Superfici, Analisi matematica II

Superficie

z = f(x, y)

Def: ϕ: D ⊂ R² -> R³

D ⊂ R; A ⊂ D ⊂ A̅; A aperto: ℂ R²

ϕ ∈ ℂ¹(A), invertibile A̅

(u, v) ∈ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ (u, v)

rg ( ∂_ux_u ∂_vx_v ∂_vy_u ∂_vy_v ∂_uz_u ∂_vz_v ) = 2 ϕ si dice superficie regolare parametrica

γ: [u, b] -> ℂ²

γ(t) ∈ ℂ

∃ T(t) = γ'(t)

γ' è regolare

Richiedere che il rango||γ'(t)||

della matrice 2 x 2 è equivalente a dire

ϕ_u = (x_u, y_u, z_u)   ϕ_v = (x_v, y_v, z_v)

ϕ_u x ϕ_v ≠ 0

Esempi

1) Superficie cartesiano z = f(x,y) ∈ ℂ'

ϕ(u,v) = (u, v, f(u,v))

ϕ_u = (1, 0, ƒ_u)   ϕ_v = (0, 1, ƒ_v)

rg ( 1 0 f_u 0 1 f_v ) = 2

D: {(u,v) ∈ R²: u² + v² ≤ 1}

φ(u,v) = (u, v, √1-u²-v²)

Semi-sfera

x = u

y = v

z = √1-u²-v²

3) Parametrizzazione della Terra

• z = r cos φ
• x = r sin φ cos α
• y = r sin φ sen α

θφ = (r cos φ cos α, r cos φ sen α, -r sin φ)

θσ = (-r sin φ sen α, r cos φ cos α, 0)

θφ × θσ = r² sin φ cos α, r² sin φ sen α, r² sin φ cos φ

|θφ × θσ| = r² sin φ √senφ (cos² φ + sen²φ) + cosφ = r ≤ sen φ > 0

φ ∈ [0,π]

θ ∈ [0, π/2]

Non tutte le superfici sono orientabili?

Campo vettoriale F: R³ → R³

Il flusso di F attraverso S è dato da

Φ(F,S) = ∫∫_S F⋅medS

dove ∫∫_S FdS = ∫∫ |qu × qv| dudv

dove S: φ: D → R³

F ∈ C¹ (R³)

versore normale = qu × qv / |qu × qv|

quindi se F = F(me)

Φ(F,S) = ∫∫_D F (φ(u,v)) ⋅ qu × qv / |qu × qv| ⋅ |qu × qv| dudv

= ∫∫_D F (φ(u,v)) ⋅ qu × qv dudv

Corollario n.: Formule di integrale per parti.

\(\iint_D f_x (x,y) g(x,y) = \iint_D \frac{\partial}{\partial x} (x,y) g(x,y) dx - \iiint_D f_x \frac{\partial}{\partial y} g \, dx \, dy \, dz\)