Tecnica delle costruzioni - Teoria

Settore: ICAR/09

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Teoria

UNIMORE

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

NOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Loris Vincenzi.

METODO DELL'EQUILIBRIO

Metodo dell'equilibrio e metodo della congruenza.

• Metodo della congruenza è il metodo di risoluzione degli esercizi visti in scienza delle costruzioni.
• Metodo dell'equilibrio: consiste nel determinare l'unica soluzione equilibrata fra tutte le infinite congruenti (detto anche metodo degli spostamenti).

Per strutture molte volte iperstatiche (caso più realistico), il metodo visto in scienza delle costruzioni con l’utilizzo del PLV non va più bene in quanto si formerebbero degli integrali troppo complessi. Occorre allora usare un metodo approssimato, che sarà il metodo dell'equilibrio: non si usano integrali, la soluzione risulta tanto più semplificata quanto più è tante volte iperstatica.

Per capire meglio, prendiamo la struttura a lato, che è molte volte iperstatica e caratterizzata da un solo grado di movimento: lo rotazionale e del modo centrale, ove è esplicata una coppia M_d (questo perché si è posto che le aste siano assialmente indeformabili). X è l'unica incognita del problema: una volta noto x_i , infatti possiamo determinare le sollecitazioni agenti su ogni asta esplose.

M_d,2 = M_d ρ₂ = 100 l = 33,33 kN.m

Σ M_d,i = 100 kN.m → Ok !

È ora possibile esplodere la struttura ed effettuare i conti di equilibrio come in figura a lato. Si noti che gli sforzi normali sono ovviamente presenti nelle aste in virtù dell'equilibrio. Tuttavia li trascuriamo per le assunzioni fatte a pag. 7.

Dunque, tracciamo infine i grafici di M e V.

• Metodo dei vincoli ausiliari.
• Questo metodo si applica a quelle strutture che presentano carichi che non agiscono direttamente sui nodi; quindi, ad esempio, quando si hanno carichi distribuiti. Procediamo nel seguente ordine, prendendo come riferimento la struttura a lato:
• 1. vengono posti i vincoli ausiliari (o kit = Triac) che rendono nulli tutti i movimenti (avendo il sistema σ) indipendente ai nodi e si determinano le sollecitazioni:
• prima il T del incastro perfetto e le reazioni F dei vincoli ausiliari.

K_e =

³/₇

I_n = M_a f_α = ³/₇ M_a β_α = ρ_α = ⁴/₇ M_a

I_n2 = I_n/2 =

I_s = M_a/2 =

0.459 M_a +0.541 M_a +0.208 M_a +0.158 M_a +0.077 M_a

I_s = I_s - M_a

I_s3 = M_a

fase 2

ρ₂ = M_a = ⁴/₄ =

I_n2 =

M_a

I₃ =

I_s3

f₂ =

K₂ =

M_a

I_s2 = ¹/₁₄ M_a

I_s3 =

I_s3

fase 3

I_n

da cui si ricavano i grafici di M e di V:

N.B.: per trovare i valori max. di momento flettente nel tratto interno di un tratto d'asta soggetta a carico distribuito (tratto AB), occorre immaginare lo schema seguente:

Sistema 8

(omitted content - skola.net)

(omitted content - il paradiso dello studente)

_9ql² / 12

_9ql² / 12

_4ql² / _L

_9ql² / 12

I_A = _9ql² / 12 - _9ql² / 12 = _3ql² / 12 ≠ 0 → C non è in equilibrio

• _79ql² / 72
• _49ql² / 36
• _53ql² / 216
• _53ql² / 216
• 103_ql² / 432

Tassareabile numeri

_ql² / 250

_ql² / 108

_ql² / 216

(omitted content)

_ql² / 72

_ql² / 12

_ql² / 12

_ql² / 2

I₁ + _ql² / 24

I₁ - _ql² / 22

I₁ - _ql² / 22 + _ql² / 2

1. _ql² / 36

I₃ = ql² / 12

2. _ql² / 12

I₂ + _ql² / 12

fase 1 morsetto in B, applico in C una coppia pari a _3ql² / 12:

• k₂ = _4EI / L - _2EI / l

(omitted content)

K_i = F_s = F_i / S₀ δ

L' eq. di equilibrio alla Traslazione è invece data da:

F = ∑_i=1^m F_i = 0

Esendo, come visto sopra, F_i = K_iS_i, l'equilibrio si fornisce:

F = δ ∑_i=1^m k_i

S = F / ∑_i=1^m k_i

Infine, sostituendo tale valore nell' eq. della rigidezza scritto sopra, si ottiene:

F_i = F k_i / ∑_i=1ⁿ k_i

Dunque, le sollecitazioni (in questo caso: le forze) si ripartiscono in proporzione alla loro rigidezza. Tutti i processi quindi già visti per i telai con nodi che ruotano ma non traslano possono essere ripetuti anche nel caso di telai con nodi che traslano ma non ruotano sostituendo, idealmente, i momenti flettenti con forze e le rotazioni con spostamenti.

Distinguiamo 3 casi di aste con un nodo che trasla ma non ruota:

k_i = 3EI / S

k_i = 4EI / S

k_i = 2EI / S

Esempio 1

Il sistema è per questa struttura e lo stesso per entrambi i pilastri. Tuttavia, questa condizione non ci garantisce l'equilibrio alla traslazione nella trave BC:

∑ F_d, eq = -^ql⁄₂ - ^ql⁄₂ ≠ 0

Si passa quindi alla fase 1:

Sistema 0

ql² ⁄ 12 ql ⁄ 2 ql

ql² ⁄ 2 ql

• fase 1 ^ql⁄₂ B C ^ql2⁄₄
• Nella fase 1, si applica una forza pari a +^ql⁄₂ sia in B che in C.

a ← ^ql2⁄₄ ql ⁄ 2

b ← ^ql⁄₂ ql ⁄ 2

c ← ^ql2⁄₄ ql ⁄ 2

a ← ^ql2⁄₂

A

F = Ø + Ø + Ø → equilibrato

B

Ø = F F = F = Ø = -F + F → equilibrato

C

Ø = F F F F F F = Ø = F = _f 2/_z 2/_z → equilibrato

Cerchiamo infine gli spostamenti S:

S_a

F

l ³

S₁ = Γ k_{i=1,n = 1} ^{12lEl 12lEl} F

├ + ─ ─ 24E I = S_∞

3³ 3

S_∞

S₃

S₅ ...

l

³

S₃ = Γ F F F l

── = ^12lEl ─ + ^3EI + ^12lEl =

1 _K∞ 3

24E I =

S_∞

S_a = S₂ + S_∞ + S_∞ + S , ...

S_∞ = Ø + Ø + Ø + S_∞

Strutture con più piani soggette a carico distribuito:

Si tratta solamente di carico da vento (orizzontale) e elabora di più la struttura metallica. Come per gli altri casi, si effettua prima di tutto lo studio del sistema 0 bloccando entrambi i piani:

Sistema 0:

ℓ

q_a

A

K_∞ K₂

q_e ²

B q_d

l 1^k₃

■ K₂

K₄

Dopo il sistema 0, si procede a liberare, prima per ogni fase esattamente come visto nella pagina precedente, inserendo | una volta, solo piano alla volta.