Syllabus completo Analisi Matematica 1

Syllabus 2018-2019

1.

L è un maggirante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≤ L.L è un minorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≥ L.

M ∈ R è un massimo dell'insieme X ⊆ R se M ∈ X e M è maggirante di x.m ∈ R è un minimo dell'insieme X ⊆ R se m ∈ X e m è minorante di x.

S ∈ R è un estremo superiore dell'insieme X ⊆ R se è il minimo dei maggirantis ∈ R è un estremo inferiore dell'insieme X ⊆ R se è il massimo dei minoranti.

2.

Data f: A → B con x ∈ A e y ∈ B:Immf: insieme delle possibili uscite corrispondenti agli elementi del dominio {y ∈ Y | ∃ x ∈ X : y = f(x)}

Contrimmagine f^-1(y) = insieme degli elementi del dominio mandati in y dalla funzione{ x ∈ X | ∃ f(x) ∈ B }

3. Caratterizzazione estremo superiore (supX)

Dato un insieme X, limitato superiormentes = supX ∈ R ⇔ a) ∀ x ∈ X, x ≤ S (cioè S è un maggiore)      b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x > s - ε

Caratterizzazione estremo inferiore (infX)Dato un insieme X, limitato inferiormentes = infX ∈ R ⇔ a) ∀ x ∈ X, x ≥ S (cioè s è un minorante)      b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x < s + ε

4. Principio di induzione:Se per ogni n ∈ N, con n > n_o, vale la proprietà p(n), allora è vera anche p(n+1)

es: disuguaglianza di Bernoulli:th: (1+x)ⁿ, ≥ 1+n x ∀ x > -1 , n ≥ 0

- per n=0: (1+x)⁰ = 1 ≥ 1 + 0 = > 1, vero- per n=1: (1+x)¹ = 1 + x ≥ 1 + x, 1 + x, vero

- passo induttivo: supponiamo che tesi sia vera per n e proviamo lo per (n+1)(1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x) (1+x)ⁿ = (1+x) (1+n x) = 1 + (n+1) x + _with

5. Una funzione f(x) è iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

Una funzione inversa f^-1(x) è la funzione che associa ad ogni elemento del codominio il corrispondente elemento del dominio di f(x)oppure: f^-1(x) = g(x) ∈ B −> ∈ D⊆ Y B ∈ B ∃ f(g(x))=b

   (g ∘ f) (x) = d_a ∈ a ∀ g. f(g(x)) = d

Dato il grafico di una funzione invertibile il grafico della sua inversa si ottiene con una riflessione rispetto alla bisettrice del I° e II° quadrante (la retta y = x)

Syllabus 2018-2019

1. L ∈ R è un maggiorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X x ≤ LL ∈ R è un minorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≥ L

   M ∈ R è un massimo dell'insieme X ⊆ R se M ∈ X e M è maggiorante di xm ∈ R è un minimo dell'insieme X ⊆ R se m ∈ X e m è minorante di x

   S ∈ R è un estremo superiore dell'insieme X ⊆ R se e solo se è il minimo dei maggiorantis ∈ R è un estremo inferiore dell'insieme X ⊆ R se e solo il massimo dei minoranti

2. Data f: A ⟶ B con x ∈ A, y ∈ B:

   • Imf = insieme delle possibili uscite corrispondenti agli elementi del dominio{y ∈ Y | ∃ x ∈ X | y = f(x)}

   • controimmagine f^-1(y) = insieme degli elementi del dominio mandati in y dalla funzione{ x ∈ X | ∃ f(x) ∈ B }

3. Caratterizzazione estremo superiore (Sup X)Dato un insieme X, limitato superiormentes = Sup X ∈ R ⇔ a) ∀ x ∈ X x ≤ S (cioè S è un maggiorante)b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x > s - ε

   Caratterizzazione estremo inferiore (Inf X)Dato un insieme X, limitato inferiormentes = Inf X ∈ R ⇔ a) ∀ x ∈ X, x ≥ S (S è un minorante)b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x ≤ s + ε

4. Principio di induzione:Se per ogni n ∈ ℕ, con n >= n₀, vale la proprietà p(n), allora è vera anche p(n+1)

   es.: diseguaglianza di Bernoulli:th: (1 + x)ⁿ > 1 + n x ∀ x > -1, n ≥ 0

   • per n = 0 : (1 + x)⁰ = 1 > 1, x > -1 → 1 > 1, vero

   • per n = 1: (1 + x)¹ = 1 + x → 1 + x, vero

   • passo induttivo: supponiamo che tesi sia vera per n e proviamola per (n+1)(1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)(1 + x)ⁿ = (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n + 1)x + x² → sempre > 0

5. Una funzione f(x) si dice iniettiva se ad elemen