Superfici di riferimento

Superfici di riferimento

• GEOMETRIA ELLISSOIDE
• SEZIONI NORMALI
• COORDINATE SULL'ELLISSOIDE
• LINEE GEODETICHE
• SVILUPPI DI PUISEUX WEINGARTEN
• MISURE → ANGOLI e DISTANZE

ELLISSOIDE

superficie matematica, è chiuso e definito

Eq. dell' ellissoide

_{e² = a²-b²/a²} (PRIMA ECCENTRICITÀ)

_{α= a-b/a} (SCHIACCIAMENTO)

a: semiasse maggioreb: semiasse minore

Consideriamo punto A ∈ alla superficie dell'ellissoide e consideriamo fascio di piani che contengono la normale alla superficie passante per A.Tutti quei piani che includono la normale sono SEZIONI NORMALI

Esistono sezioni normali alle quali corrispondono raggio di curvatura minima (l) e raggio di curvatura massimo (r), queste due sezioni sono chiamate SEZIONI NORMALI PRINCIPALI e sono sempre tra loro ⊥.

Raggio di curvatura MINIMO (l)

raggio di curvatura del meridiano passante per A;è contenuto nel piano meridiano.

dipende dalla latitudine φ, da e e da α.

Superfici di riferimento

• Geometria ellissoide
• Sezioni normali
• Coordinate sull'ellissoide
• Linee geodetiche
• Sviluppi di Puiseux Weingarten
• Misure → Angoli e Distanze

Ellissoide

superficie matematica, è chiuso e definito Eq. dell'ellissoide

_x²y²z²

e²

(Prima eccentricità)

(Schacciamento)

a: semiasse maggioreb: semiasse minore

Consideriamo punto A ε alla superficie dell'ellissoide e consideriamo fascio di piani che contengono la normale alla superficie passante per A. Tutti quelli che includono la normale sono sezioni normali.

Esistono sezioni normali alle quali corrispondono raggio di curvatura minimo (L) e raggio di curvatura massimo (N). Queste due sezioni sono chiamate sezioni normali principali e sono sempre tra loro 1.

Raggio di curvatura minimo (L): raggio meridiano passante per A; è contenuta nel piano meridiano; dipende dalla latitudine φ, da a e da e.

ρ = _{a(1−e²)(1−e²sen²φ)^3/2}

Raggio di curvatura massimo (N)

N = ^a/_{(1 - e²sen²φ)^1/2}

Raggio di curvatura della sezione normale passante per l' e il piano meridiano.

Raggio del parallelo

Il raggio del parallelo passante per un punto è definito come:

r = N · cos φ = ^{a · cos φ}/_{(1 - e²sen²φ)^1/2}

Raggio di curvatura del parallelo

Raggio medio di curvatura

Il raggio medio di curvatura è definito come la raggio della sfera tangente all'ellissoide in un pt che meglio li approssima nell'intorno del punto > Raggio della sfera locale

R = ^{a(1 - e2)1/2}/_{(1 - e²sen²φ)}

Raggio di curvatura della sfera locale

NB i paralleli non sono sezioni normali, eccetto il piano equatoriale nel quale r = N

Le linee geodetiche

Le geodetiche sono linee che congiungono due punti sulla superficie ellissoidica:

• in n punto hanno la normale coincidente con la normale alla superficie;
• rappresenta le minima distanza fra due punti posti sulla superficie – arco di cerchio massimo su line superficie

NB: sezione normale che passa per un punto A è diversa dalla sezione normale passante per il punto B

COORDINATE CURVILINEE e CARTESIANE

S: arco di geodetica che unisce O a P

α: anomalia ⇒ angolo tra S e il meridiano passante per O

• Coordinate geodetiche polari: P(α; s)
• Coordinate geodetiche ortogonali: y ⊥ x

punto P determinato rispetto ad un origine O ed al meridiano per esso passante, dall'asse di geodetica y e dall'arco del meridiano x

• Coordinate geografiche: w: longitudine (λ) φ: latitudine (φ) h: distanza dalle m.p. ellissoidica
• Coordinate cartesiane ortogonali tridimensionali: posizione rispetto al sistema x, y, z

RELAZIONI TRA COORD. CARTESIANE e COORD. GEOGRAFICHE

Eq. parametriche dell'ellissoide: relazioni tra coordinate geografiche e coordinate cartesiane ortogonali

• X = r ⋅ cos w = (N cos φ) cos w
• Y = r ⋅ sen w = (N cos φ) sin w
• z = a(1 − e²) sin φ/(1 − e²sin² φ)^1/2 = N(1 − e²) sin φ

ρ = N ⋅ cos φ = a ⋅ cos φ/(1 − e² sin² φ)^1/2

raggio di curvatura del parallelo passante per P

forniscono le coordinate di P e d. alla superficie ellissoidicain funzione delle sue coordinate geografiche

...ndo h/_k ≠ ∅, le relazioni diventano:

x = (N + h_k) cos φ cos ω

y = (N + h_k) cos φ sin ω

z = [N (1-e²) + h_k] sin φ

• Passaggio da geografiche → cartesiane è immediato.

Cartesiane → Geografiche: noti X, Y, Z ricavare ω, φ, h_k

tg ω = ^y/_x (longitudine)

Per la latitudine considera la distanza ρ tra un genericopunto e l'asse Z del sar:

ρ = √(x² + y²)

ρ = √[(N + h_k)² cos² φ cos² ω + (N + h_k)² cos² φ sin² ω]

= (N + h_k) cos φ √[cos² ω + sin² ω] = (N + h_k) cos φ

Calcoliamo il rapporto tra z:ρ

z/ρ = [N (1-e²) + h_k] sin φ / (N + h_k) cos φ = (N - Ne² + h_k) sin φ / (N + h_k) cos φ = (N + h_k) sin φ / (N + h_k) cos φ - Ne² sin φ / (N + h_k) cos φ

- tg φ - Ne²/(N + h_k) tg φ = tg φ [1 - Ne²/(N + h_k)]

Dal rapporto z è possibile ricavare un primo valore di φ

- ponendo h_k = 0 si ottiene φ₁ → tg φ [1 - Ne²/ (N + h_k)] → φ = ...

φ₁ = arc tg (z/p (1 - e²)^-1)

A questo valore di φ₁ corrisponde.

N = N_a - a / (1 - e² sin² φ)^1/2

Sostituendo ₂ ed N₁ nella formula classica distanza si ricava una prima soluzione per la quota h₁:

= (N + h₁) cos → h₁ = h₂

= N₁ cos₁ + h₂ cos₂ → h₁ cos₁ = − N₁ cos₁ → h₁ = − N₁ cos₁cos₁

Poi riparto da Z e ricavo ₂ → N₂ → h₂ (Procedura iterativa)

Interrompo la trasformazione quando i valori delle coordinate rientrano nei limiti di tolleranza del nostro rilievo.

SOLUZIONI APPROSSIMATE per le SUP. di RIFERIMENTO

Le misure vengono eseguite nuovo torto ed invece i calcoli si eseguono sulla superficie di riferimento.Sulla superficie fisica noi misuriamo angoli e distanze relative a sezioni normali e non geodetiche.Ma esistono TEOREMI della GEODESIA OPERATIVA che dicono:

1. nel caso di rilievi su lunghezza ≤ 100 km gli angeli misurati tra sezioni normali possono essere considerati uguali degli angoli fra geodetiche stesse ;
2. la differenza di lunghezza tra km arco misurato diasezione normale ed il corrispondente arco sì geodetica è sempre trascurabile per qualsiasi valore della lunghezza dell'arco stesso.

SVILUPPI di PUISEUX-WEINGARTEN → eq. delle linee geodetiche

Le coordinate cartesiane del punto P in funzione di S , sono date dagli: sviluppi di Puiseux Weingarten:

-Ellissoide-

• X = S. cosα
• Y = S. sinα
• Z =

Re: Raggio di curvatura delle geodetiche in P

Th. di Eulero

¹/_R = (cos²)/L + (sin²)/N

... esprime la variazione continua di R in funzione di e dei due raggi di curvatura principali.

Sfera locale:

• X = s·cos - (s²·sin)/(6R²)
• Y = s·sin - (s²·sin)/(6R²)
• Z = (s²)/(2R)

coordinate di P considerando la sfera locale

Piano tangente:

• X/s → X = s·cos
• Y/s → Y = s·sin

Nei calcoli topografici le tre superfici possono essere utilizzate per approssimare la reale forma terrestre.

Nelle MISURE delle DISTANZE si può raggiungere una precisione dell'ordine di mm/km ovvero un errore relativo pari a 10^-6. Nelle MISURE ANGOLARI la precisione raggiungibile è invece dell'ordine di 0.5·10^-6 rad.

CAMPO TOPOGRAFICO:

Distanza massima entro la quale la differenza relativa tra le coordinate di un punto su un piano top e le coordinate sull'ellissoide è ≈ 10^-6. Tale dist ≈ 25 Km nel caso planimetrico e ≈ 10 Km in quello altimetrico.

CAMPO GEODETICO:

Distanza massima entro la quale la diff. relativa tra le coordinate di un punto sulla sfera locale e le coordinate sull'ellissoide è ≈ 10^-6. Tale dist ≈ 200 Km nel caso planimetrico e ≈ 10-20 Km nel caso altimetrico.

TEOREMI DELLA GEODESIA OPERATIVA

- Gli strumenti topografici eseguono delle misure con la verticale diretta lungo il campo reale e non al campo normale della gravità

- è più comodo che le misure ellissoidiche si riferiscano al Geoide

APPROSSIMAZIONI AL CAMPO NORMALE

- Tenere conto della precisione del rilievo e delle modalità operative

- Partire da criteri operativi per vedere fino a quale ambito sono valide le approssimazioni che possiamo compiere che porta di tipo operativo

GEODESIA OPERATIVA

CAMPO GEODETICO e CAMPO TOPOGRAFICO

(x,y,z) terne locali con origine in P

α azimut della retta normale PQ

s arco PQ

Le 3 COORDINATE CARTESIANE LOCALI posso

no essere ricavate dalle due coordinate di

riport: (λ_s) definite coordinate GEODETICHE POLARI attraverso gli sviluppi. In celle

di Puiseau Weingarten.

X_E = S . sinα { 1 - ^s2⁄_6RNRα + ... }

Y_E = S . sinα {1 . ^s2⁄_6Rα + ... }

Z_E = S {^S⁄_2Rα - ^S3⁄_RN²Rα ... }

Approssimazione sferica

R_α = R = √R_N

e = 0

X_s = s . sinα (1 - ^s2⁄_6R² )

Y_s = s . cosα (1 - ^s2⁄_6R² )

Z_s = - ^s2⁄_2R

• Quando sono lecite queste approssimazioni e quanto differiscono le I dalle II?

I valori (x_e- x_s), (y_e- y_s) (z_e- z_s) massimizzati per φ′- φ e per α′-α oppure per d = 90° valegono per un arco di s = 100 km:

Δx ≈ Δy ≈ 27 mm

La precisione max raggiungibile dagli strumenti topografici moderni è ancora dell'ordine di questo errore max che vale 27·10⁻⁶

➡per scopi planimetrici in un raggio S ≈ 100 km si può sostituire all'ellisssoide la sfera locale passante per P.

➡ DEF. di CAMPO GEODETICO

• Cosa avviene per le quote?

Δz = (s²/2) (1/Rd - 1/Rn)

Tabella: S | 1 km | 10 km | 20 km | 50 km | 100 km

Δz | 0.13 mm | 1.3 cm | 5.4 cm | 0.32 m | 1.3 m

➡ nelle operazioni di livellazione trigonometrica coI> per 5 - 20 km occorre riferirsi all'ellisssoide e non è possibile riferirsi alla sfera locale

Si preferisce per motivi di visibilità e per limitare la propagazione degli errori; spezzare in più piatti sia al misura delle distanze che la misura di dislivelli.