Tecnica delle costruzioni 1 - Esercizi

PROGETTO

Le ipotesi alla base del metodo agli SLU sono le seguenti:

1. Il cls non reagisce a trazione
2. Le sezioni piane si conservano
3. Il cls è un mezzo isotropo ed omogeneo.
4. Perfetta aderenza tra acciaio e cls.
5. I legami costitutivi sono non lineari.

Nella fase di progetto si ipotizza una zona di rottura (se non è specificato nella traccia).

Ipotizziamo di trovarci sulla retta di rottura critica:

χ c=χ lim

ε_c= ε_cu = 3,5%

ε_s = ε_sy = 1.95%

Dal diagramma delle deformazioni, si può calcolare il valore di X_c:

ε_cu X_c = (ε_su + ε_cu) h

X_c ε_cu h = 0,259h

ε_cu X_c = ε_s (X_c - δ)

ε_s = ε_cu (X_c - δ) / X_c

ε_cu (h - X_c) = ε_s1 (h / 2 + δ) → ε_s1 = ε_su (h / 2 + δ) / (h - X_c)

A questo punto attraverso il legame elastico si passa dal diagramma delle deformazioni al diagramma delle tensioni.

Per il calcestruzzo compresso si ha:

σ_c

σ_co

σ_co = 2(ε_c) f_ck = 0,68R_ck

f_ck = 0,83R_ck

ε_co = 2‰

ε_cu = 3,5‰

Si può quindi ottenere il diagramma delle deformate.

A questo punto mediante i legami costitutivi si possono ottenere le deformazioni:

Per il cls:

σ_c

σ_co

ε_co ε_cu ε_c2 ‰ 3,5 ‰

γ_c = coefficiente parziale di sicurezza = 1.5

σ_co = resistenza di calcolo a compressione del cls

σ_co = α_cc f_ck / γ_c ≅ 0,47R_ck

α_cc = coefficiente di riduzione della resistenza a lunga durata = 0,85

f_ck = resistenza caratteristica cubica a compressione del cls al 28 giornif_ck ≅ 0,83R_ck

Per l'acciaio:

σ_s

σ_so

-ε_su-ε_s1 ε_sy ε_sl2,5 ‰ 1,5 ‰ 2 ‰ 10 ‰

COMPRESSIONE

TEAZIONE

C_S = σ_S0 · A'_S

C_C = σ_C0 b · 0,8x_C

T_S1 = σ_S0 · A'_S

T_S2 = σ_S0 · A'_S

Facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale ed alla rotazione si ha:

{

  C_S + C_C - T_S1 - T_S2 = N_d

  C_S (h - δ) + C_C (h - δ - 0,1v x_crit) - T_S1 ( ^h⁄₂ - δ) + N_d ( ^h⁄₂ - δ ) = M_d

}

In fase di progetto le incognite sono: b, h, A_S, ma la traccia dice che è assegnata b, quindi le incognite sono h ed A_S.

Dal diagramma delle deformate, attraverso un legame elasto-plastico perfetto per l'acciaio teso e compresso ed un diagramma parabola-rettangolo per il CLS compresso, è possibile ottenere le tensioni:

f_ck = 0.83R_ck σ_c = α_cc · f_ck / γ_c σ_c = 1.5 N/mm² σ_S0 = f_yk / γ_s ≅ 0.87f_yk σ_s = 1.15 N/mm²

Una volta definite le tensioni, la normativa ci consente di semplificare il diagramma del CLS compresso con lo stress block che è il diagramma uniforme delle tensioni che si estende per una profondità di 0.8x_c, partendo dalla fibra più compressa.

C_S = σ_S0 · A_s / γ C_C2 = σ_C0 (0.8x_c-ξ) · b T_S = σ_S0 · A_s C_C2 = σ_C0 · 3b · ξ

Esercizio 5

Illustrare la procedura di progetto allo SLU della sezione inflesa in c.a. in modo da garantire la rottura duttile.

Alla base del metodo agli SLU vi sono le seguenti ipotesi:

1. Il CLS non reagisce a trazione
2. Conservazione delle sezioni piane
3. Perfetta aderenza tra acciaio e CLS
4. Legami costitutivi non lineari

In fase di progetto di una sezione in c.a. si richiede la scelta di una retta di deformazione a rottura:

La rottura duttile è proprio una rottura critica, inoltre:

ε = ε_cu = 3.5%

ε_s = ε_su = 10%

Per l'equilibrio:

N - 2T = 0

Da qui: σ_c,tA_c - 2σ_sA_s = 0

σ_c,t = 2σ_s ^A_s/_Ac

μ = 2 ^A_s/_Ac → σ_c,t = μσ_s

Per la congruenza:

ε_c,t = λ - ε_s (1)

Ma:

{σ_c,t = ε_c,t•E_c = μσ_s σ_s = ε_s•E_s

ε_c,t = μ ^σ_s/_Ec = μ ^{ε_s E_s}/_Ec

^E_s/_Ec = η → ε_c,t = μηε_s (2)

Dalla (1): ε_c,t = λ - ε_s

(1) = (2)

λ - ε_s = μηε_s

λ - ε_s(1 + μη) = 0

ε_s = ^λ/_{1 + μη}

2) Calcolare le tensioni e l'errogramento della trave in C.A. per effetto del ritiro.

Il ritiro è la variazione di volume del CLS durante la fase di presa e di indurimento. Dipende dalla composizione del CLS, dalle condizioni ambientali e dal rapporto:

^{l_r = 2 A_e} / _m

A_e = area CLS m = perimetro a contatto con l'atmosfera

In presenza di armature si avrà trazione nel CLS e compressione nelle armature. Queste tensioni sono indipendenti dai carichi, isoliamo un concio di lunghezza unitaria:

Dato che stiamo ipotizzando una perfetta aderenza, vorrà dire che il CLS e l'acciaio si accorceranno della stessa quantità, per cui ε_t = ε_s.

• T = σ_s A_s
• N = σ_ct A_e

Equilibrio:N - 2T = 0 → N = 2Tσ_ct A_e = 2σ_s A_s → σ_ct = ^{2σ_s A_s} / _Ae

LE INCOGNITE SONO _Oct E _OS

CONGRUENZA:

_Ec = λ - _Ect → _Ect = λ - _Ec (1)

CONSIDERANDO CHE:

_Oct = _Ec . _Ect = μ _OS

_OS = _ES . _ES

_Ect = μ ^E_S/_{Ec ES} - μ η _ES (2)

EQUAGLIANDO LE ESPRESSIONI (1) E (2) SI OTTIENE:

λ - _Ect = μ η _ES MA _Ect = _ES

PERCIÒ:

λ - _ES = μ η _ES → - λ + _ES (1 + μ η) = 0

_ES = ^λ/_{(1 + μ η)}

_OS = ^λ/_{1 + μ η ES}

_Ect = μ η ^λ/_{(1 + μ η)} 2

_Oet = μ η ^λ/_{(1 + μ η) EC}

L’ACCORCIAMENTO SARÀ:

ΔE = _ES . _l [m]