Tecnica delle Costruzioni - Rigidezza alla rotazione delle strutture

RIGIDEZZA ALLA ROTAZIONE

DEFINIZIONE: LA RIGIDEZZA ALLA ROTAZIONE DI UN’ ASTA AB, VINCOLATA IN A E IN B, È LA COPPIA CHE È NECESSARIO APPLICARE PER PROVOCARE IN A UNA ROTAZIONE UNITARIA. SI CHIAMA W_AB [N·m]

Ψ_A - 1

W_AB = ? CALCOLO Ψ E LO PONGO PARI A 1.

• RISOLVERE LA STRUTTURA:

W_AB

• P_LV

Ψ_A = ∫₀^l (W_AB/EJ) dz = W_ABl/EJ

Rigidezza alla Rotazione

Definizione: La rigidezza alla rotazione di un'asta AB, vincolata in A e in B, è la coppia che è necessario applicare per provocare in A una rotazione unitaria. Si chiama W_AB [N∙m]

W_AB = ? Calcolo ψ e lo pongo pari a 1.

• Risolvere la struttura:

ψ_A = ∫₀^l (W_AB / E₃) dz = W_ABl / E₃

φ_A = 1 ⇒ W_AB = _[] [.]

CONC:

• R;
• t = 1,
• φ;
• M = φ • k;

1. W_AB

• M(z)
• PLV

φ_A = ∫₀^L 1/ (W_AB/_L) (z/_L) = ∫₀^L 1/ W_AB/L² z² =

= W_ABL/₃

φ₁ = 1 ⇒ W_AB = 3E₅^-3R

CONCL:

W_AB = 3R;t = 0;

M = φ • k;φ_B = ?

P_Lv:

φ_B = ∫₀^L ( W_AB L / z ) ( 1 - z L ) = ∫₀^L W_AB z- W_AB z² / L²) = W_AB z² / 2L - W_AB z³ / 3L² == W_AB L / E₅₆ ; * 1

W_AB = ?

• PLV:

φ_a = ∫^L/2 ₀ W_ABZ / E5

CONC: 2R;

• RISOLVERE LA STRUTTURA:

η₁₀ + η₁₁ X = 0

η₁₀ = ∫^L ₀ W_AB Z / E5 = W_ABL² / 2E5

η₁₁ = ∫₀^{L Z2}⁄_E5 - ^Z3⁄_3E5

X - η₁₀⁄η₁₁ = -_WABL²⁄^2E₅ - ^3E₅⁄_L³ = -³⁄₂ W_AB⁄L

M_(B) = W_AB - ³⁄₂ W_AB⁄L L + M_B = 0

-W_AB⁄2 + M_B = 0

M_(z)

t = -1⁄2

• P_LV:

φ_A = ∫₀^l (W_AB - ³⁄₂ W_AB⁄L z) (1 - ³⁄₂ z⁄L) =

=₀^L1/E_S(W_AB - 3/2 W_ABz/L - 3/2 W_ABz/L + 9/4 W_ABz²/L²) =

=₀^L1/E_S(W_AB - 3 W_ABz/L + 9/4 W_ABz²/L²) =

=₀^L/W_ABz - 3/2 W_ABz²/L + W_AB/L²z³/4 =

=1/E_S W_ABL (1 - 3/2 + 3/4)

   4 - 6 + 3/4 = 1/4

W_AB = 4R ;

PLV: ∫₀^L (W_AB z / L) (z / E_SL) + 1 / L . W_AB L / L / K

F = K · u

Concl: W_AB = (1 / 3R + 1 / KL²)^-1

Se k = ∞ W_AB = 3R

Se k = 0 W_AB = ∞

Es Complesse:

Grazie alla rigidezza alla rotaz, possiamo risolvere le strutture piu' complesse

A 100%

1

2

3

1. La rigidezza delle 3 aste e' nota. A, per come sono disposti i vincoli e trascurando la deformaz assiale, ruota soltanto;
2. Quanto, di m_i, va sulle aste?
   • m₁
   • m₂
   • m₃
   Finche' non li conosco, non posso risolvere la trave!
3. φ₁ = M₁ / W₁ ; φ₂ = M₂ / W₂ ; φ₃ = M₃ / W₃ ;

Per congruenza: φ₁ = φ₂ = φ₃ = φ_A ;

M_i = φ_i W_i

∑M_i = ∑φ_i W_i

∑M_i = φ ∑W_i → φ = ∑M_i / ∑W_i = M / ∑W_i

┌ ─ → M_i = M W_i / ∑W_i ─┌

Dove: W_i / ∑W_i = ρ_i COEFF DI RIPARTIZ.

CONCL: M VA MAGGIORMENTE SULLE ASTE PIU' RIGIDE

ES

NE STUDIO SOLO LA META'

Dall'analisi della struttura

Si deduce che essa puo' solo ruotare.

• Nodo C:

W = 3R

• Nodo B:

W = 4R

• Nodo A:

W = 2R

Oppure:

L/2

• Tramite la rigidezza, si puo' tracciare il diagramma dei momenti:

ϕ_k = M / ∑W_i = M / 13 RL

E_s M_CK = M / 13

Il segno dipende poi da come gira M(z) rispetto alle aste;

E_s noto M(z), conosco V(z).

Es: trave inflessa

-FINE-

1) Stancata, per come sono vincolati, i 2 nodi possono traslare.

E se possono traslare, non posso più dire niente sulla rigidezza delle aste!

2) Per le aste orizzontali non ci sono problemi perché la traslaz è orizzontale (e dunque, non si sommano a ψ(z).

W_AB = 4R; W_AB = 3R;

3) Sull’asta verticale posso avere T(z) dunque, una T(z)

che lo fa traslare orizzontalmente;

Ma riflettendo sull'altimetria, ci si accorge che T ∅

T = ∅

N_t invece, si può trascurare ⇒ c'è solo M(z);

Dunque si può procedere come sempre;

4)

W = R

È come se non ci fosse più alcun vincolo

5) «Diagramma dei momenti»:

6) Deformata:

La mensola ha curvature:

No! E non ha non che flesso.