Riassunto esame Scienza delle costruzioni, prof. Vestroni, libro consigliato Casini, Vasta: parte sistemi discreti deformabili

2. SISTEMI DISCRETI DEFORMABILI

• strutture costituite da corpi che possono avere DEFORMAZIONI
• punto fisso
• strutture esasperati ipotizzando che ciascun asta si sospetti estende in ZONA ELASTICA LINEARE, per cui gli allungamenti direttamente proporzionali alla forza normale agente su di essi

Dati un'asta ma suu corrrella e sua equazione

se di qui ↑ allungamento dell'asta dice segno positivo alla spostamento degli estremi:

Δ_e = u_b

∠⌊F Normal

• sposta
• su (v=w dagger aka)

forza normale

Un'asta soggetta a FORZE ASSIALE si deforma: si allunga o si comprime e la forza assestata eí MN—N

Hook → assieme al campo sviluppato di una variab. della deformazione dell'asta → relazione lessionale

comprensione vraquar

La regola che lega N Δ = della

∑ = (Casso piegata paragoni di

almm↑

La Rege che lega N C Δ = della

Assieme COSTITUTIVOpersonal φum iter Λ

date 2.aste norma I KL (K Z)

Ruvo/jets DE SCHOOL tlsoupyou here tle up chew &Kappal; athe I: ZW) ρ→Ω

υΝ Δ

2.1. Strutture Staticamente Determinate

Corpi rigidi

• applicaçione di porre etero.qaril
• sollecitazioni e condici vínrαti (delinialripiegature e prosesternare le Gram Rom: de line transp;artandnmento fuor
• conγiguracóne fine vedurne legnanoċ decreto impsota v↑ esperienza a dia NuNL a dra
• alla o aero sooparin muler Glynstondebrew ε∧Δ
• senza parssinlamento sollecit^ε andireduvi condicozali

Struttura Deformabile:

applicazione di forze esterne ad una struttura deformabile produrre spostamenti dei suoi vincoli che produrrebbero nella stessa primitiva struttura deformabile di spostamenti se fosse soggetta alle stesse forze in condizioni di equilibrio.

Problema Fondamentale:

Legame tra sollecitazioni attive e passive attraverso i legami cinematici dei vincoli interni della struttura. Il sistema esterno e le azioni fissate determinano i vincoli della struttura sulle quali si proiettano le componenti dei carichi inclini longitudinali.

1. 4 corpi... 4 x 3 = 12 gdl 2. Vincoli interni 3+4+1+1=9 3. Vincoli esterni.......

Configurazione Variata

descritta attraverso gli spostamenti dei vincoli ai nodi i = 1 e 2

Problema Elastico

determinare le incognite u, Δ, N

2.2 Principio dei Lavori Virtuali per sistemi discreti def.

Si consideri:

• uno stato di equilibrio costruito da forze esterne P e forze interne N che soddisfano

BN^T + P = 0

forze interne forze esterne

• uno stato di deformazione congruente costituito da spostamenti u e deformazioni ∆

⇒_ou

espressione del LAVORO VIRTUALE ESTERNO

L_e = P^Tu_spostamenti

trasposta delle forze ext

P^Tu = -N^T(∆u) = N^T∆u = N^T∆(∆u)

Lavoro Virtuale Interno

⇒ dipende dal Principio dei Lavori Virtuali

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Assegnato un sistema di forze-pesanti equilibrato e un sistema di spostamenti, deformazioni congruenti, il lavoro esterno è fatto dalle forze negli spostamenti e uguale al lavoro interno L_i fatto dalle tensioni nelle deformazioni:

L_e = L_i

P^Tu N^T∆

equilibrio congruenza

• devono essere definiti sulla stessa struttura/avere nessuna contrapposizione
• assegnate le deformazioni di tutte le aste ∆_i si può determinare gli spostamenti agli in punti

• considerando un sistema di forze-tenzioni virtuali costituito da una sola forza esterna unitaria, nella direzione e verso dello spostamento in che si vuole determinare

L_i = ∑_iN_i'∆_i'

forza unitaria

contraddizione della sollecitazione delle aste possiede dalle forze interne

tensioni interne

Sostituendo la soluzione trovata nella quinta eq. del sistema (#)

C_u2 + C_o2 = Δ₅

si ottiene un'equazione tra le componenti di Δ

C Δ₃ + C Δ₂ + C Δ₁ - Δ₄ = Δ₅

(*) -> -C Δ₁ + C Δ₂ + C Δ₃ - Δ₄ - Δ₅ = 0

Se i Δ_i soddisfano tale condizione significa che una qualunque del sistema (#) è combinazione lineare delle altre quattro. Quindi, per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ammette soluzioni.

Δ_i può assumere valori qualsiasi, uno dei quali rispetti la condizione di allineamento spettale.

Se calcolo di congruenza sono fatti quanto sono le operazioni sovrabbondanti nel sistema Δ = D * u

Grado posto N = N(P) - N(X), la generica eq. del sistema costitutivo diventa

Δ_i = ^{N_i (P)}/_ki - ^{N_i (X)}/_ki

Assumendo k_i = k lo sbilanciamento delle rette risultano:

• Δ₁ -P c X
• Δ₂ -c X
• Δ₃ -¹/_k
• Δ₄ P Ζ X
• Δ₅ X

Sostituisco membro (*):

C (P Col X) + C (c X) + C (c X) + - (P β X) - X = 0

=>^3Ζ/₇ = ρ = N₅

È possibile ora determinare le INCOGNITE SPETTACH N_i:

• 1. N₁ -1
• 2. N₂ 0
• 3. N₃ -⍴ -^3Ζ/₇
• 4. N₄ √2
• 5. N₅ 0

_i

La matrice K e' una matrice 8x8 con le corrispondenti equazioni che assume la forma:

NODO 1.

K_ij ¹ + K_ji ² + K_jj

NODO 2.

K_ji ² + K_ij ³ + K_jj

NODO 3.

K_ij

NODO 4.

K_ij + K_ii

¹K_ij

²K_ij

^Armature

_vote

= F

^ij

_node

incognite

= F

Parte esterne note

indecinate incognite

sconosciute

componente noto poiche espanso

Poiche sole note

dS cos che calite espansione

Si raccoglie U_A

K_AA U_A = F_A - K_AB U_B

determinando U_A le righe eliminate sono utilizzate per calcolare le reazioni P_B

K_BA U_A + K_BB U_B = P_B

del verbal tale operazioni

k_ij + k_ji ² + k_ji ³ + k_ij + k_ji ⁴