Riassunto esame Scienza delle costruzioni, prof. Vestroni, libro consigliato Casini, Vasta: parte teoria della trave

Teoria di Saint Venant

• fornisce la soluzione biunivoca = deformazioni per corpi continui di Caucy tridimensionali assimilando l'asse rettilinea d'1ipotesi di equilibrio, costitutive elastico lineare e materiale isotropo omogeneo.
• le eliche e detta prisma di saint venant, se sezioni di simmetria sono dette Rossi e la superficie laterale è detta mantello.

Sistema angolare:

• momenti d'inerzia rispetto ai due assi principali Ix e Iy
• momenti statici Sx = Sy = 0
• momento centrifugo Ixy = 0

Postulato: principio di Saint Venant

sul una corta distanza dalle base variabili, [il] approssimativamente alla ... dimensione ..., trasversale e lo stato tensionale ....

Saint Venant per semplici ... principali e sistema ... ...

HP₂

1. x_i = 0 → forze di volume nulle (schemi 2ª t.q.)
2. σ_x, σ_y → forze sui invertente nulle (t.q. 0)
3. τ_zx dn_z + τ_zy dn_y = 0 → forze sul invertente nulle (t.q. 0)
4. τ_xz dn_z + τ_yz dn_z = 0

HP₁: Equazioni Indefinite di Equilibrio Generali

x_i = 0

σ_x : σ_y : τ_xy = τ_yx =0

• (S)
  • σ_x 0 τ_xy
  • 0 σ_y τ_yx
  • τ_zx τ_zy 0

det(S) = 0

Stato di tensione piano I₃ = 0

1. ∂σ_x/∂x + ∂τ_xy/∂y + ∂τ_zx/∂z + X = 0 → ∂τ_zx/∂y = 0
2. ∂τ_xy/∂x + ∂σ_y/∂y + ∂τ_zy/∂z + Y = 0 → ∂τ_zy/∂x = 0
3. ∂τ_xx/∂x + ∂τ_yx/∂y - ∂σ_z/∂z + Z = 0

∂τ_xy/∂z = 0

Legge di Hooke Generalizzata

ε = σ

Matrice della flessibilità:

• ε
• ε_x -1/E -ν/E -ν/E 0 0 0
• ε_y -ν/E -1/E -ν/E 0 0 0
• ε_z -ν/E -ν/E -1/E 0 0 0
• γ_xy 0 0 0 1/G 0 0
• γ_yz 0 0 0 0 1/G 0
• γ_zx 0 0 0 0 0 1/G

σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_yz τ_zx

(σ° = ε)

NOCCIOLO CENTRALE DI INERZIA

• Luogo degli antipodi delle rette non secanti l'asse centrale trasversale
• È luogo degli antipodi delle rette tangenti e una retta secante definisce una frontiera del nocciolo

Il nocciolo centrale d'inerzia di una sezione è una regione nel piano xy su cui forma dipende unicamente dall'espansione della sezione e che gode delle seguenti proprietà:

1. Il baricentro appartiene sempre al nocciolo centrale d’inerzia
2. Se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo centrale d'inerzia, l'asse neutro è esterno alla minima espansione della sezione
3. Se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo centrale d'inerzia, l'asse neutro è interno alla minima espansione [diagramma delle curvature a flessione settante in parte teso e in parte compresso]
4. Se il centro di sollecitazione si trova sulla frontiera del nocciolo centrale d'inerzia, di asse neutro è tangente alla minima espansione della sezione
5. Se il centro di sollecitazione è tra una sezione e minima della sezione, l'asse neutro è tangente al nocciolo centrale d'inerzia

Nel caso della sezione rettangolare, la corrispondenza asse neutro-centro di sollecitazione, associato ad ogni lato della sezione ha spigolo opposto rispetto al baricentro G del rettangolo

Al variare della posizione del centro di sollecitazione si ricavassero i diagrammi delle curvature:

1. c centrale uni
   • c = N/A
   • Trazione uniforme con curva costruttiva
   • c = N/A
2. c intero nocciolo e int. sezione
3. c esterno nocciolo e int. sezione
4. CE frontiera nocciolo in 1/2 sezione
5. CE frontiera su int. tangente nocciolo.

Se C giace su uno dei due assi x e y, no M_x = 0 o M_y = 0, asse neutro, scomposizione dei carichi di trazione, sforzo CTR presso flessione retta.

2) PRESSIONE NORMALE CENTRATA

N(z) = N costante ↔ N>0 trazione applicata in G N<0 compressione

Pertanto σ_z dipende solo da A, la pressione non dipende dall'area sezionale deviata oggetto, cioè dalla sua forma.

Il caso della pressione centrata è con N applicato nel baricentro, x_c + y_c = 0

σ_z = N/A S = | 0 0 0 0 N/A |

Per la legge di Hooke:

σ_z = N/A ε_z = σ_z/E ε = σ/E | => ε_z = N/AE ε_t = ε_x = -νσ_z/E = -νN/AE

Rigidità assiale

• Classe neutro coincidente con la settente numerosa reciproca del baricentro σ_c se N σ distribuito uniformamente nelle basi
• ΔL = E * L = ε = N/AE → ΔL= (N/AE)

Stato Deformativo: Deformazione e SOSTAMENTI

σ_z = N/A σ_t Hooke ε = Aσ' τε

∑_x↔7 = φσ_z/E ⟪⟫ E = 2μ ↔ ν↔σ/E ⌝ σ_t = 2μ/2⨜ ⌝∑_z=2ϑ/2σ_ε

Inquadrigo le nascisi:

╘ N ╘ L

La deformazione longitudinale risulta infatti proporzionale

Deformazione longitudinale → ε_z=^σ_z/_E=^M_x/_EIxy

Deformazioni trasversali → ε_x=ε_y=-νε_z=-^νM_x/_EIxy

ε_x=∂u/∂x=-^M_x/_EIxy → u=...+Φ₁(y,z)

ε_y=∂v/∂y=-^νM_x/_2EIx(x²+y²) → v=...+Φ₂(x,z)

ε_z=∂w/∂z=^M_x/_EIxzy+Φ₃(x,y)

integrando a meno degli spostamenti infinitesimi:

u=-^νM_x/_EIxxy  v=-^M_x/_2EIx(z²+ν(x²+y²))  w=^M_x/_EIxyz

I punti dell'asse geometrico baricentrico della trave

(O;0;G) hanno tale campo di spostamenti

u=0   v=-^νM_x/_EIxz   w=0

L’asse geometric della trave è deformazione nulli

nell piano xy detto piano di infessione. Piano

piano di sezione assiale

Nella flessione retta (M_x = cost) piano sezione e

————–

Curvatura flessionale

→ M_x=^E/_Ixx

Deformazione piano xy (Piano della trave)

Deformazione lunghezza d’asse (xy)

2) CONDIZIONI SUL MANTELLO

σ_zx dnx + σ_zy dny = 0

∫_S dny = -∂_x ∫_S dny = -∂_y dS

• Sostituendo i punti
• ∂φ/∂y dnx - ∂φ/∂x dny = 0

∂φ/∂S = 0

3) EQUILIBRIO SULLE BASI

M_e = ∫(σ_zx y + σ_zy x) ∂A =

• ∫(-∂φ/∂y y - ∂φ/∂x x) ∂A =

1. ∫-∂φ/∂y y dA + ∫-∂φ/∂x x dA

1. ∫∂φ/∂y y dA = ∫_A ∂φ/∂y y dx dy = ∫_x1^x2 dx ∫_y1^y2 -∂φ/∂y y dy

Per atti:

∫_x2^x2 g'(x) f'(x) - g(x) f'(x) - ∫_φ(x) f'(x)

f(x) = y f'(x) = 1 g(x) = -∂φ/∂y g(x) = -φ