Tecnica delle costruzioni 2 - Esercizi e schemi

Dinamica dei sistemi lineari a m GDL

Le risposte di moti per un sistema ad 1GDL possono essere combinate per ottenere la risposta dinamica del sistema MGDL. Si assumono per:

• Le masse siano concentrate
• Il numero di gradi di libertà sia finito
• Solai - dove si concentra la massa, è 1gdo
• Pilastri - dove si concentra la rigidezza

La difficoltà di calcolo sta nel fatto che i diversi gradi di libertà potranno tra di loro, le moto risultano "confuso". Sincronia del moto per i vari piani. Fenomeni traslatori

Semplificazione del sistema a MGDL

La si può ridurre le moto di un sistema a mGDL a modo di un sistema ad 1GDL. L'equazione di equilibrio dinamico nel caso di un sistema ad 1GDL mi obbliga:

mẍ+cẋ+kx = f(t) se supponiamo che questo sia il piano n-esimo di un sistema a MGDL. La prima forza che entra in gioco è la forza di ritorno elastico che è proporzionale non allo spostamento totale ma allo spostamento relativo di interpiano tra i due solai (DRIFT) -Ki (Xi - Xi-1). Esiste anche una forza di ritorno elastico da parte del piano sopra che tende a riportarmi indietro il piano -Ki+1 (Xi - Xi+1) perché è il piano sopra a tendere. Lo stesso succede per le forze dissipative viscose perché ho sia un contributo relativo dalle forze di attrito del piano stesso che quella create delle differenze tra le velocità rotative del piano ed il piano superiore -Ci (Xi - Xi-1) - Ci+1 (Xi - Xi+1).

L'unica forzante esterna che entra in gioco è quella applicata al solaio del piano considerato: f.

Supponiamo che deve essere uguale altre forza data da massa per accelerazione = miẍ -> Ho trasformoie ed otterranno l'equazione di equilibrio dinamico per un sistema a MGDL per grado di libertà n-esima. Lo devono scrivere, per tutti i gradi di elettà per cui nasesso di n equazioni.

Dinamica dei sistemi lineari a m GDL

Le risposte di moto per un sistema ad 1GDL possono essere combinate per ottenere la risposta dinamica del sistema MGDL. Si assumono per:

• Le masse siano concentrate
• Il numero di gradi di libertà sia finito
• Solai -> dove si concentra la massa, è 1GDL
• Pilastri -> dove si concentra la rigidezza

La difficoltà di calcolo sta nel fatto che i diversi gradi di libertà possono tra di loro, il moto risulta "confluisco". Sincronia del moto nei vari piani. Fenomeni torsionali

Equazione di equilibrio dinamico

La si può suddividere la moto di un sistema ad n GDL a moto di un sistema ad 1GDL, l'equazione di equilibrio dinamico nel caso di un sistema ad 1GDL mi dubai:

mẍ + cẋ + kx = f(t) se supponiamo che questo sia il piano i-esimo di un sistema a MGDL. La prima forza che entra in gioco è la forza di ritorno elastico che è proporzionale non altro spostamento totale ma allo spostamento relativo di inizialiano tra i due solai (DRIFT) -Ki (Xi - Xi-1). Esiste anche una forza di ritorno elastico da parte del piano sapue che tende a riportarmi indietro il piano -Ki+1 (Xi - Xi+1) perché è il piano sopra a tenere.

Lo stessa succede per le forze dissipative viscose perciò ho su un contributo olato dalla forza è attuto del piano stesso che quella orotate dalla differente tra le velocità relative del piano ed il piano superiore -Ci (Xi - Xi-1) - Ci+1 (Xi - Xi+1). L'unica forzante esterna che entra in gioco è aprere apflax al solauio del p an io considerato.

Fsappiamo che deve essere uguale alla forza data da massa per acceleratore= mẍ -> da trasformiamo e otteniamo l'equazione di equilibrio dinamico per un sistema a MGDL per grado di libertà i-esimo.

Equazione per sistemi accoppiati

Nel dsj scaliovor, fortuiti i gradi di elettotà per cui altresesto di n equazioni:

m_i x ̈ + K_i (x_i - x_{i - 1}) + K_{i + 1} (x_i - x_{i + 1}) + C_i (x ̇_i - x ̇_{i -1}) + C_{i + 1} (x ̇_i - x ̇_{i + 1}) = f_i

Per risolvere ogni equazione mi servono spostamento e velocità di piano sopra e piano sotto, le incognite sono legate e non si possono risolvere separatamente. Questo mi complica la risoluzione.

Considerazione di un pistone smorzato a 2GDL

Ad ognuna di queste masse è applicata una forza f potente:

m₁ x ̈₁ + K₁ x₁ + K₁ (x₁ - x₂) = f₁ (t)

m₂ x ̈₂ + K₁ (x₂ - x₁) + K₃ x₂ = f₂ (t)

Le variabili sono presenti in entrambe le equazioni quindi le equazioni sono accoppiate.

Forma matriciale dell'equazione

L’equazione può essere espressa in forma matriciale:

[m₁ 0] [x ̈₁] + [k₁ + k₂ -k₂] [x₁] = [f_p1]

[m₀ m₀] [x ̈₂] [ -k₂ + k₃] [x₂]