Superfici regolari e piani tangenti alle superfici, integrali di superficie

Superfici regolari e piani tangenti ad esse

Dato un dominio connesso D e data un’applicazione φ tale che:

φ: D → R³,
(u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

l’applicazione è detta "superficie regolare" se e solo se:

• φ ∈ C¹(D).
• φ è iniettiva nei punti interni di D, cioè
  (u, v) ≠ (u', v') → φ(u, v) ≠ φ(u', v').
• Data la matrice jacobiana, deve avere rango 2 almeno nei punti interni di D.

Il sostegno della superficie si indica con S. La terza condizione è equivalente a due condizioni separate: dati i seguenti valori:

• A(u, v) = det(y_vz_u - z_vy_u),
• B(u, v) = det(z_ux_v - x_uz_v),
• C(u, v) = det(x_uy_v - y_ux_v).

Ossia una sorta di "hessiane ridotte", che però sono Jacobiane. Si deve verificare che il vettore formato dai vari determinanti sia diverso dal vettore nullo, ossia:

∀ (u, v) ∈ D, A(u, v) + B(u, v) + C(u, v) ≠ 0 → A(u, v)² + B(u, v)² + C(u, v)² > 0

Oppure, un’altra condizione equivalente: se considero

∂ φ/∂u (u, v) = (x_u, y_u, z_u),
∂ φ/∂v (u, v) = (x_v, y_v, z_v),

essi devono essere linearmente indipendenti ∀ (u, v) ∈ D.

La superficie si può anche rappresentare per parametri come:

{ x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) } ∈ φ(u, v), (u, v) ∈ D.

Due vettori sono linearmente indipendenti se, presi e addizionati fra loro moltiplicati ciascuno per uno scalare:

a₁v₁ + a₂v₂ = 0

Risulta che affinché l’uguaglianza sopra sia soddisfatta, gli scalari devono essere entrambi nulli, altrimenti sono linearmente dipendenti. Quindi, la terza condizione è soddisfatta anche se si presenta anche solo una delle condizioni ausiliarie.

Superfici cartesiane

Data una funzione f(x, y), sempre con connesso D ∈ R², l’applicazione, per ipotesi di classe C¹:

φ: (u, v) → (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ D,

è detta superficie cartesiana. Si ha che l’applicazione è sicuramente iniettiva poiché, per ogni coppia (u, v) ≠ (u', v') si ha che:

φ(u, v) = (u, v, f(u, v)) ≠ φ(u', v') = (u', v', f(u', v')).

Per quel che riguarda la matrice jacobiana, essa è uguale a:

| 1 0 |
| 0 1 |
| f_u f_v |

quindi A(u, v) = -f_v, B(u, v) = -f_u, e C(u, v) = 1. Si vede che, dato l’1 di C(u, v), esso è sicuramente maggiore di 0, rispettando la prima condizione sostitutiva alla terza. In questo caso, il sostegno della superficie coincide con il grafico della funzione f(x, y).

Piano tangente ad una superficie

Dato un punto P = (u₀, v₀) appartenente a un dominio connesso D e la sua proiezione nello spazio, attraversato da una curva γ (che è la trasformazione spaziale della curva che ha sostegno in D) e una superficie regolare S = φ(D). Si ha che in generale una curva nel piano, definita in un dominio [a, b], ha equazione:

{ u = u(t),
v = v(t),
t ∈ [a, b] ⊂ D }

Considero la curva γ́(t):

γ́(t) = φ(γ(t)) = (x(t), y(t), z(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))).

Data la curva regolare per ipotesi, considero il punto P₀ = (u₀, v₀, φ(u₀, v₀)). Si prova che la curva γ́ è regolare, e che quindi γ́'(t) ≠ 0, ∀ t ∈ [a, b]. Infatti, se considero:

φ'(u(t), v(t)) = (x_uu'(t) + x_vv'(t), y_uu'(t) + y_vv'(t), z_uu'(t) + z_vv'(t))

Se φ'(u(t), v(t)) = 0 nel punto t₀, deve essere u'(t₀₀) = 0, che però è impossibile in quanto per ipotesi la curva è regolare. Quindi, dato il vettore tangente al punto considerato P₀, esso appartiene appunto al piano determinato da P. Questo significa che comunque prendo un vettore tangente al punto in una curva, esso apparterrà sempre al piano tangente, la cui equazione è proprio quella sopra.

I vettori φ_u(u, v) e φ_v(u, v) sono perpendicolari al vettore che ha come componenti i determinanti delle jacobiane ridotte della superficie, ossia:

(A(u, v), B(u, v), C(u, v)).

Questo vuol dire che se si fa il prodotto scalare fra i due, deve risultare nullo. Infatti, se si indicano con (x₀, y₀, z₀) le coordinate di P, e si costruisce un generico vettore che parte da P₀ e va a un generico punto (x, y, z), il vettore che ne viene fuori sarà:

P₀P = (x - x₀, y - y₀, z - z₀).

Se si fa il prodotto scalare fra i due vettori, che deve essere nullo, viene:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Che è l’equazione del piano tangente a una superficie in un determinato punto P = φ(u₀, v₀), e nel caso in cui si abbia una superficie cartesiana, sarebbe:

-f_u(x - x₀) - f_v(y - y₀) + (z - z₀) = 0.