Syllabus Costruzione di macchine

1) Analisi cinematica delle strutture. Spiegare cosa si intende con schematizzazione strutturale. Spiegare cosa si intende per grado di vincolo, cosa sono i vincoli ideali e le tipologie di vincoli più diffuse.

Schematizzazione strutturale: molti componenti meccanici possono essere schematizzati come una trave piana o un sistema di travi piane (struttura piana).Le travi sono collegate tra loro e al resto del mondo con degli elementi di collegamento (saldature, bulloni, cuscinetti, guide, sedi rigide) che sono modellati con delle condizioni di vincolo.

Grado di vincolo: sono i gradi di libertà della trave impediti dalle condizioni di vincolo. Esistono 2 categorie di vincolo:

• vincolo esterno: se collega la trave all'ambiente esterno;
• vincolo interno: se collega due o più travi

Il numero di gradi di libertà (movimenti) che il vincolo impedisce prende il nome di gradi di vincolo.

Vincoli ideali:

• sono privi di attrito e quindi capaci di consentire senza alcuna restrizione i movimenti a cui non si oppongono;
• non cedevoli e quindi capaci di inibire completamente i movimenti ai quali si oppongono;

I vincoli, impedendo spostamenti e rotazioni, trasmettono alla trave delle forze o dei momenti che sono dette reazioni vincolari.

Principali tipologie di vincolo:

• Cerniera fissa (vincolo esterno): impedisce le traslazioni nel punto di applicazione
• Incastro a terra (vincolo esterno): impedisce tutte le traslazioni e la rotazione
• Carrello a terra (vincolo esterno): impedisce alla trave di traslare in direzione ortogonale al piano di scorrimento
• Bipendolo (vincolo esterno): impedisce alla trave di traslare in direzione ortogonale al piano di scorrimento e di ruotare
• Cerniera interna (vincolo interno): impedisce la traslazione relativa tra i tronchi di trave che collega

Non si scalcano in rotazione; sono indipendentiSe traslano devono insiemeTranne il x,z tendenti alle versioni interne rigide e cantoni 2 GDV2 Reazioni vincolari

2) Analisi cinematica delle strutture. Spiegare cosa si intende per strutture ipostatiche, isostatiche ed iperstatiche. Spiegare le possibili metodologie di risoluzione di una struttura isostatica.

Strutture ipostatiche/isostatiche/iperstatiche

• Se p_dL > p_dV -> struttura ipostatica: esempio
• Se p_dL = p_dV -> trave isostatica: esempio
• Se p_dL < p_dV -> trave iperstatica: esempio

Per 3 travi unite avremo:

• Risoluzi̶o̶n̶i̶ ̶t̶r̶a̶v̶i̶ ̶e̶ ̶s̶t̶r̶u̶t̶t̶u̶r̶a̶:Si cancellano i vincoli presenti nella struttura sostituendoli con le reazioni vincolari che essi sono in grado di esercitare (con un verso arbitrario)

• Per ogni trave si scrivono le equazioni di equilibrio della statica

• Le soluzioni del sistema così ottenuto rappresentano reazioni vincolari incognite (si disegna lo schema del corpo libero)

Metodo di risoluzione generale:

È un metodo formalmente corretto. Nel caso di strutture costituite da un numero elevato di travi è molto laborioso (si devono risolvere un numero di equazioni pari a 3 volte il numero di travi). In molti casi, per semplicità è sufficiente determinare esclusivamente le reazioni vincolari esercitate dai vincoli esterni.

Metodo delle equazioni ausiliarie:

Metodo più semplice che permette di terminare le reazioni dei vincoli esterni. Per applicare il metodo: si scrivono le equazioni della statica per l’intera struttura supponendo che i vincoli interni siano “solidificati”. Si integrano queste equazioni con le equazioni ausiliarie, che impongono il rispetto delle condizioni statiche relative ai vincoli interni.

6) Flessione.

Dopo aver enunciato le ipotesi fondamentali per la trattazione, ricavare l'espressione di Navier che permette di determinare la distribuzione di tensione su una trave rettilinea soggetta a flessione pura.

Si consideri un tratto di trave sottoposta a momento flettente. Su cui si considerano due sezione ad una distanza infinitesima dx.

• Materiale omogeneo
• Modulo di Young E costante sia in trazione che compressione
• Ipotesi di Kirchhoff. Questa ipotesi afferma che sezioni inizialmente piane rimangono piane anche a deformazione avvenuta. La validità di questa ipotesi implica che le sezioni ruotino attorno ad un asse detto asse neutro di rotazione. Le fibre che si trovano ad avere la stessa lunghezza iniziale dx.

Ci sono fibre tese nella parte superiore dell'asse neutro e fibre compresse nella parte inferiore.

Si trova il punto C che è il centro di curvatura, individuato dal punto di incrocio delle sezioni ruotate. Individuato C, ricaviamo di raggio Ro che esprime la distanza tra asse neutro e C e un angolo infinitesimale phi. Per piccoli valori di deformazione, approssimativamente vale che:

dx = rho d phi

• Prendiamo una generica fibra distante y dall'asse neutro e lunga L1

L1 = (rho - y) d phi

dove y è la distanza dalla fibra dall'asse neutro allora posso definire:

∆L = L1 - dx = (rho - y) d phi - rho d phi = - y d phi = dx

Ma dato che phi d phi dx allora ∆L - y dx = nulla

Allora εx = ∆L / dx = - y dx/d - y / y - ky indc con k la curvatura k =

Infine εx = -Ky, usando poi la legge di Hooke sigma x = k E y

• Per ipotesi lo sforzo normale è uguale a 0, ma avendo solo puro momento flettente non è presente. Sostituendo a sigma x il valore -KEy, porto furori KE che sono costanti positive. Quindi quello che rimane dentro l'integrale è nullo. Moltiplico e divido per A per ricondurci a questo uguale alla distanza baricentrica, ma quello che è dentro all'integrale è il momento geometrico di secondo ordine. Questa uguaglianza di IgxA mi permette di dire che l'asse neutro coincide con l'asse baricentrico.

9) Torsione su una sezione rettangolare. Si spieghi l'andamento delle tensioni di torsione su una trave a sezione rettangolare e nel caso di una trave a sezione a parete sottile aperta. Si indicano anche le relazioni fondamentali per il calcolo delle tensioni e dell'angolo di torsione.

Per sezioni rettangolari non esistono soluzioni esatte delle tensioni di torsione, ma solo approssimazioni calcolabili con metodi numerici. In particolare si fa uso della cosiddetta analogia idrodinamica, per cui immaginando di avere un fluido che ruota all'interno della sezione, questo avrà una velocità maggiore sul lato più lungo e nulla nel centro e sugli spigoli.

Non si può dire che tra il centro della sezione e il lato il valore delle tensioni di torsione sia lineare. Dalle simulazioni numeriche abbiamo queste relazioni dove alpha e beta sono due parametri che dipendono dalle dimensioni geometriche della sezione:

τ_max = β ^Mt/_ℓ² ; θ = α ^Mt/_{G ℓ³}

Un caso particolare è rappresentato dalle sezioni con una dimensione molto minore rispetto all'altra.

In queste condizioni vale che tau max:

τ_max = ^Mt/_3ℓ ; θ = ^Mt/_3Jt

Il valore di Jt è quello indicato: Jt = ¹/₃ ℓ²

τ_max = ^Mt/_3ℓ ; ℓ_i,max

Jt = ¹/₃ ∑ℓ_i ℓ³

Generalizzando questo concetto per sezioni composte da diversi rettangoli valgono queste due forme sopra citate.

1.2 Cerchi di Mohr.

Spiegare la costruzione dei cerchi di Mohr sui diversi punti di una sezione di una trave soggetta a flessione composta (flessione+taglio). Si ipotizzi per semplicità una sezione rettangolare.

Nel caso di una trave soggetta a flessione composta, lo stato di tensione è variabile nella sezione. I cerchi di Mohr cambieranno in base alla posizione del punto nella sezione.

Consideriamo 4 punti della trave e tracciamo i suoi cerchi di Mohr.

Punto A:

Sulla superficie superiore della trave. Tensioni dovute allo sforzo di taglio nulle per definizione, con unica tensione normale dovuta a flessione (tende le fibre, positiva). Stato di tensione monoassiale presente solo una tensione principale.

Punto B:

Sulla superficie inferiore della trave. Tensioni dovute allo sforzo di taglio nulle per definizione, con unica tensione normale dovuta a flessione (comprime le fibre, negativa). Stato di tensione monoassiale presente solo una tensione principale.

Punto C:

Sull'asse neutro di flessione. Tensione dovuta a flessione nulla per definizione. La tensione di taglio è massima. Centro nell'origine e raggio del cerchio pari a tau taglio. Stato di tensione biassiale con 2 tensioni principali uguali e opposte.

Nel piano fisico le direzioni principali sono ruotate di 45 gradi rispetto alla configurazione di partenza.

Punto D:

Si tratta di un punto generale. In D agisce sia una componente di tensione normale dovuta a flessione (sigma x, positiva sopra asse neutro), sia una componente di tensione tangenziale dovuta al taglio (tau taglio). Il cerchio di Mohr è quello rappresentato in figura che passa per i punti di coordinate (sigma x, tau taglio) e (0, tau taglio).

Lo stato di tensione è quindi biassiale, con due tensioni principali diverse da zero. Nel piano fisico è necessario quindi effettuare una rotazione di un generico angolo theta, per avere la direzione I rispetto alla direzione assiale x.