

2d 2 3

V QL

y = = c.v.d.

2d

2 K 6EJ 1.15

Esercizio 10 - A cura di Sara Patrignani

1.10

Struttura assegnata:

Calcolare l’abbassamento η della struttura sotto il carico P. E,J costanti.

PARTE “A”

Struttura assegnata: 1

k

1

2 L L

2 2

L

4 1.16

L

Struttura ausiliaria: 4EJ

M*

2

L L 1 L

=

⋅ ⋅

4EJ 2 2 16EJ

2 3

L L L L 1 1 L L 1

M* = = =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

16EJ 2 4EJ 2 2 3 2 48EJ k η'

η = η' + η'' η

η 2

1

b

R = P ⋅ η''

1 a+b R R

a 1 2

R = P ⋅

2 a+b 3

R PL b

η= = ⋅

1

1 k 48EJ a+b

3

R PL a

η= = ⋅

2

2 k 48EJ a+b 3 3 2 2

 

b PL a b a b PL a +b

 

( )

η'= η η η =

+ − ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅

 

 

2 1 2 ( ) 2

a+b 48EJ a+b a+b a+b a+b 48EJ

  a+b

 

PARTE “B”

Struttura assegnata: R 2

R 1 1.17

a b

⋅

R a= P

⋅ ⋅

1 a+b

Struttura ausiliaria: P a b

⋅

⋅

EJ a+b

M*

 

⋅ ⋅

P a b b 2b P a b a a 1

 

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +b ⋅ =

 

 

EJ a+b 2 3 EJ a+b 2 3 a+b

 

 

2 2

⋅ ⋅

P a b a +3a b+2b

⋅ ⋅

= ( ) 2

EJ 6

a+b

2 2 2 2

P a b a +3a b+2b P a b a a P a b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

M* = η'' =

a

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) 2

EJ 6 EJ a+b 2 3 3EJ a+b

a+b

3 2 2 2 2

PL a +b P a b

⋅

η = η' + η'' = +

⋅ ⋅

( ) 2

48EJ 3EJ a+b

a+b

Verifiche: 3

L P

η = P =

⋅

Se a=0 oppure b=0: c.v.d.

48EJ k

3 3

P L a P 1 1

=

η +P = +P

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Se a=b: c.v.d.

2 48EJ 6EJ 2 k k L=2a 1.18

Esercizio 11 - A cura di Sara Patrignani

1.11

Struttura assegnata:

N

E=200000 2

mm η

P=200 kN L

Dimensionare la trave in modo che la freccia non ecceda di .

500

Ricordando pag. 7:

3 2 2

PL L 500 PL 500 200000 4000

⋅ 9 4

η' = = J = = = 0,167 10 mm

→ ⋅ ⋅ ⋅

48EJ 500 48 E 48 200000 3 3

360 330

( ) 9 4

J = 170 170 8 = 0,1758 10 mm

⋅ − − ⋅ ⋅

12 12

( ) 2

A = 360 170 170 8 330 = 7740 mm

⋅ − − ⋅

kN

γ = 77 3

m 7740 N

p = 77000 = 596

⋅ 2

1000 m

Ricordando pag. 9: 596 4

4000

⋅

4

5 pL 5 1000

η'' = = = 0,0565 mm

⋅ ⋅ 9

384 EJ 384 200000 0,1758 10

⋅ ⋅

3

200000 4000

⋅

η' = = 7,584 mm

9

48 200000 0,1758 10

⋅ ⋅ ⋅ 4000

η 7,584 0, 0562 7, 640 mm 8 mm

= + = ≤ =

500 1.19

Esercizi a casa

1.12 2

L

φ = Q ⋅

1 2EJ

3

L

y = Q ⋅

2 3EJ 3

L

φ = q

− ⋅

1 6EJ

4

L

y = q ⋅

1 8EJ 1.20

2. IL METODO DELLE FORZE – a cura di Gabriele Pennacchio

Introduzione al metodo delle forze

“Il metodo delle forze è il più naturale per il calcolo delle incognite iperstatiche. Serve come base

per introdurre metodi di calcolo più avanzati (metodo degli spostamenti, elementi finiti,

elementi di contorno)”

(Teoria e Tecnica delle Costruzioni, Introduzione alla analisi strutturale, M.Caironi P.Gambarova

S.Tattoni)

Il metodo di risoluzione detto “Delle Forze” è uno dei metodi più diretti ed intuitivi per la

risoluzione di telai piani iperstatici, per questo, quando possibile, è preferibile rispetto ad

altri.

Tale metodo consiste nell’analizzare più di una struttura separatamente (come per i lavori

virtuali). Le strutture saranno:

− Struttura principale o di servizio: cioè la struttura in analisi declassata ad isostatica e

soggetta ai soli carichi esterni (è preferibile sopprimere dei gradi di vincolo tali da

mettere in evidenza momenti, es.: incastro → cerniera);

− Strutture secondarie: identiche alla struttura di servizio, ma stavolta soggette

singolarmente alle reazioni vincolari soppresse in precedenza e per comodità

(date i incognite iperstatiche si avranno allora i

considerate di intensità unitaria

strutture secondarie).

Delle varie strutture si studiano, separatamente, gli spostamenti lineari e/o le rotazioni

relative, registrati dai vincoli declassati, sotto l’azione dei carichi esterni e delle incognite

iperstatiche di intensità unitaria.

Ricavati tali dati sarà allora possibile scrivere un numero di equazioni, tali da rispettare il

vincolo di appartenenza, pari alle incognite iperstatiche messe in evidenza.

equazioni di Müller-Breslau

Le equazioni, dette di congruenza, hanno il nome di e hanno la

forma seguente:

∑ n δ δ 0 0

Χ + =

ij j i

i 1

=

Dove:

− δ è lo spostamento (rotazione (ϕ) o spostamento lineare(δ)) subìto dal vincolo i-

ij X

esimo a causa dell’ incognita iperstatica j-esima =1;

j

− δ

0i è lo spostamento (rotazione (ϕ) o spostamento lineare(δ)) subìto dal vincolo i-

esimo a causa dei carichi esterni. 2.1

2.1 Esercizio n° 1 – a cura di Gabriele Pennacchio

N.B. L’iperstaticità della struttura è immediatamente osservabile: è la continuità dell’asta nel

nodo B.

1) Analizzare eventuali parti isostatiche

Non ci sono appendici isostatiche

2) Analizzare la struttura

• Telaio a nodi fissi

(struttura isostatica una

volta declassati i vincoli

sovrabbondanti);

• Con riferimento alla struttura originale:

G.d.L. = 3 (perché l’asta è unica)

G.d.V. = 2(cerniera) + 1(carrello) + 1(carrello) = 4

Tot. = 1 volte iperstatica;

• Nessuna asta assialmente iperstatica (tutte le azioni assiali possono essere

determinate in base a sole equazioni di equilibrio qualora siano noti i diagrammi di

momento flettente e taglio);

• Utilizzo metodo delle forze con

la seguente iperstatica:

o momento (X );

1

N.B. L’incognita iperstatica messa in evidenza è il momento X che la continuità dell’asta

1

fornisce.

3) Convenzioni

ϕ

• 1 2.2

N.B. La presenza di un'unica incognita iperstatica farà si da dover studiare solo due strutture

(la principale e una secondaria) e, come si vedrà in seguito, si potrà scriverà una sola

equazione. = 0 ;

4) Carichi esterni: X 1

2

Pl

ϕ =

10 EJ

16 = 1;

5) I° iperstatica geometrica: X 1

l l l

2

ϕ = + =

11 EJ EJ EJ

3 3 3

N.B. L’incognita iperstatica, agendo su entrambe le aste, avrà un effetto doppio. 2.3

6) Equazione di equilibrio

Dopo aver studiato le varie strutture e gli effetti provocati dai carichi esterni e dalle incognite

Müller-Breslau.

iperstatiche sarà allora possibile scrivere le equazioni di

In questo caso sarà una sola:

ϕ ϕ 0

+ Χ ⋅ =

10 1 10

Sostituendo quanto ricavato 3

2

Pl l

2 N.B. Il segno negativo

Pl

Χ =− ←

0

+ Χ = indica che il verso di

1

1 32

EJ EJ

16 3 X è contrario a quanto

1

ipotizzato

7) Calcolo diagrammi

Conoscendo ora il momento incognito X sarà possibile studiare la struttura separatamente,

1

asta per asta:

• Asta AB ipotizzato in partenza, avendo l’accortezza di andare a sostituire

N.B. Mantengo il segno di X

1

in seguito il valore calcolato comprensivo di segno.

l l 3

 

∑ P V l P Pl V l

0 0 0

Μ = → ⋅ − Χ − ⋅ = → ⋅ − − − ⋅ =

 

Bsx Bsx

1

Α 2 2 32

 

P 3 19 ( )

V P P

= + = −

Bsx 2 32 32 19

∑ V V V P V P P

0 0 0

= → + − = → + − =

A Bsx A 32

13 ( )

V P

= +

A 32 l l

13 13 ( )

M V P P