Appunti Curve e superfici per il design

Studio del segno della derivata seconda

f''(x) > 0

• funzione volgere la concavità verso l'alto (U)

f''(x) < 0

• funzione volgere la concavità verso il basso (∩)

f' = 0

f'' = 0

• punti di flesso e tangente verticale o orizzontale

A tangente orizzontale, A tangente verticale, A tangente obliqua

Insiemi numerici

Insieme ⁰ _naturali

• N = 0, 1, 2, 3, ...

Insieme ⁰ _{interi relativi}

• Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...

Insieme ⁰ _razionali

• Q = ..., frac(-13/1), frac(13/1), ...

Insieme ⁰ _reali

• R = {..., frac(-13/1), -1, 0, 1, frac(13/1), ...

L'insieme dei numeri reali può essere messo in diretta relazione con un aspetto geometrico, la retta.

I numeri dell'insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti della retta.

Dato un qualunque numero x trovo sempre uno e solo un punto sulla retta che corrisponde a quel numero. Dato un qualunque punto sulla retta trovo uno e solo un numero reale che corrisponde a quell'unica.

Esattamente come la retta è continua anche i numeri reali sono insieme continuo

Sistemi di Riferimento

• 1D
• 2D
• 3D

A seconda del tipo di operazione da fare è meglio utilizzare uno piuttosto che un altro

Sistema di riferimento cartesiano su retta

Data una retta fisso un punto O (detto origine) e un verso di percorrenza positivo è uno opposto di verso -

Fa sì che data una retta se fisso l'origine verso e unità di lunghezza allora ogni lunghezza purta della retta è in corrispondenza biunivoca con un numero reale

la coordinata _xA (ascissa) è la distanza con segno del punto A dall’origine O

Se ho origine O sul punto B O è a destra x_A è una lunghezza segnalato con segno positivo, mentre se B è a sinistra di O x_B sono una lunghezza con segno negativo

Distanza tra due punti

Distante due punti qualsiasi _A e _B sulla retta rispettiva è assoluta |_AB|

Modulato: operazione che dato in partenzen il positivo o negativo restituisce lo stesso numero segno positiva

Distanza con segno

Dato che _A e _B sulla retta d'origine _x, _{xA e xB sono descritti come quel numero con segno}

Punto medio

Dato due punti_A e _B sulla retta si origine _x e _xB, definitivo il punto mediato tra e due avtore lo distanza

Conversione tra coordinate cartesiane e polari nel piano

X, Y → r, θ

• r = ^{√ X2 + Y2}
• tg θ = ^Y_A / _XA → θ = arco cos tg ^Y_A / _XA

r, θ → x, y

• X_A = r · cos θ
• Y_B = r · sen θ

L’origine è un punto di singolarità nel sistema di riferimento polare. Non vi è corrispondenza biunivoca perché O è associato a r = 0 e qualunque valore di θ.

3D Sistema di riferimento in coordinate cilindriche nello spazio

Si ottiene estendendo il sistema di coordinate polari nella terza dimensione aggiungendo la quota di un punto.

Ogni punto dello spazio (ρθ noto asse z) è univocamente identificato attraverso i numeri reali r, θ, z.

• r = distanza di A dall'asse z
• θ = angolo formato da AO con l’asse x
• z = (quota) distanza con segno di A dal piano xy

Conversione tra coordinate cartesiane e cilindriche nello spazio

X, y, z → r, θ, z

• r = ^{√ x2 + y2}
• θ = arco tg ^y / _x
• z = z

_u = _v =

|_u| |_v| cos θ = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z

cos θ = (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z) / (|_u| |_v|)

θ = arc cos (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z) / (|_u| |_v|)

Proprietà: due vettori perpendicolari (ortogonali) ovvero che formano un angolo θ = π/2 hanno prodotto scalare nullo.

(4) PRODOTTO VETTORIALE TRA VETTORI

Operazione in cui molteplico due vettori e ottengo un vettore che resta in uno spazio con un numero di dimensioni maggiori che 2.

Dato due vettori nello spazio _u, _v = lR³ si definisce prodotto vettoriale

_w = _u X _v

Con le seguenti proprietà:

1. Direzione ortogonale (perpendicolare) sia a _u che a _v
2. Verso definito da regola della mano destra che si colloca a partire dal pollice, il quale indica la punta del vettore

3. Modulo |_u X _v| = |_u| |_v| sen σ

è massimo |_u X _v| = |_u| |_v| per σ = π / 2

è nullo |_u X _v| = 0 per σ = 0, π

_u = _v =

_w =

• (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x)

|_w| = |_u| |_v| sen σ

Proprietà:

• ANTICOMMUTATIVA _u X _v = -(_v X _u)
• DISTRIBUTIVA _u X (_v + _w) = _u X _v + _u X _w
• LINEARITÀ (k_u) X _v = k (_u X _v) = _u X (k_v)

3. det(A) = det(A^T)

4. det(A . B) = det(A) det(B), A,B ∈ R^n×n

5. determinante di una matrice diagonale (o triangolare) è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale

L = ₁[ 1 0 0 5 1 0 6 5 4 ]

triangolare inferiore

U = ₁[ 1 4 3 0 1 4 0 0 1 ]

triangolare superiore

det(L) = 1 . (-1) . 4 = -4, det(U) = 1 . 1 . 1 = 1

Se A è ortogonale (A^-1 = A^T), allora

det(AA^T) = det(AA^-1) = det(I), det(A), det(A^-1) = 1

det(A) = ± 1, det(A) = + 1

Il det delle matrici ortogonali è sempre 0 più o meno 1

Per qualsiasi matrice invertibile A ∈ R^{n x n} ha (det A . A^-1 = A . (A^T = I

det(A . A^-1) = det(I) = det(A) det(A^-1)

¹/_det(A) = 1/det(A^-1)

= vale per qualsiasi matrice invertibile

TRASFORMAZIONI

è un'operazione che associa ad un punto del piano (o dello spazio) un altro punto del piano (o nello spazio)

la maggior parte delle trasformazioni (rotazioni, scalatura, riflessione, proiezione, ...) possono essere rappresentate da matrici

vedi costruire le matrici R²² ∈ R³³ che corrispondono a trasformazioni elementari nel piano e nello spazio