Tecnica delle costruzioni (2)

APPROFONDIMENTO METODO DELL'EQUILIBRIO

Fissiamo alcune definizioni per avere un vocabolario comune che ci aiuta ad evitare errori nell'analisi strutturale.

Indichiamo con:

• F → forze e coppie
• f, θ → spostamenti

Movimenti che noi andiamo a considerare sono indipendenti.

Considerando gli spostamenti indipendenti, sviluppiamo degli schemi necessari e sufficienti per conoscere in modo unico le configurazioni della deformata in seguito all'applicazione di forze.

Quando un movimento agisce direttamente producendo lavoro nei confronti di quella forza, vorrà dire che quel movimento sarà correlativo a quella forza.

Per esempio

Se consideriamo come ψ la rotazione del nodo dei portali dove dire che ψ non è correlativo a F perché la coppia F non genera rotazione.

In un sistema generico non è comunque detto che per ogni spostamento ci sia una forza correlativa e viceversa, dice che per ogni forza ci sia uno spostamento correlativo: tale tutto.

Chiaramente con ad gli spostamenti generali a ci definiamo

• α = [α₁, α₂, α₃, …, α_n]

SPOSTAMENTI GENERALI

mentre le valone delle forze para

F = ( F₁, F₂, ..., F_n) FORZE GEN.

Lo spostamento _xi è duale concelativo della forza F_i.

Definiuamo allora la convenzione dei segni positiva

Stiamo parlando di forze e spostamenti generali in questo caso abbandoniamo il concetto del carico (non sono tensioni o deformazioni).

Introduciamo il concetto di rigidezza. Rapperesetandola con una externo K fornita di due pedici:

K_ij RIGIDEZZA

K_ij è la forza F_i quindi concelativo dallo spostamento _xj che nasce dall'equillibrio quando noi imponiii esculfivamente che lo spostamento _xj abbii velone untuario con tutti gli altri nillati.

Quindi come pedice i indichiamo la direzione della forza indutrice i quale grado di liberta ho fato actruivre un velone untuario mentre gli altri ho imposto il commercialo

C'.è una teoria che si durante della reciproca o teoria di beti che dice che:

K_ij = K_ji

ESEMPIO

PORTELE ZOPPO: PILASTRO + TRAVE

Transcuriamo Ia deonformulabilita ammalle delle arte. Il sistemo ha un sullo gado di libertat che è la rotazione nel nodo A.

Io nolo A ha la community motostrica che incar la parte che si utilizzare AB che la utilizada quale che SI utilizarla AC motostino della somma qualitative

I FASE

Blocco, movimenti dei nodi sia sulla verticale nodi sulla traslazione.

Possiamo dividere la struttura in strutture più semplici e individuare i movimenti di ciascuno per poi determinare un meccanismo perfetto ai nodi.

Nel primo grado di libertà moltiplicare l'analisi della rotazione “ϕ₁” la denominano 1.

Lo spostamento trasversale dell'elemento AB è il secondo grado di libertà e lo denominano 2.

Quindi possiamo calcolare la forza correlata al movimento 1:

F₁ = M_AD + M_AC = - (QL²/3 + QL²/12) ⇒ F₁ = QL²/4

Invece la forza correlativa al movimento 2:

E₂ = T_AD + T_AC + T_BF + T_BC = -Q⁹ top = QL/2 = -3QL

poiché

• M_AC = ql²/2
• M_AD = -9(2el)²/12 = M_BF
• T_AC = F_BE = -ql²/2
• T_AD - F_BF = -9(2l)/2

Queste reazioni di meccanismo perfetto le voglio trasformare in meccanismi nodali equivalenti.

ALTRO ESEMPIO

1. SCEGLIERE I GRADI DI LIBERTÀ SIGNIFICATIVI:

   • Trascuriamo la deformazione per sforzo normale
   • non si muovono in verticale
   • si sposteranno della stessa quantità

   I movimenti significativi portano a:

2. SCRIVO LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO PER QUESTA STRUTTURA

   • Devo dividere in casi:
   • Soggetto ai soli carichi
   • spostamento x₁ = 1 e tutto il resto zero
   • spostamento x₂ = 1 e tutti gli altri movimenti zero
   • spostamento x₃ = 1 e tutti gli altri movimenti zero

1. SOGGETTO AI SOLI CARICHI

   F₁ = somma dei momenti al nodo di N

   • = ^qℓ2/₁₂ = ^{ϕ(2d)2/12 θ}

   F₂ =

   • qℓ/2 + qℓ/2 + qℓ/2

   F₃ = qℓ²/12

uniche le coppie agenti nel nodo "1".

_S̅₃ = 0_β̅₄ -6E_J/L_2β̅₂ + 4E_J/L_3β̅₃ + 0_β̅₄ + (6E_J/L₂²)_β̅₅ + 2E_J/L_6β̅₆ + _S ̅₃

Da come influenze n carico non associato

modo semplicemente tenuto ɸ₄, ɸ₅, ɸ₆.

Se α quindi sono a conoscenza delle proporzioni che originano da continuità di inflessione,

che perturba ulteriormente anche le indicazioni

da applicare nella stessa estensione il dilemma.

Dopo aver così dedotto tutte le sollecitazioni per tutte

le eventuali delle altre case alcune penali legate

direttamente in assoluto delle costruzioni posso ricavare

l'andamento anche lungo ciascuna sezione.

Data la mole di dati questo rilevante è necessario

sveltire ancora i calcoli nel più possibile per fare

ciò limitandosi il seguente equazione

costituita da vettori e matrini:

[_S̅] = [K]_β̅ + [_S̅]

con K riduciamo la matrice di rigidezza

[K] = EA/L 0 0 -EA/L 0 0 0 12EJ/L³ -6EJ/L² 0 -12EJ/L³ -6EJ/L² 0 -6EJ/L² 4EJ/L 0 6EJ/L² 2EJ/L -EA/L 0 0 EA/L 0 0 0 -12EJ/L³ 6EJ/L² 0 12EJ/L³ 6EJ/L² 0 -6EJ/L² 2EJ/L 0 6EJ/L² 4EJ/L

È una matrice 6x6

Estratta da 6 equazioni in cui ogni equazione sono facente attendete dei componenti di spostamento libero.

In totale avremo 36 coefficienti di rigidezza.

È una matrice simmetrica in base a questa caratteristica le cui scoperte sono 21 ed non 36

Ogni casa avrà una matrice 6x6, proviamo a fermarciamo la matrice K assemblata 18x18.

K₃

K₄

K₅

L'ultimo passaggio è quello di scrivere il sistema di equazioni annullando il riproponendo alla fine il contributo dei vincoli.

Poniamo scrivere K_ASS x = S* Vettore dei Termini Noti

K_ASS è unica matrice di rigidezza numerica nel Teorema di Beail vuoi anche per questa struttura, vuoi hai vincoli in... questa matrice.

S* deve seguire un processo analogo deve essere anche sensi aiutata nel grado di libertà apposti.

La matrice K_ASS è semidefinita positiva quella che agisce lo spostamento / la deformazione, genera il segno di spostamento / deformazione positiva o di massimo valore.

Poniamo allora vettori rigidi dato che non ha sindacato la struttura alla base in effetti...