Tecnica delle costruzioni 2 - Esercizi e schemi

Dinamica dei sistemi lineari a m GDL

Le n. equazioni di moto per un sistema ad 1GDL possono essere combinate

per ottenere la risposta dinamica del sistema MGDL.

• Si assume per:
• le masse siano concentrate
• il numero di gradi di libertà sia finito
• Solaio → dove si concentra la massa, é 1 grado
• Pilastri → dove si concentra la lughezza

La difficoltà di calcolo sta nel fatto che i diversi gradi di libertà possono

tra di loro, nel moto risultano "influssi".

• similitudine del moto per i vari piani
• fenomeni torsionali

La si può ridurre il modo di un sistema a n GDL ai modi di un sistema

ad 1GDL.

L'equazione di equilibrio dinamico nel caso di un sistema ad 1GDL in

formula：

mxⁱ + c xⁱ + k x = f(t)

si supponiamo che questo sia il piano i-esimo di un sistema a MGDL:

• Ci sarà una forza che entra in gioco é la
• forza di richiamo elastico che é proporzionale
• non allo spostamento totale ma allo spostamento
• relativo di interpolano tra due piani (DRIFT)
• - K_i (X_i - X_i-1)

Esiste anche una forza di richiamo elastico di parte del pianospiro che

tende a riportarmi indietro il piano

- K_i+1 (X_i - X_i+1)

perché é il piano sopra tenere.

Lo stesso succede per le forze dissipative viscose perché Po sia un contributo

dato dalla forza é attutito del piano stesso che quella create dalla

differenze tra di velocità relative del piano ed il piano superiore.

- C_i (X_i - X_i-1) - C_i+1 (X_i - X_i+1)

L'unica forzante esterna che entra in gioco é quella applicata all solaio

del piano considerato.

f

• supponiamo che deve essere uguale alla forza data da massa per accelerazione
• m x =
• Da nuovamente otteniamo l'equazione di equilibrio
• dynamica per un sistema a MGDL per il grado di libertà
• i-esimo

Lo deve scrivere, per tutti i gradi di libertà per cui ne ho di mi equazioni.

mi ẋ₁ + ki (x₁ - xi-1) + ki+1 (x₁ - xi+1) + ci (ẋ₁ - ẋi-1) + ci+1 (ẋ₁ - ẋi+1) = fi

Per risolvere ogni equazione mi servono spostamento e velocità di può spazio e parametro sposto. La incostante sono legate e non si possa risolvere separatamente. Questo mi complica la risoluzione.

Consideriamo un pulsante non smorzato a 2GDL. ad ognuna di queste masse è applicata una forzante mi ẋ₁ + K₁x₁ + K₂ (X₁ - X₂ ) = f₁(t) m₂ x₂ + K₂ (X₂ - X₁) + K₃ x₃ = f₂(t)

Le variabili sono presenti in entrambe le equazioni quindi le equazioni sono accoppiate

L'equazione può essere espressa in forma matriciale:

[ m₁ [ẍ₁ ] [K₁+k₂ -k₂] [X₁] = [f₁] m₂ ẍ₂ -k₂ K₂+k₃ X₂ f₂ ]

Quelle che prima erano degli scalori adesso diventano matrici, le variabili diventano vettori. in forma compatta diventa:

M ẍ(t) + K x(t) = f₄(t)

Le equazioni del moto sono disaccoppiate nello spazio perché questo è una matrice diagonale

La matrice di rigidità invece per le sue caratteristiche è simmetrica ma probabilmente non diagonale, elementi di equazioni non sarebbero accoppiate.

OSCULAZIONI LIBERE IN UN SISTEMA NON SMORZATO

M ẍ(t) + K x(t) = 0

x(t) = R_e^iωt = Rsin(ωt+ϕ₀) se mettiamo la soluzione nell'equazione otteniamo [K - ω²M]x = 0 deve essere soddisfatta per ogni costante t

Questa è verificata se:

det|K - W²M|=0 equazione caratteristica del sistema elastico

Se il sistema ad un grado di liberata fa un moto di vibrare ed è caratteristico di una pulsazione, un sistema ad m GDL è caratterizzato da una pulsazione e da una frequenza ed n modi di vibrare.

Frequente fondamentale: più piccola frequenta del sistema, corrispondente al modo di vibrare naturale

Rimarre da capire se è possibile normalizzare i modi di

vibrare: ossia trovare un sistema di riferimento per

cui le equazioni dei moto risultano disaccoppiate.

Riduciamo quindi il sistema di un sistema ad 1 GDL

Si considerano due modi di vibrare generici:

ψ_r → KΨ_r = ω_r²MΨ_r

ψ_s → KΨ_s = ω_s²MΨ_s

Parastriamo la giura per ψ_s e trasparimo la seconda equa

per i modi ψ_s mottes opio:

ψ_s^TKψ_r - ω_r²ψ_s^TMψ_r → se settaggio 8 due equazioni

Φ = (ω_r² - ω_s²)ψ_s^TMψ_r → se s ≠ r e se s può dimostrare che

ψ_s^TKψ_r = 0

ψ_s^TMψ_r = 0

Ciò equivale a dire che Φ^TMΦ e Φ^TKΦ sono diagonali,

ricordamoci presso alcune finite a meglio di una costante,

posso parametrare fino a disaccoppiare le equazioni

SISTEMI SMORZATI MGDL

Non è devo che il disaccoppiamento delle equazioni valga

anche per il sistema smorzato

⦾ In questo caso l’autovettore ottimo ad essere definito

di immanienza e definito da una rase perché nel

sistema smorzato Ω dipende sempre nel tempo

L’unica modo per bsa questa cosa è definita la matrice di

smorziatamento come una combinazione in matrice delle

mosse ed è quindi detto raggiolette

OSCILLAZIONI FORZATE IN UN SISTEMA SMORZATO

Nel caso di eccitazione sismica, la forzante è vista come

un’accelerazione perché mossa:

f(t) = m ẍ_o(t) → MGDL = M’rẍ_o(t)

k= vettori al castamento Mgdoli untolico della struttura nella

durazione del sismo

Per calcolare la tensione massima all'interno

della sezione (Vd Navier)

T = N + M

A W

N = mg

A = 238,10⁻⁴ m² (da formulario)

H = 300 Nm

J = 22187,8 mm³

per c.s. inflette lungo l'asse

debola

y_max = 13,8 MPa

ESERCIZIO 5

F = 6000 sin(50t)

m = 1000 kg

S = 5,5 · 10⁻⁶ m⁴

Le caratteristiche dinamiche del sistema:

l'espressione per la forza massima che la trave sviluppa

per un carico posto in mezzeria è

K = 4 E S

X = F e³

48 E J

K = 8,5 · 10⁵ N/m

ω = √

K = F

m

X

x

= 28,15 rad/s

T = 2π

ω = 0,215 s

f = 1

T = 4,64 Hz

Sulla massa agisce una forza armonica del tipo:

F(t) = 6000 sin(50t) con ξ = 0,1

Le oscillazioni libere con smorzamento

m₀ ẍ + cẋ + kx = F(t) = 6000 sin(50t)

Spettro di risposta elastico

Nel momento in cui la forma dell'onda sismica necessaria usando un accelerogramma di input.

Lo si usa durante l'analisi ad uno analisi lineare. Analisi modale con spettro.

Ciò che abbiamo fatto finora ha posto le basi per molta di quest'ultima per questo tipo di analisi. È necessario usare lo spettro di risposta perché ci permette di conoscere la risposta del sistema dando la posizione di input:

• Spettro in accelerazione: classico più usato perché conoscendo θ di massa mi permette di conoscere la forza agente.
• Spettro in spostamento
• Spettro in velocità

S(T,_s) → mi permette di conoscere l'ampissimo valore del parametro analizzato per un sistema ad 1GDL

s crea una forma "basculata"

Deve essere valutato per il componente orizzontale e anche per quello verticale.