Tecnica delle costruzioni - flessione e taglio ridistribuzione

Corso di tecnica delle costruzioni II

Progetto a flessione e a taglio mediante analisi elastica con ridistribuzione di una trave in c.a.

Esercizio svolto secondo il D.M. Infrastrutture 14 gennaio 2008 "Nuove norme tecniche per le costruzioni"

Indice

1. Risoluzione trave con coeff. di combinazione SLU NTC 2008
   1. C.C.1: Max momento in campata
   2. C.C.2: Max momento in appoggio
   3. Ridistribuzione
2. Caratteristiche dei materiali
3. Progetto e verifica a flessione
   1. Progetto e verifica della sezione in appoggio
   2. Semiprogetto e verifica della sezione in campata
   3. Distribuzione dell'armatura
4. Progetto e verifica a taglio
   1. Resistenza degli elementi senza armatura a taglio
   2. Progetto dell'armatura a taglio
   3. Calcolo dell'armatura a taglio con cotg Θ =1 → Θ=45°
   4. Disposizione dell'armatura a taglio con cotg Θ =1 → Θ=45°

Risoluzione travi con coeff. combinazione

9q - 9q - 1260/kNm 8 - 25 kW/m

1.1 CC1 - Max momento in campata

0.3g + 1.5q = 25.5 kNm 8 - 25 kW/m

Schema 1 MB = 50 kNm Mmax = 27.37 kNm Mmin,oblc = 27.10 kNm TA = 33 kN TB = 66.5 kN

Schema 2 MB = 25.5 kNm Mmin,oblc = 39.16 kNm Mmax = 38.23 kNm TA = 64.6 kN TB = 55.6 kN

1.2 CC2 - Max momento appoggio

p = 1.3g + 1.5q = 50.5 kNm MB = 101 kNm Mmax = 56.5 kNm TA = 75.75 kN TB = 126.75 kN

Nota: C'è anche la cont. CC.3 - Max momento campata BC cat - Formule involari simetrici a quelli di CC1.

1.3 Ridistribuzioni

La normativa consente di eseguire la ridistribuzione di momenti puri verso rispetto l'equilibrio e la capacità di rotazione plastica dovuta alla facoltà di ridistribuzione.

No ridistribuzione: _Pilastri, _{nod. isola}

Sì ridistribuzione: _{tanti continui o isolati hl}

Definiamo _{S = Mred / Mel}

Nel caso in esame possiamo applicare la ridistribuzione in quanto _{le travi è iperstatica e le luci sono uguali 0.5 1} La normativa ci dice che possiamo curcare specifiche verifiche nella _curvature nelle membrature _pudile:_{0.7 δ > 0.66 + 1.25 X(fcm ≤ 50 MPa)}

Quindi operativamente: _{1) Fisso S perché sia compreso fra 0.7+1 2) Calcolare Ilm -X con cui procéssare la e le sezioni in cui ho ridistribuito Ilm=}Se δ = 0.85 _{> Im = 0.328 ; Mred=0.85 Mel =101->>0.85 = 85.85kNm}

_πm_e▔10.12m_eSES(SES)_{+0.95 Me0.15Me = 15.15Wme}Mτ₍₁+2.5_m) = _{0.15Me . X .= 5.68 WmM1/>=85.856CIρ6CIρ4Id/t= 2HA CI VECHI !!} M_n = factor REDISTRIBUSIONj_lxl PACAKh O ANERSYSPU N.IM

2) Caratteristiche dei materiali

Supponiamo di utilizzare calcestruzzo con R_ck 30 MPa e acciaio B450 C. I valori delle resistenze di progetto agli SLU risultano:

• Calcestruzzo:
• R_ck = 30 t/m²
• f_ck = 0.83 R_ck = 24.9 t/m²
• f_cd = f_ck / γ_c = 14.1 t/m²
• d_cc0 = 0.85
• Acciaio B450 C:
• f_yk = 450 t/m²
• f_sd = 206 t/m²
• f_yd = f_yk / γ_s = 391.3 t/m², γ_s = 1.15
• ɛ_yd = f_yd / E_s = 1.8 ‰

3) Progetto e verifica a flessione

Analisi con ridistribuzione

Noti le caratteristiche di progetto dei materiali e le sollecitazioni sul nodo, progettare con il metodo di analisi di una trave:

• Supponiamo si tratti di una trave in sessore (l’altezza quindi passiva) e determinare la sezione della trave
• Armature nelle zone + sollecitate
• Distribuzione dell’armatura

Geometria della trave

B_p=26cm; c_o=c’=4cm; b_max=60cm

3.1 Progetto e verifica della sezione d’appoggio B

Noti: Geometria B_p=26cm, c=4cm=c’, d = B_min = 20cm

Sollecitazioni: Si fa riferimento alle sollecitazioni ottenute con analisi con distribuzione M_sd, m_ind = 85.585 KNm

Incognite: b, A_s, A’_s

Condizione di progetto → ζ_lm = 0.328 da analisi con ridistribuzione

Nota: Si utilizza il metodo dello stress-block

Calcolo r² = ¹⁄_{0.8 ϕcd ϕcm (1-0.9ϕcm)} = 0.311 → R = 0.558

Calcolo b = ^2M_sd,B,ind⁄_{d ϕcd} = 66.7 cm > 60 cm → Uso bracci

Calcolo M_lim = 0.8 ϕ_cm b ϕ_cd d (1-0.4ϕ_cm) = 77.2 kNm

Calcolo A_so = ^{0.8 ϕ_cd b d ϕ_cm}⁄_fyd = 1135 mm²

Sezione il momento sollecitante M_sd,ind è maggiore del momento limite M_lim della sezione – Si deve disporre armatura sopra per assorbire l'aliquota di momento ΔM = M_sd,ind - M_lim.

Calcolo ΔM = M_sd,B,ind - M_lim = 8.6 kNm

Calcolo la deformazione dell'armatura compressa

X = ϕ_cm d - 0.328₂₉₀ = 65.6 mm

Dalla similitudine dei triangoli nel diagramma delle deformazioni abbiamo ^{ε_S - ε_C}⁄_x-c = ^ε_C⁄_x → ε_S = 3.5&, x-c = 1.37%

Calcolo ϕ_k = ^ε_S⁄_εyd = 0.72 coefficiente di sfruttamento armatura comp.

M_sd,ind = M_lim + ΔM Nota: lo stato deformativo in corrispondenza dell'armatura compressa posto precedentemente con il calcolo della quantità di armatura necessaria per assorbire ΔM.

Osservazioni: R_pi sono i coefficienti di sfruttamento dell'armatura tesa o compressa se l'acciaio è superato cat. R_i= R_u

Calcolo A_s=^ΔM/_fyd(d-c)=^ΔM/_Rbfyd(d-c)=152mmq

Calcolo ΔA_s=^ΔM/_fyd(d-c)=138mmq

Noti A_so, ΔA_s, A_s posso determinare le quantità di armatura da disporre:

A_s=A_so+ΔA_s=1275mmq → 654+3820=1558mmq

A_s=152mmq → 654/14=6.16mmq

Definita l’armatura d’incosa posso procreare con la verifica della sezione: ovvero 1) calcolo posizione asse neutro 2) calcolo momento resistente.

Calcolo la posizione dell’asse neutro

ξ̅=^{A_sk_syd-A’_sydR’_fyd}/_0.8bdRcxd → Iterazione 0 ε_s 0.00137 k 0.72 ξ 0.322 χ 64.91 ε_s 0.00133 k 0.70 ξ 0.326 χ 65.22 ε_s 0.00135 k 0.71 ξ 0.326 χ 65.13 ε_s 0.00134 k 0.70 ξ 0.323 χ 65.0

ξ=0.325 M_sd,x,ind → Verificato!

3. Disposizione armature

Per una completa rappresentazione dell'armatura bisogna eseguire la tabella del diagramma sul momento quindi bisogna prima eseguire verifica a taglio, seleziono l'inclinazione del traccio venuale.

4.1 Progetto e verifica a taglio

Si fa riferimento alla sezione di appoggio e alle sollecitazioni date dall'analisi con ridistribuzione

Resistenza degli elementi senza armatura a taglio

V_rd = 0.18 K (100ρ f_ck)^1/3/γ_c + 0.15 σ_cp/γ_c b d(V_min + 0.15 σ_cp) b d con K = 1 + (200/d)^1/2 ≤ 2 e σ_cx = 0.2

V_min = 0.035 f_ck^2/3/γ_c ≤ 0.5 f_ck

ρ_l = A_s,lim/b d = 0.013 σ_cp = 0

V_rd = 31.7 kN > V_min bd = 55.3 kN ⇒ Devo armare a taglio

4.2 Progetto dell'armatura a taglio

La normativa consente di utilizzare le aste del traliccio variabile, ovvero posso scegliere l'inclinazione delle barre dell'armatura. Si fa osservare che in variazione dell'inclinazione del traliccio ha effetti opposti sui valori delle resistenze a taglio uniforme e taglio contributivo.

Un criterio per definire l'inclinazione del traliccio è quello della crisi contemporanea dei 2 materiali, FE e CCS.

Noto: incerto mincingno sollecitazioni

Condizione di progetto → Crisi contemporanea di acciaio e calcestruzzo

L'armatura a taglio è realizzata con staffe Φ8 a bracci previsto:

• α = 80°
• A_sw = 201 mm²

Di seguito si procede con il progetto dell'armatura a taglio secondo il criterio della crisi contemporanea dei 2 materiali

Step n.1:

Calcolo V_Rd con cotθ β = 2.5

V_Rd = 0.5d b α f_cd (cotθ + cotθβ) / (1 + cotθβ) = 262.7kN

V_Rd > V_sd, B, min ➔ posso calcolare l’armatura necessaria introducendo che la resistenza a taglio dipende con cotθ=2.5 su uguale alla sollecitazione tagliante esterna.

Step n.2:

Introducendo V_sd, B, not > V_Rd (cotθ=2.5) trovo l’armatura a taglio

A_sw = V_sd, B, red / [f_yd x 0.9d x (cotθ=2.5 - cotθ) cosα] ➔ S = 283 mm

Il passo delle staffe risulta pari a 283 mm, occorre verificare se è compatibile con l’armatura minima prevista dalla normativa.

Step n.3:

Calcolo dell’armatura minima da normativa.

La normativa impone:

1. A_sw,min > 0.15b mm²/m ➔ S_min = 223 mm
2. S ≤ 0.8d ➔ S_min ≥ 160 mm
3. Almeno 3 staffe a metro ➔ S_min = 333 mm

La condizione più limitativa è S_kord = 16 cm. Da quanto visto sopra, la trave può essere armata con staffe Ø8 a bacca con passo 160 mm.

Osserviamo che utilizzando coti costruendo con condizioni di progetto cotθ = Ø8 - 15° il passo delle staffe necessario e/o assorbire l’azione agente risulta inferiore al passo minimo richiesto dalla normativa.

È possibile costruire un grafico in cui sono riportati i valori di V_Rd, V_sd e V_Rsd (per variazioni) in funzione di θ, cotθβ.

Resistenza a "Taglio Compressione"

V_Rcd e a "Taglio Trazione" V_Rsd (per diversi valori del passo s delle staffe) in funzione dell'inclinazione del traliccio variabile.

Grafico in funzione di cotgθ:

• V_Rcd
• V_Rsd_s=10cm
• V_Rsd_s=15cm
• V_Rsd_s=20cm
• V_Rsd_s=25cm
• V_Rsd_s=30cm
• V_Sd

Grafico in funzione di θ:

• V_Rcd
• V_Rsd_s=10cm
• V_Rsd_s=15cm
• V_Rsd_s=20cm
• V_Rsd_s=25cm
• V_Rsd_s=30cm
• V_Sd

3.1 Calcolo armatura a taglio con Cotθ=1 → θ=45°

Dai grafici si ha che con θ=45° Cotθ=1:

V_rd = 384 kN

V_sol = 144,6 kN con passo staffe = 10 cm > V_{sd, B, med} = 122,6 kN= 84,6 kN con passo staffe = 15 cm > V_{sd, Acc, med} = 82,1 kN

4.1 Disposizione armatura a taglio con Cotθ=1

■ Taglio resistente

- Taglio sollecitante da analisi con ridistribuzione --> $8/13 ■ $8/10

3.3 Disposizione dell'armatura a flessione

Calcolo momento resistente di ogni singola barra.

M_res ɸ16 = 0.9d f_yd ɸ14 = 10.84 kNm

M_res ɸ20 = 0.9d f_yd ɸ16 = 22.12 kNm

Calcolo della lunghezza di ancoraggio.

Tensione di aderenza acciaio-calcestruzzo (buona aderenza) f_bd = f_bk / γ_c = 2,25 η f_ctk / 1.5 = 2.677 MPa con f_ctk = 1.785 MPa

C_d = 8_sd d / 8_sd 4 = 36.7 d ɸ14 → 52 cm ɸ20 → 74 cm

C_{db, min} da normativa.(Va aumentata di ∆,5 volte x bont calmo ancoraggio)o.

Calcolo di M t ed M a trazione diagonale trentocon φ = 8°→ α t = 0,3 d (coφ + coφ)/2 ≥ 70φ = 45°= 0.8 * 200 * (1 + 0)/2 = 90 mm

Nota: la trazione dei diagonali del ponte dipende dall’inclinazione dei tiranti variabile fino avetta a taglio verso cui si usa un tirante molto inclinato (45° ⁰ ≤ θ ≤ 80) qui distanza 225cm

Pos 1 - 3/16 cb 1,5 Pos 1 - 4/16 cb 1,51,5 Eb Pos. 3-3/20 cb 1,5 Pos 2 - 4/16 cb Pos 3 - 3/15 cb Pos 4 - 3/14 cb

Inviluppo momenti sollecitanti

Momenti soli traversali

Mes armature superiori

Mes armature primarie

Carpata: Pos 1 - 4/16/14

Approccio: Pos. 3-3/20 St. 5/9/15 St 6/9/10