Sunto Fondamenti e didattica della matematica, prof. Iannamorelli, libro consigliato Abbasso la Matematica, Bruno Jannamorelli

ABBASSO

LA MATEMATICA

BRUNO JANNAMORELLI

INDICE

Introduzione... pag. 1

Duplicazione del quadrato... " 1

Due personaggi molto importanti per la scuola... " 3

LA MOLTIPLICAZIONE... " 4

• Moltiplicazioni e rettangoli... " 4
• Proprietà delle moltiplicazioni... " 5
• Lo zero annulla tutto... " 5
• rettangoli con base ed altezza zero... " 5
• rettangoli isoperimetrici... " 5
• La moltiplicazione egiziana e filastrocche... " 7
• Moltiplicazione con le dita... " 8
• Moltiplicazione a reticolo... " 9
• I bastoncini di Nepero... " 10
• Moltiplicazione vedica... " 11
• FIBONACCI e la moltiplicazione a crocetta... " 11

LA PROVA DEL NOVE. Regole e Tabella a doppia entrata... " 13

• Chi ha inventato la prova del nove... " 14
• L’aritmetica dell’orologio... " 15
• Perché proprio la prova del nove... " 16
• Perché la prova del nove non è sempre affidabile... " 17

LA PROVA DELL’11... " 18

LA RADICE QUADRATA. Impara ed applica... " 19

• Quadrati, quadratini, quadratoni, gnomoni... " 20
• L’origine della radice quadrata... " 21
• Una interpretazione della √̅2̅ dei babilonesi... " 22
• Radice quadrata col metodo delle medie... " 23
• Calcolo della radice quadrata nell’antica India... " 24
• Estrazione della radice quadrata nell’antica Cina... " 26
• Costruzione geometrica della radice quadrata di un numero... " 28

NUMERI FISSI... " 32

• Chi è Π ( 3,14 )... " 32
• La storia di 3,14 ossia П... " 32
• Il numero fisso dell’esagono... " 35
• I numeri fissi del pentagono, dell’ettagono, dell’ottagono ecc... " 36

NUMERI PERIODICI... " 38

PREMESSA

Tutti gli argomenti esposti da questo punto in poi sono stati trattati in forma dialogata tra un padre professore, un figlio chiamato Paolo, alunno delle medie, ed una figlia di nome Chiara che frequenta la terza elementare, con un continuo di richieste, domande, spiegazioni che portano i ragazzi ad apprendere, mediante modelli ed attrezzi, come si è arrivati alle regole che vengono imposte.

LA MOLTIPLICAZIONE

La moltiplicazione rappresenta il primo intoppo nell’apprendimento della matematica. Soprattutto quando non si ricorda la “Tabellina Pitagorica”. Molti bambini trovano difficoltà anche con l’addizione e, soprattutto, con la sottrazione quando devono cambiare 10 unità in 1 decina o 10 decine con un centinaio.

MOLTIPLICAZIONE E RETTANGOLI

Una semplice moltiplicazione 23x18 va fatta così:

Ma perché il 23 va scritto sotto il 18 e non sotto l’84?

Ecco la spiegazione: Disegniamo un rettangolo di latice 23 e dividiamolo

Il rettangolo di area 18x23 va visto come la somma di 2 rettangoli 23x10 e 23x8.Ma la moltiplicazione è aritmetica mentre questa è geometria.Le moltiplicazioni però servono per calcolare l’area.Perché dunque presentare la matematica a compartimenti stagno con quaderni diversi per aritmetica geometria ecc. nella scuola elementare?

Torniamo all’esempio del rettangolo. Si capisce che non bisogna moltiplicare 1x23 bensì 10x23 e quindi al 184 bisogna sommare 230 e non 23; ecco perché bisogna far slittare il 23 di un posto.

Perché sul libro non sta scritto o la maestra non me lo ha spiegato? Perché non devi capire, bambina, devi solo calcolare.Questo è un addestramento militare o da caserma.La scuola è un’altra cosa !! Si dovrebbe coltivare la curiosità, educare le capacità dell’intelletto, accendere passioni.

MOLTIPLICAZIONE A RETICOLO

Proviamo a moltiplicare 754x47 (diverso dal testo) = 35438.

Disegno un rettangolo con 6 caselle ognuna divisa dalla diagonale in salita. Scrivo sopra e a lato le somme da moltiplicare. Nella casella 7/7 scrivo il loro prodotto con i decimali sopra e unità sotto la diagonale. Stesso discorso per le altre caselle 5/7- 4/7- 7/4 - 5/4 - 4/4.

Sommo poi lungo le diagonali partendo dal basso a destra. Per primo numero abbiamo solo l’8 che rappresenta l’ultima cifra del prodotto. Sommo poi 5+2+6=13, scrivo 3 sul prolungamento e riporto 1 sulla successiva. Sommo ora 1+9+3+0+1=14 scrivo 4 sul prolungamento e riporto 1 sulla successiva. Sommo 1+4+8+2 =15 scrivo 5 e riporto 1. Infine sommo 1+2=3 e lo scrivo. Il numero scritto sul prolungamento diagonali è il prodotto cercato. Difatti 35438.

Questo metodo è detto anche a graticcio e a caselle. Fu diffuso da matematici arabi e conosciuto anche dagli indiani. In Italia è apparso sul testo “Larte de labbacho”, primo libro di matematica a caratteri mobili, apparso a Treviso nel 1478 di autore ignoto e perciò conosciuto come “Aritmetica di Treviso”. Nel 1494 un frate matematico, Luca Pacioli, nel suo libro “Summa de Aritmetica” la chiama moltiplicazione a gelosia.

Questo sistema può essere utilizzato per moltiplicare anche numeri più grandi ma non viene più usato perché adesso è imposto il metodo basato sulla memorizzazione tavole della moltiplicazione (tabellina pitagorica) che anticamente era la metà: difatti per la proprietà commutativa 3x5 è uguale a 5x3. Il vantaggio della moltiplicazione a reticolo è che c’è il posto per scrivere i riporti. Lo svantaggio è che ci vuole tempo a riempire tutte le caselle in particolare per numeri grandi.

Peraltro, come vedremo nel prossimo paragrafo, esiste una macchina che realizza il sogno di avere le caselle già riempite: i bastoncini di Nepero.

CHI HA INVENTATO LA PROVA DEL NOVE

I manuali di aritmetica antichi e moderni riportano la prova del nove con le sue regole senza alcuna spiegazione e diverse versioni.

1. La versione vista in precedenza è stata riportata da un certo sig. Pacioli nel 1496.
2. Altra versione riportata su dei testi è la seguente: Si fa una croce inclinata tipo X. Si dividono i 2 fattori per 9 ed i resti si scrivono nella parte centrale. Il resto del prodotto di questi 2 resti diviso per 9 ed il resto del prodotto finale della moltiplicazione diviso anch'esso per 9 si scrivono rispettivamente a dx e sn della X e devono essere uguali.

Es. 657x146= 66272 657:9 = 50 con resto 7 146:9 = 16 con resto 2 7x2=14:9 = 1 con resto 5 66272:9= 7352 con resto 5

• 5
• 7 2
• 5
• 7
• 2

3. Sistema mix fra i due è quello riportato da FIBONACCI sul già visto “Liber abaci.” Egli dopo aver fatto una strana moltiplicazione e cioè 37x37 in questo modo: 7x7 = 49 scrivo 9 (unità) e trattengo 4 decine sulle dita di una mano. Si moltiplica poi 3x7 e 7x3, si sommano i due prodotti e si aggiunge 4: 21+21+4=46 Si scrive 6 (centinaia) e si riportano 4 centinaia. Si moltiplica ora 3x3=9 e si aggiunge il 4 riportato 9+4= 13 che si scrive avanti. Abbiamo in definitiva 1369. Poi Fibonacci passa a fare la prova del nove “normale” e cioè:3+7= 10 tolgo 9 resta 1 oppure 1+0=1; lo stesso per l’altro 37. Poi 1x1 = 1; Poi 1+3+6+9=19 tolgo 2 volte 9 e resta 1 oppure 1+9=10 da cui tolgo 9 resta 1.

E quale sarebbe la differenza introdotta da Fibonacci? Fibonacci dice che invece di sommare le cifre dei due fattori se ne può fare la divisione per 9 e tenere il resto che comunque è 1. Si prosegue come visto nel sistema visto al numero 2. Alla stessa conclusione era arrivato, 200 anni prima, il matematico arabo ALHAZEN

non a torto considerato l’ inventore della prova del nove.

Grande fisico, matematico e filosofo arabo del medioevo e autore di numerose opere in questi campi. Opera di maggior rilievo pubblicato a Basilea nel 1572 titolo Opticae thesaurus Alhazeni arabis libri septem. Che tratta dell’occhio umano, delle leggi sulla riflessione, del principio camera oscura, valutazioni della pressione atmosferica basata durata del crepuscolo, potere ingrandimento delle lenti.