Syllabus completo Analisi Matematica 1

Syllabus 2018-2019

1. L e R è un maggiorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≤ L L e R è un minorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≥ L

   M e R è un massimo dell'insieme X ⊆ R se M ∈ X e M è maggiorante di X m e R è un minimo dell'insieme X ⊆ R se m ∈ X e m è minorante di X

   S e R è un estremo superiore dell'insieme X ⊆ R se è il minimo dei maggioranti s e R è un estremo inferiore dell'insieme X ⊆ R se è il massimo dei minoranti

2. Data f: A → B con x ∈ A, f(x) ∈ Y ⊆ B: Immf = insieme delle possibili uscite corrispondenti agli elementi del dominio ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f(x)

   controimmagine f^-1 (B) = insieme degli elementi del dominio mandati in Y dalla funzione = { x ∈ X | ∃ f(x) ∈ B }

3. Caratterizzazione estremo superiore (supX)

   Dato un insieme X limitato superiormente, s = supX ∈ R ⇔ a) ∀ x ∈ X, x ≤ S (cioè S è un maggiorante) b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X: x ≥ S - ε

   Caratterizzazione estremo inferiore (infX)

   Dato un insieme X limitato inferiormente, s = infX ∈ R ⇔ a) ∀ x ∈ X, x ≥ S (cioè S è un minorante) b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X: x ≤ S + ε

4. Principio di induzione: Se per ogni n ∈ N, con n₀, n, vale la proprietà p(n), allora è vera anche p(n+1)

   Es: disuguaglianza di Bernoulli: Th: (1+ x)ⁿ > 1 + n x, ∀ x > -1, n > 0

   Per n = 0: (1 + x)⁰ = 1, 1 + 0 · x = 1 ⇒ 1 ≥ 1, vero Per n = 1: (1 + x)¹ = 1 + 1 · x ⇒ 1 + x ≥ 1 + x, vero

   Passo induttivo: supponiamo che ttesi sia vera per n e proviamola per (n+1) (1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)(1+x)ⁿ > (1+x)(1 + n x) = 1 + (n+1)x + x², 1 + (n+1)x → vero uth sempre > 0

5. Una funzione f(x) è detta iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

   Una funzione inversa f^-1(x) è la funzione che associa ad ogni elemento del codominio il corrispondente elemento del dominio di f(x) oppure: f^-1(x) = g(x) : B → A è inversa di f a-b se: - f o g = id_B ⇒ ∀ b ∈ B, f(g(b)) = b - g o f = id_A ⇒ ∀ a ∈ A, g(f(a)) = a

   Dato il grafico di una funzione invertibile, il grafico della sua inversa si ottiene con una riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (la retta y = x)

Se f(x) è strettamente monotona ⇒ f(x) invertibile

Dim:

• a) Se f(x) è strettamente crescente (↑) ⇒ ∀ x₁, x₂ ∈ D con x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)per definizione di crescenza ⇒ in particolare, f(x₁) ≠ f(x₂) ⇒ f(x) è (≡) iniettiva
• b) Se f(x) è strettamente decrescente (↓) ⇒ ∀ x₁, x₂ ∈ D con x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)per definizione, ⇒ in particolare, f(x₁) ≠ f(x₂) ⇒ f(x) è (≡) iniettiva

Una successione {a_n} si dice convergente a un numero l ∈ ℝ se ∀ ε > 0 esiste definitivamente che |a_n - l| < ε ∀ n ≥ N

Una successione {a_n} ha un limite finito = l se ∀ ε > 0 |a_n - l| < ε

Una successione si dice divergente a +∞ se ∀ H > 0 definitivamente a_n > H= -∞ se ∀ H > 0 definitivamente a_n < -H

• es ₁ {nⁿ}_{n ∈ ℕ} lim_{n → +∞} a_n = +∞
• es ₂ lim_{n → +∞} ln(-x) = -∞

Una successione si dice irregolare se non è né convergente né divergente

• es ₃ {sin(n)}_{n ∈ ℕ} lim inf a_n lim sup a_n ⇒ se prendo due sottosuccessioni, hanno limiti diversi

{aⁿ}_{n ∈ ℕ} ⇒ lim qⁿ = 0 con q ≤ 1 (esponenziale positivi) lim qⁿ = 1 se q = 1 (1ⁿ sempre 1) lim qⁿ = 0 se -1 < q < 1irregolare q = -1 (se n pari c positive, se n dispari negative)

Una successione si dice limitata se converge a l ∈ ℝ, cioè se |a_n - l| < ε

Dim: se {a_n} ≥ 0 per definizione ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n ≥ N |l - ε < a_n < l + ε

• ∃ ₁ : M ≥ a_n ∀ n₁, a_n1 ≥ N, ∀ n > n₁ ⇒ a_n ≤ N ⇒ è un maggiorante } def. di successione
• ∃ ₂ : min(a₀, a₁, ..., a_n1) = s s = a_nssi > s è un minorante ⇒ limitata

Se una successione è limitata, non è per forza convergente → ₃ lim sin x ⟷ (oscilla tra 1, -1)

Teorema di unicità del limite per le successioni:

• Se {a_n} è una successione regolare ⇒ il suo limite è unico

Dim: ₁ se lim a_n = +∞ so è limitato inferiormente e illimitato superiormente ₂ se lim x = 0 lim x < 0 (altrimenti sarebbe illimitata inferioremente) ₃ se lim a_n ≥ l so l (altrimenti sarebbe illimitata)

Se lim a_n = a, a = -∞

• analoga
• ₂ Se lim a_n ∈ ℝ ⇔ {a_n} limitata ⇒ aⁿ ≠ +∞

Infatti, supponiamo per assurdo che ∃ l₁, l₂ ∈ ℝ con l₁ ≠ l₂ : a_n → l₁ e a_n → l₂

53. Th. sul cambiamento di variabile nel limite:

dette I ⊂ ℝ^+∞, g: D⊆ℝ→ℝ e x₀ ∈ I:₀ con x₀, t₀ ∈ I:

• g: x ⊂ ℝ→I

∃ lim g(x)=t₀ se t₀ in I con t₀ o g(x)=t₀ in x₀ o. ∃ n

∃ lim f(t) = I

⇒ lim f(g(x)) = lim f(t) = I

x→x₀ x→x₀

Dl. per la definizione successionale di limite:

x_n ∈ D- {x₀} ⇒ lim f(g(x_n))=I

siccome ∃ lim

Es 4: Th: lim sin²x/x x→0 = 1

Dl.: sin × è una funzione pari

• lim_x→0 f(x) = lim ^→0 f(x)

=> ∃ c < x sin x/cos x

per il t. del confronto → lim x/x x→0 = sin x/cos x

Th: lim (1-cos²x x→0

= 1 de 1.0 z 0 per identità

54. Teorema degli zeri:

Hp: f(x) continuo in [a, b]

• f(a)⋅f(b) < 0

= ∃ c ⊂ (a,b) tale che f(c) = 0

Dl.: (uso del metodo di bisezione)

• a b
• c’ = (a
• f(c) = 0

4. una funzione si dice convessa in un intervallo se ∀t ∈ x₁, x₂ ET il segmento di estremi: (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)) non ha punti sopra il grafico d.f.

- una funzione si dice concava in un intervallo se ∀t ∈ x₁, x₂ ET il segmento di estremi: (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)) non ha punti sotto il grafico d.f.

- Test di convessità:

Data: f ∈ (a; b) → ℝ,

• se f derivabile in (a; b) ⇒ f convessa in (a; b) ⇔ f' crescente in (a; b)
• f concava f' decrescente
• se f derivabile 2 volte in (a; b) ⇒ f convessa in (a; b) (⇒f''(x) > 0)

x ∈ (a; b)

f concava f''(x) ≤ 0

4.2 Teorema di De l'Hopital:

Dato f,g funzioni: f(x) e g(x) con

• f,g derivabili in (a; b)
• g' ≠ 0 in (a; b)

• ^lim_{x → x0} f(x) = ^lim_{x → x0} g(x) = 0 U {±∞}
• se ∃ ^lim_{x → x0} f'(x)/g'(x) = L ∈ ℝ

allora ^lim_{x → x0} f(x)/g(x) = ^lim_{x → x0} f'(x)/g'(x)

4.3 Formula di Taylor con resto di Peano:

f(x) = T_n,n₀ + o(x - x₀)ⁿ = f(n₀) + f'(n₀)(n - n₀) + f''(n₀)(n - n₀)²/2! + fⁿ(n₀)(n - n₀)ⁿ/n! + o(x - x₀)ⁿ

con resto di Lagrange:

data f ∈ (a; b) → ℝ con x₀ ∈ (a; b) e f derivabile (n+1) volte

f(x) = T_n,n₀ + fⁿ⁺¹(C)/ (n+1)! (x - x₀)ⁿ⁺¹ con C ∈ (x; b)(b)

4.4 Serie convergente: se la somma della serie è Eℝ, ossia se lim S_n = lim (S₁ + S₂...+ S_n) ∈ ℝ

es. ∑_n=1 ^n/2/_(n+1) ∼ 1 (serie di Mengoli)

- Serie divergente: se il limite della successione delle somme parziali è infinito

es. ∑_n=1 ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/2 = +∞

- Serie irregolare o indeterminata: se il limite delle successione delle somme parziali

es. ∑_n=1 (−1)ⁿ indeterminato perché S_n= ½ se n dispari

0 se n pari

4.5 Serie telescopiche:

∑_{n = 1} ^∞ a_n con a_n = b_n − b_n+1 ∀ ∞ a_n= b_n+1 − b_n e

S_n = b₁ − b_n+1 S_n = b_n+1 + b₁

Proprietà:

• se {b_n} converge ⇒ ∑ a_n = b_n+1 − lim b_{nn → +∞}
• se {b_n} irregolare ⇒ ∑ a_n = b_n+1 irregolare
• se {b_n} diverge ⇒ ∑ a_n diverge

es. serie di Mengoli: ∑_n=1^{∞ 1}/_(n(n+1)) = ¹/_{n n → +∞} - 1