Successioni e serie numeriche

Successioni e serie numeriche

Teorema VI.1

Una successione costante di termini tutti uguali a k converge a k.

Teorema VI.1’

Se tutti i termini di una successione a partire dall’m-mo sono uguali a k, la successione converge a k.

Teorema VI.2

Se una successione è convergente ad un qualche limite (finito!) essa risulta essere una successione di Cauchy.

Teorema VI.3 (unicità del limite)

Il limite di una successione, se esiste (finito, o infinito), è unico.

Teorema VI.4

Una successione monotòna non è mai indeterminata: se è non decrescente, diverge positivamente o converge all’estremo superiore dell’insieme dei suoi termini, a seconda che questo sia illimitato o limitato superiormente; se è non crescente, diverge negativamente o converge all’estremo inferiore dell’insieme dei suoi termini, a seconda che questo sia illimitato o limitato inferiormente.

Teorema VI.5 (teorema del confronto)

Se S e T sono entrambe regolari, e i termini di S sono tutti non minori dei corrispondenti termini di T, allora il limite di S è non minore di quello di T. Viceversa, almeno a partire da un certo valore dell’indice i, i termini di S sono tutti maggiori dei corrispondenti termini di T.

• { } { }a ≥ b → lim a ≥ lim b
• { } { }a > b → lim a > lim b

Teorema VI.6 (teorema della permanenza del segno)

Se una successione è a termini tutti non negativi, ed è regolare, il suo limite non può essere negativo. Viceversa, se una successione ha limite positivo, allora esiste un valore dell’indice a partire dal quale tutti i suoi termini sono certamente positivi.

• { }a ≥ 0 → lim a ≥ 0
• { }a > 0 → lim a > 0

Teorema VI.7 (teorema dei carabinieri)

Siano S = {a_n}, T = {b_n}, e U = {c_n} tre successioni per le quali – almeno a partire da un certo valore dell’indice – valgono le due disuguaglianze a_n ≤ b_n ≤ c_n. Allora, se S ed U convergono allo stesso limite l (finito, o infinito) anche T converge ad l.

Teorema VI.8

Se S e T convergono, S+T converge ed ha per limite la somma dei limiti; se S converge e T diverge positivamente, S+T diverge positivamente; se S e T divergono positivamente, S+T diverge positivamente.

Teorema VI.9

Se S e T convergono, S*T converge ed ha per limite il prodotto dei limiti; se S converge ad l ≠ 0 o diverge, e T diverge, S*T diverge ed il segno della divergenza è stabilito dalla regola dei segni.