Successioni - appunti sulle successioni

SUCCESSIONI

DEFINIZIONE

Una successione a_n é una legge che associa ad ogni n ∈ ℕ un numero reale

a: ℕ → ℝ

n ↦ a_n

Esempi:

• n ≥ 0    a_n = n²    0, 1, 4, 9, 16, ...
• n > 0    a_n = (-1)ⁿ    -1, 1, -1, 1, ...
• n > 0    a_n = √n    2, √2, 3√2, 4√2, ...
• n ≥ 0    a_n = 4    4, 4, 4, 4, ... (successione costante)

SUCCESSIONE A TERMINI POSITIVI - NEGATIVI

a_n si dice:

• positiva se ∀n ∈ ℕ    a_n > 0
• non negativa se ∀n ∈ ℕ    a_n ≥ 0
• negativa se ∀n ∈ ℕ    a_n < 0
• non negativa se ∀n ∈ ℕ    a_n ≤ 0

SUCCESSIONE LIMITATA SUPERIORMENTE E INFERIORMENTE

a_n si dice:

• superiormente limitata se ∃m ∈ ℝ t.c.    a_n ≤ m    ∀n ∈ ℕ
• inferiormente limitata se ∃m ∈ ℝ t.c.    a_n ≥ m    ∀n ∈ ℕ

SUCCESSIONE MONOTONA CRESCENTE O DECRESCENTE

a_n si dice:

• monotona crescente se ∀n ∈ ℕ    a_n ≤ a_n+1
• monotona decrescente se ∀n ∈ ℕ    a_n ≥ a_n+1

Esempio

a_n = { n / (7 + n²) } per n ∈ ℕ

a_n > 0 perché n / (7 + n²) > 0

a_n è definitivamente decrescente.

Si verifica: a_n+1 < a_n

Proprietà Definitivamente Valida

Data una successione {a_n}

• Sia P una sua proprietà.

=> a_m gode della proprietà P definitivamente se ∃n₀ ∈ ℕ c. ∀n ≥ n₀.

Esempi nella pagina precedente.

Successione Convergente

Una successione {a_n} si dice convergente se esiste un numero l ∈ ℝ tale che, ∀ε>0 ∃n₀ ∈ ℕ c. ∀n ≥ n₀, |a_n - l| < ε.

Il numero l si chiama limite della successione {a_n} e si scrive:

lim_n→+∞ a_n = l

Esempio:

lim_n→+∞ (n-1)/n = 1

Test: ∀ε>0 ∃n₀ ∈ ℕ c. ∀n ≥ n₀.

|(n-1)/n - 1| < ε

|n-1-n|/n < ε => |-1|/n < ε => 1/n < ε

n > 1/ε, scelgo n₀ = 1/ε

Successione Divergente

Una successione {a_n} si dice divergente a +∞ se ∀M>0 ∃n₀ ∈ ℕ:

∀n ≥ n₀ a_n > M

e si scrive lim_n→+∞ a_n = +∞

Una successione {a_n} si dice divergente a -∞ se ∀M<0 ∃n₀ ∈ ℕ:

∀n ≥ n₀ a_n < M

e si scrive lim_n→+∞ a_n = -∞

Successioni Irregolari

Una successione {a_n} si dice irregolare se non è né convergente né divergente, per essa l'operazione di limite non è definita, ovvero il limite non esiste.

a_n = (-1)ⁿ

• Siano a_n b_n successioni divergenti:

  lim a_n = +∞

  lim b_n = +∞

  ➔ lim (a_n - b_n) = ?

  ➔ lim (a_n/b_n) = ?

Forme di indeterminazione

Altre forme di indeterminazione

• lim a_n = 0
• lim b_n = 0

Somma = 0 + 0 = 0

Prodotto = 0 · 0 = 0

lim (a_n/b_n) = ? [0/0]

Posti c_n = 1/a_n t.c. lim c_n = +∞

d_n = 1/b_n lim d_n = +∞

lim (a_n/b_n) = lim (1/b_n) (1/d_n) = [∞/∞]

lim a_n = 1, lim b_n = ∞

➔ lim (a_n)^b_n = [1^∞]

lim a_n = 0, lim b_n = +∞

lim (1/a_n) = ∞, lim (1/b_n) = 0

➔ lim (a_n - b_n) = [0 - ∞]

= lim (1/a_n) (1/b_n) = [0/∞]

➔ lim (a_n/b_n) = 0

= lim (a_n) (1/b_n) ➔ 0 · 0 = 0