Syllabus Algebra Lineare e Geometria

Elenco delle nozioni più richieste:

1. Definire la nozione di immagine di un'applicazione. ∈

→

L’immagine della funzione α : A B è imα = α(A) = {α(x) | x A}.

2. Definire la nozione di antiimmagine di un elemento del codominio di un'applicazione.

∈ ∈

→ −1 −1

Dato b B, l’antiimmagine di b mediante la funzione α : A B è α (b) = α ({b}) = {x A | α(x) = b}.

3. Definire la nozione di applicazione iniettiva.

∀x, ∈ ⇒

→

Una funzione α : A B si dice iniettiva se y A : (α(x) = α(y) x = y).

4. Definire la nozione di applicazione suriettiva.

→

Una funzione α : A B si dice suriettiva se im α = B.

5. Definire la nozione di prodotto di due matrici.

∈ ∈ ∈

M M M

Il prodotto delle matrici A = (a ) (m × n, K) e B = (b ) (n × p, K) è la matrice AB = (c ) (m × p, K) definita ponendo

ij jh ih

n

c = ∑ a b

ih ij jh

j=1

per ogni i = 1, 2, …, m e h = 1, 2, …, p.

6. Definire il campo complesso. ℂ ℂ ℝ ∈ ℝ

2

Il campo complesso è (ℂ,È,Ì), dove indica l’insieme dei numeri complessi definito come = = {(a, b) | a, b } e

È,Ì sono operazioni tra numeri complessi che si definiscono come segue:

È

somma (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), ∀a, ∈ ℝ.

Ì

prodotto (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc), b, c, d

7. Definire il modulo e l'argomento di un numero complesso.

ℝ

∈

Dato α = a + ib (a, b ), il modulo di α è 2 2

|α|

ρ = = + b

√a

ℝ

∈

e l’argomento (o anomalia) è un qualsiasi θ tale che valgano

a = ρ cos θ, b = ρ sin θ.

8. Definire il coniugato di un numero complesso. In termini di esso enunciare una condizione necessaria e sufficiente affinché

un numero complesso sia reale. ℝ

α ∈ α

̅

± ∓

Il coniugato del numero complesso = a ib (a, b ) è = a ib.

α

̅ α.

Un numero complesso α risulta reale se e solo se =

9. Enunciare le formule di Eulero, dirette e inverse.

x+iy x

e = e (cos y + i sin y).

ⅈy −ⅈy

e +e

cos y = 2

ⅈy −ⅈy

e − e

sin y = 2i

10. Enunciare il Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Data l’equazione di grado n nell’incognita complessa z:

n n−1

a z + a z + · · · + a z + a = 0

n n−1 1 0

∈ ℂ,

dove a , a , ..., a a ≠ 0, n > 0,

n n−1 0 n

essa ha almeno una soluzione nel campo complesso.

11. Definire la nozione di segmento orientato e di vettore geometrico.

Un segmento orientato nello spazio è una coppia ordinata di punti (P,Q).

Un vettore geometrico (o vettore libero) è una classe d’equivalenza rispetto alla relazione di equipollenza.

12. Definire la nozione di spazio vettoriale, richiamando solo alcuni degli assiomi, a scelta.

Uno spazio vettoriale costruito su K è una quaterna ordinata (V,K,+, ω), dove:

1) V è un insieme non vuoto, i cui elementi si diranno vettori;

2) K è un campo, i cui elementi si diranno scalari;

3) “+” è un’operazione binaria in V, detta somma di vettori;

→

4) ω : K × V V è una funzione detta prodotto esterno; hv sta per ω(h, v);

∈

5) sono fissati un vettore nullo 0 e per ogni v V un vettore opposto −v;

6) valgono tutte le proprietà:

(v + w) + u = v + (w + u); v + (-v) = 0; h(v + w) = hv + hw; (−h)v = −(hv); h0 = 0; v + 0 = v; v + w = w + v; (h + k)v = hv + kv;

1v = v; 0v = 0; (hk)v = h(kv).

13. Definire lo spazio vettoriale dei vettori geometrici.

Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici ha:

V

- come insieme di vettori V l’insieme dei vettori geometrici

ℝ

- come insieme degli scalari il campo

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

PQ PR

Inoltre, dati v = e w = , dove P è un punto arbitrario:

⃗⃗⃗⃗

PS

- la ‘somma’ è v + w = , dove S è tale che PQRS sia un parallelogramma:

⃗⃗⃗⃗⃗ ℝ

PT ∈

- il ‘prodotto per scalare’ hv = , dove h e T è il punto della retta PQ che ha ascissa h nel sistema di riferimento in cui P è

origine e Q ha ascissa 1 ⃗⃗⃗⃗

PP

- come vettore nullo 0 =

14. Definire la nozione di sottospazio di uno spazio vettoriale.

⊆

Un sottospazio di uno spazio vettoriale V è un insieme W V soddisfacente le seguenti proprietà:

K

∈

(i) 0 W

∀h, ∈ ∀u, ∈ ∈

(ii) k K : v W : hu + kv W.

15. Definire la nozione di famiglia (finita, non vuota) di vettori linearmente dipendente.

F F

Data una famiglia di vettori = v , v , . . . , v in uno spazio vettoriale V , la famiglia si dice linearmente dipendente se

1 2 r K

esistono scalari x , x , …, x , non tutti nulli, tali che

1 2 r x v + x v + … + x v = 0.

1 1 2 2 r r

16. Definire la nozione di sottospazio generato da una famiglia (finita, non vuota) di vettori.

F

Data una famiglia = v , v , . . . , v (finita, non vuota) di vettori in uno spazio vettoriale V , il sottospazio generato da

1 2 r K

⟨ ⟩ ∈

F F

è = {x v + x v + · · · + x v | x , x , . . . , x K}.

1 1 2 2 r r 1 2 r

17. Definire la nozione di base di uno spazio vettoriale.

Una base di uno spazio vettoriale V è una famiglia di generatori di V, linearmente indipendente.

K

18. Definire le coordinate di un vettore rispetto ad una base finita di uno spazio vettoriale.

B

Se u e = v , v , …, v sono rispettivamente un vettore e una base di uno spazio vettoriale V , gli scalari x , x , …, x

1 2 n K 1 2 n

B

soddisfacenti la (12.1), univocamente determinati, prendono il nome di coordinate del vettore u rispetto alla base .

19. Enunciare la formula di Grassmann.

dim(W + W ) + dim(W ∩ W ) = dimW + dimW .

1 2 1 2 1 2

20. Definire la nozione di funzione (applicazione) lineare.

Siano V e W spazi vettoriali costruiti sul medesimo campo K.

K K →

Una funzione L : V W si dice funzione lineare se

∀h ∈ ∀ ∈

K : v, v’ V :

(i) L(hv) = hL(v);

(ii) L(v+v’) = L(v)+L(v’).

21. Definire la nozione di nucleo di un'applicazione lineare.

∈

→

Il nucleo di una funzione lineare L : V W è kerL = {v V | L(v) = 0 }.

W

22. Definire la matrice associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di dimensione finita, rispetto a basi date per

il dominio e per il codominio. ∈ ↦

→

M n m

Associando ad ogni matrice A (m × n, K) la funzione lineare F : K K : X AX, si ottiene una corrispondenza biunivoca

A

→

M n m

tra (m × n, K) e l’insieme di tutte le funzioni lineari K K .

→ ∈

23. Date un'applicazione lineare L : V W, una base B per il dominio, una B' per il codominio e un vettore v V, descrivere

con una formula la relazione esistente tra le colonne delle coordinate di v e di L(v).

∈

BB

Y = A Xv, v V.

’

L(v) L

= ∈ M

BB

dove A (Y | Y |…| Y ) (m × n, K)

’ L L L

1)

L (v (v2) (vn)

(Le barre verticali servono a separare le colonne.)

24. Definire la matrice di cambiamento di coordinate in uno spazio vettoriale di dimensione finita.

BB

A = (Yv | Yv |…| Yv )

’

id 1 2 n

(Le barre verticali servono a separare le colonne.)

25. Descrivere, per mezzo di una formula, la relazione esistente tra le due n-ple delle coordinate di un vettore in uno spazio

vettoriale n-dimensionale, rispetto a due basi di V .

K BB

Yv = A Xv.

’

id

26. Definire la nozione di rango di una matrice.

∈ m

M(m

Il rango di una matrice A × n, K) è la dimensione del sottospazio di K generato dalle colonne di A:

⟩.

1 2 n

rkA = dim⟨A , A , …, A

27. Date due matrici A e B, delle quali si possa fare il prodotto, enunciare una relazione tra il rango di A, di B e di AB, sia nel

caso generale che nel caso in cui B sia una matrice quadrata invertibile.

(i) Se si può fare il prodotto delle matrici A e B, allora rk(AB) ≤ rkA; rk(AB) ≤ rkB.

(ii) Se A è una matrice m × n, B è invertibile d’ordine m e C è invertibile d’ordine n, allora rk(BA) = rkA = rk(AC).

’

→ B B BB

(iii) Data una funzione lineare L : V W, e basi finite di, rispettivamente, V e W , vale A = dim im L.

’

K K L

∈ M

(iv) Per ogni A (n × n, K), A risulta invertibile se, e solo se, rkA = n.

28. Descrivere le relazioni esistenti tra (i) la dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare L tra spazi vettoriali di

dimensione finita e la matrice associata ad L rispetto a basi date; (ii) l'invertibilità di una matrice quadrata e il suo rango; (iii)

l'invertibilità di una matrice quadrata e il suo determinante.

(i) Le dimensioni dell'immagine di un'applicazione lineare L e il rango della matrice associata sono legate dalla relazione:

rkA = dim im L.

(ii) Una matrice quadrata M(n × n, K) è invertibile se e solo se il suo rango è n.

M

(iii) Una matrice quadrata (n × n, K) è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.

29. Enunciare il teorema sul numero di scambi in cui si scompone una permutazione.

Ogni permutazione è composizione di un numero finito di scambi. Se una permutazione σ è ottenibile come composizione

di un numero pari [risp. dispari] di scambi, allora ogni espressione di σ come composizione di scambi ne contiene un numero

pari [risp. dispari].

30. Definire il determinante di una matrice quadrata.

∈ M

Il determinante di una matrice quadrata A = (a ) (n × n, K) è

ij · ·. . .·

det A = ∑ sgn(σ)a a a

1σ(1) 2σ(2) nσ(n)

σϵS n

31. Enunciare la formula di Laplace (sviluppo del determinante secondo una riga o una colonna).

∈ ∈

M(n

Per ogni A = (a ) × n, K) e i {1, 2, …, n} vale: det A = a A + a A + … + a A .

ij i1 i1 i2 i2 in in

32. Enunciare la formula per l'inversa di una matrice quadrata.

∈ M(n

Se A × n, K) è invertibile, allora 1

−1 T

A = A ∗

det A

t

33. Definire la nozione di endomorfismo diagonalizzabile. B BB

Un endomorfismo L di V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V tale che A sia diagonale.

K K L

34. Definire le nozioni di autovalore e di autovettore di un endomorfismo di uno spazio vettoriale.

∈

Sia L un endomorfismo di V . Se v V soddisfa

K ∈

L(v) = λv, v ≠ 0, λ K

allora v si dice autovettore di L e λ si dice autovalore di L associato a v.

35. Definire la nozione di autospazio di un endomorfismo. ∈

Se L è un endomorfismo di V e λ è un autovalore di L, l’autospazio di L relativo a λ è E (λ) = {v V | L(v) = λv}.

K L

36. Definire la nozione di matrice diagonalizzabile.

∈ ∈ M −1

M(n

Una matrice A × n, K) si dice diagonalizzabile su K se esiste una matrice C (n × n, K) invertibile, tale che C AC sia

diagonale.

37. Definire le nozioni di autovalore ed autovettore di una matrice quadrata.

∈ M(n

Data una matrice A × n, K), se AX = λX, X ≠ O , allora X è un autovettore di A e λ è l’autovalore di A associato ad X.

n×1

38. Descrivere le equazioni parametriche di un piano nello spazio.

x = x + lt + l’t’

0 ∈ ℝ

y = y + mt + m’t’ t, t’

0

z = z + nt + n’t’

0 l m n

rk ( )= 2

inoltre: ′ ′ ′

l m n

39. Descrivere le equazioni cartesiane di una retta nello spazio.

ax + by + cz + d = 0

a’x + b’y + c’z + d’ = 0

a b c

rk ( )= 2

inoltre: ′ ′ ′

a b c

40. Definire la nozione di prodotto scalare. ∈

(i) Una forma bilineare simmetrica b in uno spazio vettoriale reale V si dice definita positiva se per ogni u V \ {0} vale

ℝ

⟨ ⟩

u | u > 0

b

(ii) Un prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale è una forma bilineare simmetrica definita positiva.

ℝ n

41. Definire la nozione di prodotto scalare ordinario in , in cui sia coinvolto il prodotto di matrici.

ℝ n

Il prodotto scalare ordinario in si definisce ponendo ℝ

∀u ∈ n T1

, u : u · u = u u .

1 2 1 2 2

42. Definire la nozione di angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale euclideo.

Dati due vettori non nulli u e u in uno spazio vettoriale euclideo, l’angolo da essi formato è

1 2 ·

1 2

̂

= arccos

1 2 || || || ||

1 2

43. Definire la nozione di base ortonormale in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n.

B

Una base = v , v , …, v di uno spazio vettoriale euclideo V è ortonormale se

ℝ

1 2 n ∀i, = 1, 2, …, s

j : v · v = 1 se i = j, 0 altrimenti.

i j

44. Definire la nozione di ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo.

Dato un sottospazio W di uno spazio vettoriale euclideo V , il suo (complemento) ortogonale è

ℝ

∈ ∀w ∈

⊥

W = {v V | W : w · v = 0}.

45. Definire la nozione di angolo tra d