Successioni e serie numeriche

Viceversa:

almeno a partire da un certo valore dell’indice i termini di S sono tutti maggiori

dei corrispondenti termini di T. { } { }

a ≥ b → lim a b

lim ;

≥

n n n n

{ } { } >b

a b a

lim lim →

¿

n n n n

Teorema VI.6 (teorema della permanenza del segno): Se una

successione è a termini tutti non negativi, ed è regolare, il suo limite non può

essere negativo.

Viceversa, se una successione ha limite positivo, allora esiste un valore

dell’indice a partire dal quale tutti i suoi termini sono certamente positivi.

{ }

a ≥ 0→ lim a ≥ 0 ;

n n

{ }

> >

a 0 →a 0.

lim n n { } { }

a b

Teorema VI.7 (teorema dei carabinieri): Siano S = , T = e U =

n n

{ } n

c tre successioni per le quali – almeno a partire da un certo valore 0

n

dell’indice – valgono le due disuguaglianze .

a ≤ b ≤c

n n n

Allora, se S ed U convergono allo stesso limite l (finito, o infinito) anche T

converge ad l.

Teorema VI.8: Se S e T convergono, S+T converge ed ha per limite la somma

dei limiti; se S converge e T diverge positivamente, S+T diverge positivamente;

se S e T divergono positivamente, S+T diverge positivamente.

Teorema VI.9: Se S e T convergono, ST converge ed ha per limite il prodotto

dei limiti; se S converge ad l 0 o diverge, e T diverge, ST diverge ed il segno

≠

della divergenza è stabilito dalla regola dei segni.

{ }

a

Teorema VI.11: Se S = converge ad l 0 ed è a termini non nulli,

≠

n

converge ad . Se S diverge, converge a 0; se S converge a 0,

−1 −1 −1

S l S −1

¿ ∨¿

a n

la successione degli inversi dei valori assoluti, e cioè , diverge

¿

¿

positivamente. { } { }

a b

Teorema VI.12: Sia S = e T = , T a termini non nulli. Se S

n n

converge ad l e T converge ad l’ 0, S/T converge ad l/l’. Se S converge e T

≠

diverge, S/T converge a 0. Se S converge ad l 0 o diverge, e T converge a

≠

/¿ ∨¿

a b

0, la successione diverge. Se S diverge e T converge ad l 0, S/T

≠

n n

¿

diverge.

In simboli: 0/l = 0 0/( ) = 0;

± ∞

l/|0| = ( )/|0| = ;

±∞ ± ∞ ±∞

/l = .

± ∞ ±∞ { }

a

Teorema VI.13: Se la successione a termini positivi S = converge ad l,

n

la successione dei suoi logaritmi (in qualunque base) converge al logaritmo di l

(in quella base); se S diverge, anche la successione dei logaritmi (in qualunque

base) diverge (positivamente o negativamente, a seconda che la base sia

maggiore o minore di 1).

Teorema VI.14: Una serie a termini di segno costante non è mai

indeterminata.

Teorema VI.15: La proprietà associativa vale per le serie convergenti e per

quelle divergenti.

Teorema VI.16: Una serie e tutte le sue serie resto hanno lo stesso carattere.

Teorema VI.17: Se una serie converge, la successione dei suoi resti n-mi è

infinitesima.

Teorema VI.18 (criterio di convergenza di Cauchy per le serie): La serie

∞

∑ converge se e soltanto se, dato comunque , è possibile

>

ε 0

a n

n=1 n

determinare, in corrispondenza ad esso, un valore dell’indice,

ε

successivamente al quale la differenza tra due qualunque termini della

successione delle ridotte è, in modulo, minore di :

ε

| |

'

∀ ∃n ∨n −S <

ε>0, , n ' '>n → S ε .

ε ε ' ''

n n

Teorema VI.19 (criterio di convergenza di Cauchy per le serie –

∞

∑

seconda versione): La serie converge se e soltanto se, dato

a n

n=1

comunque , è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un

>

ε 0

n

valore dell’indice, successivamente al quale la somma di un qualunque

ε

numero p di termini consecutivi della serie è, in valore assoluto, minore di :

ε

| |

∀ ∃n ϵ

∨n> + +…+ <ε

ε>0, n , p N → a a a .

+1 +

ε ε n n+2 n p

Teorema VI.20 (condizione necessaria di convergenza): Se una serie

converge, la successione dei suoi termini è infinitesima.

∑ ∑

Teorema VI.21 (criterio del confronto): Siano e due serie a

a b

n n

termini positivi, ed esista una costante c per le quali risulti

b ≤ ca

n n n

per ogni n (almeno a partire da un qualche valore dell’indice). Allora, se

0

∑ ∑ ∑ ∑

converge, converge; se diverge, diverge.

a b b a

n n n n

∑

Teorema VI.22 (criterio del rapporto): Se la serie è a termini

a n

positivi, ed esiste una costante k 1 per la quale risulti:

¿ a n+1 ≤k

a n n

per tutti i termini almeno a partire da un certo valore dell’indice, allora la

0

serie è convergente; se, invece, è definitivamente:

a n+1 >1

a n

la serie stessa è divergente.