Tecnica delle Costruzioni - Introduzione alla teoria delle strutture e al metodo dell'equilibrio

Argomento: Teoria delle Strutture

1) Scopo: La teoria delle strutture comprende tutta una serie di metodi per risolvere strutture a molti gradi di iperstaticità (e che pertanto non possono essere risolte con il metodo della congruenza)

2) Risolvere: Significa determinare:

• N(z)
• T(z)
• M(z)

Sollecitazioni

u(z) Deformazioni *

3) Preliminari: Per poter utilizzare uno qualsiasi di questi metodi, è necessario avere ben chiari alcuni concetti acquisiti nel corso di SDC, perché, anche se non fanno parte del corso di TDC, ci serviranno:

1. In cosa consiste il metodo della congruenza (ma solo per vincoli perfetti e variaz.

ARGOMENTO: TEORIA DELLE STRUTTURE

1) Scopo: La teoria delle strutture comprende tutta una serie di metodi per risolvere strutture a molti gradi di iperstaticità (e che pertanto non possono essere risolte con il metodo della congruenza).

2) Risolvere: Significa determinare:

• N(z)
• T(z)
• M(z)

SOLLECITAZIONI

• u(z)

DEFORMAZIONI *

3) Preliminari: Per poter utilizzare uno qualsiasi di questi metodi, è necessario avere ben chiari alcuni concetti acquisiti nel corso di SDC, perché, anche se non fanno parte del corso di TDC, ci serviranno:

a) In cosa consiste il metodo della congruenza (ma solo per vincoli perfetti e variaz.

Termiche - è tutto quello che ci interessa :-)

1. a) Alcune nozioni sulla simmetria delle strutture

   • st. gen. = simmetria + antisimm.

• N(z)

  M(z)

  Simmetrici (_speculari)

• n(z)

  T(z)

  Antimetrici

1. a) Esattam il contrario

   Quando, di S o di A, si studia metà struttura, vale che:

1. N ≠ 0

   T = 0

   M ≠ 0

∩

CONDIZ EVENTUALE VICOLO PRESENTE

Tranne:

• ^90° + N ≠ 0 T = 0 M ≠ 0

1. N = 0

   T ≠ 0

   M = 0

∩

CONDIZ EVENTUALE VICOLO PRESENTE

• F

  F/2

  F/2

3) Il diagr della deformata si può determinare in molti modi:

• Linea elastica.
• Mohr.
• Plv.

Ma a noi non interessa: nei nostri esercizi, dopo aver calcolato le c.d.s, tracceremo solo una deformata qualitativa.

Per farlo, occorre tenere presenti queste semplici regole:

1. Mmax → Umax
2. Dove cambia il momento → Flesso
3. M<0 → BassoM>0 → Alto
4. Condiz di vincolo
5. Le simmetrie
6. Rigidezze assiali

Il punto non scende

EA=∞ → N'(z)=0

4) Situaz "paradigmatiche":

ψ_A = M_Al/3EJ

ψ_B = ψ_A/2

X = ^ql2⁄₁₂

M(z) ^ql2⁄₂₄

P

X = ^PL2⁄₈

M(z)

^PL⁄₈

^PL2⁄₈

^PL2⁄₁₆

I METODI CHE ANALIZZEREMO HANNO UNA CARATTERISTICACOMUNE: SONO TUTTI METODI DELL'EQUILIBRIO DEGLI SPOSTAMCHE SIGNIFICA?

1. Le equaz che permettono di risolvereil probl sono equaz di equilibrio
2. Le incognite dei probl sono rappresdagli spostam

SECONDO QUESTI METODI, NOTI GLI SPOSTAM, SI POSSONODETERM LE REAZ VINCOLARI

Esercizio

"Trovare il legame tra Ma e VA"

Metodo di Mohr

• VA + VB = 0
• M(A) = MA + VBℓ = 0
• VB = -MA/ℓ
• VA = MA/ℓ

• M(z) = -MA/ℓ z ₀^L

Struttura ausiliaria:

Q = ∫₀^L MA/ESℓ z²/2 - MAℓ/2ES

q = -M/ES = MA/ℓ ₀^L

V_A + V_B = Q

M(A) - Qℓ/3 + V_Bℓ = 0

M(A) = M_Aℓ/6EI + V_Bℓ = 0

⇒ V_B = -M_Aℓ/6EI

V_A = -M_Aℓ/3EI

T(z) = -ψ

T(0) = V_A < 0 = -M_Aℓ/3EI

T(ℓ) = V_B > 0 = -M_Aℓ/6EI

2) PRINCIPIO LAVORI VIRTUALI:

ψ_A = ∫₀^ℓ M_Az/ℓ z/EI ℓ = ∫₀^ℓ M_Az²/EI ℓ² =

= M_Az³/ℓ²EI3 = M_Aℓ/3EI

CONCL:

ϕ_A = M_AB / 3E₃

ϕ_B = M_AB / 6E₃

ϕ_B = ϕ_A / 2

INDICO E₃ = W

ϕ_A = M_A / 3W

ϕ_B = M_B / 6W

Esercizio:

La trave può essere divisa in 2 tratti: AB e BC.

• Se ne determinano i movimenti indipendenti

• Considerando: trascurabile lo sforzo normale sulla trave ⟹ _HB = _HC = 0
• _ψC = f(_ψB)

• Concl: _VB = 2

• Per la congruenza e l'equilibrio:

_MB' = _MB" + _MB"

• Se fossero noti M_B' e M_B'' il probl. è semplice. Ma non li conosco. L (Müller-Breslau)
• Conoscere φ_B è però equivalente a conoscere M_B' e M_B'', come visto prima. Vediamo come.
• Ognuna delle 2 campate può essere vista come somma di:

Dove: M_B' = φ_B K₁M_B'' = φ_B K₂ - φ_B 3W

Promemoria

• Risolv. di questa struttura

_qL² / 8

• Struttura Principale:

• Equaz. di Congruenza η₁₀ + η₁₄ X = 0 Ovvero: φ = φ(α) + φ(X) = 0
• Per il P.S.E.

φ(α) = -∫₀^L (q_L² z - qz²) 1 / E₃ = - (qL⁴ / 24 - qL³ / 6) 1 / E₃

- ₁/_E5 ( - qL³/₁₂ + qL²2/₁₂ ) = - qL²/12 E₅

• ψ(X) = ∫^L₀ - ₁/_E5 X dz = L/_E5 X

X = -qL²/₁₂

PER IL P.S.E

qL²/₁₂

qL²/₈ - qL²/₁₂ = qL²/₂₄

STRUTTURA PRINCIPALE:

ψ - ψ(α) + ψ(x) = 0

P/2 P/2

L/2 P(1-L/2)

η10 = ψ(α) = ∫₀^L/2 -P/2 z/E₃ = -P/4 z²/E₃ - P/16 L²/E₃

η11 = ψ(x) = ∫₀^L/2 X/E₃ = L/2 X/E₃

X = PL/8

CONCL: PER IL P.S.G.

M(z)

PL/8

STRUTTURA PRINCIPALE

• ψ(a) + ψ(x) = 0

• ψ(a) = ∫₀^L ( ^qL⁄₂ z - ^qz2⁄₂ ) ( -¹⁄_L z ) ¹⁄_ES =

  = ∫₀^L ( ^q⁄₂ z² + ^qz3⁄_2L ) ¹⁄_ES =

  = ∫₀^L ( -^qz3⁄₆ + ^qz4⁄_8L ) ¹⁄_ES =

  = ¹⁄_ES ( -^{4 + 3}⁄₂₄ ) qL³ - ^qL3⁄_24ES

  ψ(x) = -∫₀^{L 1}⁄_ES ¹⁄_L² z² !^{1⁄_ES z3⁄_3L2 = 1⁄_ES L⁄₃}

X = ^qL2⁄₈

CONCL.:

M(z) = l² / 46

PROMEMORIA

(PICCOLE TECNICHE PER RISOLVERE PIÙ VELOCEMEN.

TE LE STRUTTURE)

• Strutture Simmetriche

_Es

SCRIVIAMO M(z)

SCRIVIAMO N(z)

Il piedritto, però, non può ruotare così

Dunque l'asta trasla oriz. talm.

_Concl.

È lineare poiché M(z) = 0;

Questo è un caso tipico: nella simmetria, ci si

deve aspettare lo spostamento orizzontale.

A₅

9L²/24

9L²/12

SI RISOLVE CON IL METODO DELLA CONGRUENZA

E_s

M₁ M₂

M₁ M₂

DUNQUE:

M₁ M₂

9L²/8 - M₁ + M₂/2

IL TUTTO POTEVA ESSERE RISOLTO PIU' VELOCEMENTE CON MOHR: