Syllabus Algebra Lineare e Geometria

Proprietà della similitudine tra matrici

Date due matrici A e B di dimensione n × n e di tipo K, diremo che A è simile a B se esiste una matrice C di dimensione n × n e di tipo K invertibile tale che C^-1AC = B (*).

La similitudine è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione:

Proprietà riflessiva: Sia A una matrice di dimensione n × n e di tipo K. Osserviamo che I = I^-1. Allora IAI = A implica A ~ A.

Proprietà simmetrica: Supponiamo A ~ B. Moltiplicando ambo i membri della (*) a sinistra per C^-1 e a destra per C^-1, otteniamo A = C^-1BC^-1. Poniamo D = C^-1, quindi C = D^-1. Vale allora DBD = A e questo prova che B ~ A.

Proprietà transitiva: Supponiamo che A ~ B e B ~ D. Dobbiamo dimostrare che A ~ D. Quindi, oltre alla (*), vale una relazione del tipo EBE = D, dove E è una matrice invertibile. Sostituendo l'espressione di B data dalla (*) nell'ultima equazione otteniamo ECACE = D. Poniamo F = CE. Per la proprietà "(AB)^-1 = B^-1A^-1", F è invertibile e vale F = EC, e quindi sostituendo in ECACE = D si ottiene A ~ D.

F AF = D, da cui A ~ D.

Dimostrare che se A e B sono due matrici quadrate d'ordine n, invertibili, ad elementi in un campo K, allora anche AB è invertibile e (AB)^-1 = B^-1 A^-1.

Dim.: poniamo X = AB e Y = B^-1 A^-1. Usando più volte la proprietà associativa del prodotto tra matrici, si ottiene:

XY = A(BB^-1)A = (AI)A = AA = I

YX = B(AA^-1)B = (BI)B = BB = I

Quindi X è invertibile e Y è la sua inversa.

Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso.

Dim.: Esprimiamo α e l'incognita z in forma esponenziale ∈ ℝ,iθ iϕ

α = ρe^(iθ), z = σe^(iϕ), ρ, θ, σ, ϕ ρ, σ > 0.

Vale: ↔ ↔ n iϕ n iθ n iϕ iθ

z^n = α(σe^(iϕ))^n = ρe^(σn e^(iϕ)) = ρe^(iθn) ↔ { {nϕ = θncoefficienti reali, allora anche il suo coniugato complesso α* è una radice dello stesso polinomio. Quindi, P(α) = (α - α*)Q(α). Ma poiché i coefficienti di P(z) sono reali, allora P(α) = 0. Quindi, (α - α*)Q(α) = 0. Ora, se α ≠ α*, allora Q(α) = 0, il che significa che α è una radice di Q(z). Quindi, il polinomio P(z) è divisibile per il polinomio di grado due (z - α)(z - α*), a coefficienti reali.

coefficienti reali, allora anche è una radice del polinomio”, vale P(α) = 0; inoltre dall’ipotesi αα α)Q α)Qsegue - α ≠ 0. Quindi Q(α) = 0 ed esiste un polinomio Q (z) tale che Q(z) = (z - (z). Ciò implica P(z) = (z - α)(z - (z).1 1 1α 2Per la proprietà enunciata prima e per “α + = 2a = 2ℜ(α); αα = |α| ”, il polinomio a coefficienti realiα) α)z2R(z) = (z - α)(z - = z - (α + + ααè un divisore di P(z).5. Enunciare il Teorema Fondamentale dell'Algebra e dimostrare come sua conseguenza che ogni polinomio di grado n>0 acoefficienti complessi si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienti complessi.Teorema fondamentale dell’Algebra: Data l’equazione di grado n nell’incognita complessa zn n-1a z + a z + … + a z + a = 0 (#)n n-1 1 0∈ ℂ,dove a , a , …,

a , a a ≠ 0 e n > 0, essa ha almeno una soluzione nel campo complesso.n n-1 1 0 n

Ogni polinomio di grado n>0 a coefficienti complessi si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienticomplessi.

Dim.: il teorema fondamentale dell’Algebra afferma l’esistenza di una soluzione dell’equazione (#) che chiameremo α .1

In virtù del teorema di Ruffini, il polinomio P(z) = (#) è divisibile per z - α , dove P(z) = (z - α )P (z) e P (z) è un polinomio di1 1 1 1grado n - 1. Se n > 1, si può applicare nuovamente il t.f.A. a P (z) = 0 e nuovamente il t.d.R., ottenendo P = (z – α )P (z).1 1 2 2

Applicando iterativamente i 2 teoremi è possibile ottenere P (z) = (z - α )P (z), dove P (z) è un polinomio di grado 0;n-1 n n nne segue P (z) = a . Vale quindi: P(z) = a (z - α )(z - α ) … (z - α ).n n n 1 2 n

6. Definire la nozione di somma e di somma diretta di

1. La somma di 2 sottospazi W e W di uno s.v. V è definita come: W + W = {w + w |w ∈ W , w ∈ W }
2. La somma di 2 sottospazi W e W di uno s.v. V è diretta se ogni vettore in W + W si esprime in un unico modo come somma di un elemento di W e uno di W (si denota talvolta con W ∩ W ).

Se W e W sono sottospazi di uno s.v. V, allora la somma W + W è diretta se e solo se W ∩ W = {0}.

Dim.: "⇒" Se 0 ∈ W ∩ W, perché W ∩ W è un sottospazio. Supponiamo v ∈ W ∩ W e poniamo w = w' = v, w = w' = 0. Si ha:

w + w' = w' + w'; w, w' ∈ W, w, w' ∈ W

Per definizione di somma diretta, tali relazioni implicano w = w', cioè in W ∩ W = {0}.

... - (x₁/x₁)v₁ + j₁ + 2j₂ + j_-1 + j_j-1 + j_j+1 + j_j + r_j + rv è ora combinazione lineare dei rimanenti.

"⇔" Supponiamo che v sia combinazione lineare dei rimanenti, quindi v = a₁v₁ + ... + a_rv_r. Ciò implica 1v - a₁v₁ - ... - a_rv_r = 0;

1 1 2 2 r r

1 2 2 r rF Fa v v_i è una combinazione lineare di a coefficiente 1 (non nullo), quindi è linearmente dipendente.

18. Enunciare e dimostrare il teorema di Rouche-Capelli (condizione di compatibilità di un sistema lineare).

t.R.C: Un sistema lineare è compatibile se e solo se il rango della sua matrice incompleta è uguale al rango della sua matrice completa.

1 2 n

Dim.: un sistema lineare di m equazioni a n incognite nel campo K può essere riscritto come x₁A₁ + x₂A₂ + ... + x_nA_n = B.

1 2 n

Questo sistema è compatibile se e solo se esistono a₁, a₂, ..., a_n ∈ K tali che a₁A₁ + a₂A₂ + ... + a_nA_n = B, cioè se e solo se

1 2 n

∈ ⟨A⟩.

nB , A , …, A ∈ ∈ ⟨v ⟩ ⟩

Dalla proposizione “dati v , v , …, v , u V , vale u , v , …, v sse dim⟨v , v , …, v = dim⟨v , v , …, v , u⟩”, ciò equivale a1 2 n K 1 2 n 1 2 n 1 2 n⟩1 2 n 1 2 ndim⟨A , A , …, A = dim⟨A , A , …, A , B⟩; viste le definizioni di rango, matrice completa C e matrice incopleta A, ciò equivale arkA = rkC. →9.

Siano V e W due spazi vettoriali e L : V W un'applicazione lineare. Dimostrare che l'applicazione L è iniettiva se e solo seK Kker L = {0 }.V ∈Dim.: “⇒” L'ipotesi è che L sia iniettiva e la tesi è ker L = {0 }. Vale 0 ker L perchè L è un sottospazio.V V∈Consideriamo v ker L; quindi, L(v) = 0 = L(0 ). Siccome per ipotesi L è iniettiva, ne segue v = 0 .W V V∈“⇐” Consideriamo v , v V tali che L(v ) = L(v ). Ciò implica:1 2 1 2 ⇒L(v ) - L(v

1. <p>) = 0 L(v ) + (-1)L(v ) = 01 2 W 1 2 W</p>

2. <p>Per la prima condizione di applicazione lineare ciò implica:L(v ) + L((-1)v ) = 01 2 W</p>

3. <p>Per la seconda condizione di applicazione lineare ciò implica:⇒ ⇒ ∈L(v + (-1)v ) = 0 L(v – v ) = 0 v – v ker L.1 2 W 1 2 W 1 2</p>

4. <p>Siccome per ipotesi ker L = {0 }, l'ultima condizione implica v – v = 0 , da cui v = v . Quindi L è iniettiva.V 1 2 V 1 2 ⇒M10.</p>

5. <p>Descrivere una corrispondenza biunivoca tra (m × n, K) e l'insieme di tutte le applicazioni K K lineari. Dimostrarne lan mbiiettività.La legge che associa ad una matrice un'applicazione lineare costituisce una corrispondenza biunivoca≅ ⇒M(m × n, K) Lin (K K )n m ⇒M(mfra l'insieme delle matrici del tipo × n, K) e l'insieme delle applicazioni lineari K K .n mIn simboli: f = L M(f)A = M(L )A⇒ M(mper ogni applicazione lineare K K ed ogni matrice del tipo × n, K).n m ↦ ↦Dim.:</p>

occorre dimostrare che le corrispondenze A L e f M(f) sono inverse tra loro.

Si consideri il doppio passaggio f M(f) L. Si ha:

M(f) ni=1 ni=1∑ x xL (x) = M(f)x = [f(e )|f(e )|…|f(e )]x = f(e ) = f(∑ e ) = f(x)i iM(f) 1 2 n i idove x = (x , x , …, x ) è il vettore colonna.1 2 n

Si consideri il doppio passaggio A L M(L). Si ha:

A AM(L ) = [L (e )|L (e )|…|L (e )] = [Ae )|Ae )|…|Ae )] = [a |a |…|a )] = AA