Superfici regolari e piani tangenti alle superfici, integrali di superficie

PIANO TANGENTE AD UNA SUPERFICIE

2

Dato un punto appartenente ad un dominio connesso di e la sua

D R

proiezione nello spazio, attraversato da una curva (che è la trasformazione

γ́

spaziale della curva che ha sostegno in ) e una superficie regolare

γ D

( )=S . Si ha che in generale una curva nel piano, definita in un dominio ha

φ D { ( )

u=u t [ ] [ ]

( ) ( )

∈ ∈ ⊂

= =

γ , t a , b , γ t u , v , t a , b D

equazione . Considero la curva

0 0 0 0

( )

=v

v t { ( )

( )=x ( ) ( )

x t u t , v t

( ) ( )

( )=φ ( ) ( ) ( )

=φ

γ́ t γ t u t , v t : ( )

( )= ( ) ( ) , e data la curva regolare per ipotesi,

y t y u t , v t

( )

( )=z ( ) ( )

z t u t , v t

( ) ( ) ( ) ( )

=γ́ =φ =u =v

P t u , v ,u t , v t

considero il punto , si prova che la curva è

0 0 0 0 0 0 0 0

' ( ) ( )

regolare, e che quindi , infatti se considero

∀ ∈

γ́ t ≠ 0 , t a , b

( ) ( ) (

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

( ) ( )

( )= ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( )=φ ( ) ( ) ( )

+ = +

γ t x u t x v t , y u t y v t , z u t z v t x , y , z u t x , y , z v t u t , v t u t φ

u v u v u v u u u v v v u v

( )

' '

( ) ( )

t =0

, affinché tutto sia nullo nel punto , deve essere , che però è

u t , v t

0 0 0

impossibile in quanto per ipotesi la curva è regolare. Quindi, dato il vettore

( ) ( )

' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=φ +

γ t u t , v t u t φ u t , v t v t

tangente al punto considerato , esso

0 u 0 0 0 v 0 0 0

( ) ( )

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+φ

φ u t , v t u t u t , v t v t

appartiene appunto al piano determinato da u 0 0 0 v 0 0 0

P

. Questo significa che comunque prendo un vettore tangente al punto in

0

una curva, esso apparterrà sempre al piano tangente, la cui equazione è

proprio quella sopra.

( ) ( )

φ u , v φ u , v

I vettori e sono perpendicolari al vettore che ha come

u v

componenti i determinanti delle jacobiane ridotte della superficie

( )

( ) ( ) ( ) , questo vuol dire che se si fa il prodotto scalare fra i due

A u , v , B u , v ,C u , v ( ) ( ) ( )

= =B =C

A A u , v , B u , v , C u , v

deve risultare nullo. Infatti se si indicano ,

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( )

=

P x , y , z

e si costruisce un generico vettore che parte da e va a un

0 0 0 0

P=( )

generico punto , il vettore che ne viene fuori sarà

x , y , z

⃗ ( )

P P= x−x , y− y , z−z , se si fa il prodotto scalare fra i due vettori, che deve

0 0 0 0

essere nullo, viene:

( ) ( ) ( )

+ +C −z =0

A x−x B y− y z

0 0 0 0 0 0

Che è l’equazione del piano tangente ad una superficie in un determinato

( )

=φ

P u , v

punto , e nel caso in cui si abbia una superficie cartesiana,

0 0 0

sarebbe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−f −f − + =0

x , y x−x x , y y y z−f x , y

x 0 0 0 y 0 0 0 0 0 ( )

ν P

Viene inoltre definito il versore normale come la normalizzazione del

0

vettore normale, ossia:

( )

A B C

0 0 0

( ) =

ν P , ,

√ √ √

0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+B + +B + +B +C

A C A C A

0 0 0 0 0 0 0 0 0

In una superficie cartesiana il versore normale è rivolto sempre verso l’alto,

C

poiché è sempre 1. Se si esplicita la , ricordando il limite della

z

0

differenziabilità, si ha che, data una funzione in due variabili:

( ) −z

f x−x , y− y

0 0 =0

lim √ 2 2

( ) ( )

+

x−x y− y

( )

( )

x, y → x , y

0 0 0 0

In cui si è cambiata la formula degli incrementi, ossia il numeratore è un

infinitesimo di ordine maggiore del denominatore, la differenziabilità implica

l’esistenza di un piano tangente.

Esercizio: si calcoli l’equazione del piano tangente della superficie cartesiana

( )

2 x , nel punto .

1,2, 2+2 e

+

z=x y y e

In questo caso basta applicare la formula: considerando che le derivate parziali

x 2 x

sono e , si applica la formula per le superfici

=2 + =x +

f xy y e f e

x y

cartesiane:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−f −f − + =0

x , y x−x x , y y y z−f x , y

x 0 0 0 y 0 0 0 0 0

Che viene:

−( ) ( )−( )( )+ z−( )

−2 =0

4+2 e x−1 1+e y 2+2 e

z=( ) ( )

+2 +

4 e x 1+ e y−4−2 e { u

x=v e

φ=

Esercizio: si calcoli l’equazione del piano tangente a , nel punto

=u

y log u

2

z=v

( ) ( )

φ u , v

2 , in cui si ha che tutto è uguale a . Per prima cosa

= −e

P ,2 log 2 ,1 0 0

0 u v

infatti vanno trovate le coordinate e , quindi si ha che:

0 0

( ) ( )

2 u 2

−e =

, 2 log 2 , 1 v e , u log u , v =−1,

Che danno come risultato , a questo punto se si va a vedere la

v u=2

jacobiana si ottiene:

u u

v e e

1+log u 0

0 2 v

E se si vanno a vedere i determinanti delle jacobiane ridotte si ottiene:

( )

1+ log u 0 ( )

=2

A=det v 1+log u

0 2 v

( )

u u

v e e 2 u

=−2

B=−det v e

0 2 v

( )

u u

v e e u

=−e (1+log

C=det u)

1+log u 0 2 2

( )

Quindi , quindi il piano tangente viene:

=−2 =−2 =−e (1+

A 1+ log 2 , B e , C log2)

0 0 0

( )

2 2 2

( ) ( )−e ( ) ( )=0

−2 −2

1+log 2 x+ e e y−2 log 2 1+ log2 z−1

Cambiando segno e calcolando viene l’equazione.

[ ] [ ]

>0

Dati , , , viene definita “superficie conica”:

=D

r k≠ 0 0,r × 0, 2 π

{ x=u cos v

( )= ( ) ∈

φ u , v , u , v D

y=u sin v

=ku

z √ √

In cui si ha , non si è preso il valore negativo

2 2 2 2 2 2 2

=x + + +

u y → u= x y , z=k x y

di in quanto sta in un intervallo positivo. E in questo caso, si vede che il

u

sostegno è un cono schiacciato di , che può anche essere negativo.

k 1

Questo tipo di superficie è regolare perché per ipotesi, poi è

∈C (D)

φ

( )

' '

iniettiva poiché, prese due coppie , se i due valori delle

( ) u ≠u '

∈

u , v ≠ u , v D́

( )

( ) ' '

curve e sono diversi per la terza componente, mentre se

φ u , v φ u , v

i due valori delle curve sono diversi perché l’intervallo di è

v ≠ v ' v

compreso fra 0 e , quindi non ci sono valori che si ripetono. Per quel che

2 π

riguarda la terza condizione, si veda la matrice jacobiana:

−u

cos v sin v

sin v u cos v

k 0 2 2

( )=−ku ( )=ku ( )=u

E si hanno , dato che

+u =u

A u , v cos v , B u , v sin v ,C u , v cos v sin v

( ) in , quindi la superficie è regolare. Se l’intervallo

∀ ∈

u>0, u D́→ A , B , C ≠ 0 D́

[−r ]

, r

di fosse stato , la superficie non sarebbe stata regolare, poiché

u

capita lo 0 come punto interno.

√

La funzione non è una superficie cartesiana poiché la funzione non

2 2

+

z= x y ( )

è differenziabile nel punto . Una superficie è una funzione alla fine, non

0, 0

un sostegno. [ ] [ ]

>0 −π

Dato sempre , e stavolta il domino , la superficie:

r D= 0, π × , π

{

x=r sin φ cos θ

( )= ( ) ∈

φ φ , θ , φ , θ D

y=r sin φ sin θ

z=r cos φ ( )

È definita come “superficie sferica”, il cui sostegno è la sfera centrata in 0, 0

2 2 2

Si prenda adesso l’equazione generica , che in è una

+ =r

x y R

3

circonferenza, mentre in è un cilindro (se invece è un paraboloide).

r=z

R

Quindi in generale, se non rappresenta una funzione, viene un cilindro.

r

Avendo una situazione di questo tipo:

Si ha proprio una situazione generale del caso sopra: la curva sul piano

γ

è ben definita, semplice e regolare (nel caso di un cilindro è una

xy

circonferenza), poi si ha un rialzo di una determinata , questo tipo di

z

superficie è detta cilindrica e l’equazione caratteristica è:

{ ( )

=x

x u

{ ( )

x=x u [ ] [ ] [ ]

( )

∈ ∈

= =D

γ ,u a ,b → φ= , u , v a , b × c , d

( )

=

y y u

( )

y= y u z=v

Quindi si ha che se la curva è chiusa il sostegno è un cilindro, altrimenti è un

rettangoloide con una determinata altezza e lunghezza. La superficie è regolare

poiché: 1

1. ∈

γ C ( )

' '

2. Prese due coppie diverse , se le differiscono, i due

v

( ) ∈

u , v ≠ u , v D́

valori nella curva differiscono per la terza componente, se invece

differiscono le , differiscono per le prime due componenti dato che i

u

punti considerati sono gli interni al dominio e la curva è semplice

' ( )

x u 0

3. Se si considera la jacobiana viene e si ha

(u)

y ' 0

0 1

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , infatti il fatto che l’ultima ridotta sia

= =−x =0

A u , v y u , B u , v u ,C u , v

nulla rappresenta il fatto che il versore normale sia sempre parallelo al

2 2

[ ] [ ]

2 2 2 ' '

piano , si ha quindi che perché la curva

xy ( ) ( )

+ + = + >0

A B C y u x u

è regolare nei punti interni del dominio. [ ]

( ) ∈

φ u , v , v c , d

u

Se fisso , avrò tutti punti del tipo , che rappresentano in

0 0

ogni punto i segmenti che hanno altezza variabile e la forma della curva

v

definita, paralleli al piano , chiamati “direttrici”, mentre se fisso si ha

xy 0

la curva tutta rialzata di questo valore e si caratterizzano tutti i segmenti che si

sviluppano in verticale lungo la curva, tutti dritti e paralleli all’asse , essi

z

sono detti “generatrici”.

INTEGRALI E AREE DI SUPERFICIE

3 2

Data una superficie regolare , con dominio regolare di ,

D

φ : D → R R

l’area della sup