Appunti sulle Successioni a valori reali

Lezione 1 5/10/2020

Terminologia e notazioni

Insieme: Collezione di oggetti. Un insieme è ben individuato se per ogni oggetto è possibile stabilire con certezza se esso appartiene o meno all'insieme.

• Si denota con lettera maiuscola (A, B, C, X, Y... sono insiemi)
• Gli oggetti si denotano con lettera minuscola a ∈ A b ∉ B

esempi:

• A = {1, 2, 3}
• B = {a, b, c}
• C = {x ∈ R : x ≥ 0}

Ogni insieme ha una sua cardinalità.

Un insieme può essere ordinato: A = {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {3, 1, 2}

Un insieme non ammette molteplicità: A = {1, 2, 3} = {3, 2, 3} = {3, 2}

∅ = insieme vuoto, non contiene nessun elemento

Insieme finito: contiene un numero finito di elementi. Limitato / finito.

Insieme infinito: contiene un numero infinito di elementi.

esempi:

• - S = Soluzioni reali dell'eq x² + 1 = 0 S = ∅
• - S = {x ∈ R : x² = 1} x = ± 1
• - S = Soluzioni reali dell'eq x² = 0 S = {0}
• - S = {x ∈ R : y = x²}

Confronto fra insiemi:Inclusione: A ⊆ B ⇔ ∀a ∈ A, a ∈ B

1. a, b ∈ B, c ∉ B

A ⊄ B A non è contenuto in B

∃a ∈ A e a ∉ B

OSS. importante:

- Due insiemi uguali contengono gli stessi elementi ⇒ sono lo stesso insieme.

Operazioni fra insiemi:

Siano A, B ⊆ X insiemi.

• A ∩ B (intersezione) A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}
• A ∪ B (unione) A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}
• A \ B (differenza) A \ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∉ B}
• ∁_XA (complementare) ∁_XA = {x ∈ X : x ∉ A}

Prodotto cartesiano: Siano A, B insiemi. A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

OSS: A × B ≠ B × A a meno sono ordinate

esempio:

• A = {x, y} B = {rosso, verde, giallo}
• A × B = {(x, rosso), (x, verde), (x, giallo), (y, rosso), (y, verde), (y, giallo)}

Def: Sup. E_x f_x, E inf

diciamo che m ∈ R è un maggiorante per E se ∀ x ∈ E x ≤ m

che ^m inf è un minorante per E se ∀ x ∈ E s ≤ x

Oss:

• 1) E sup limitato M è un maggiorante
• 2) E min limitato esiste un maggiorante

Esempio:

E = {5, x₁, 6 + m, 7}, m ∈ E

E è limitato (traffico)

Vanno m e 5 massimo per E

E ⟹ x_n : m = 1^9 ⟹ m = m (7)

-3 0.......................... 6

Parent Categorie Parent Relazione

E_x = (x_n + 10)/n

Def: Sup. E_x f_x, E no

diciamo che x ∈ R è un massimo di di E se:

• R è b = massimo comp. E
• diciamo che x ∈ R è un minimo di E se:

Oss:

1. Se 3 massimo: E ≤ a E non massimo: E ≤ b
2. Se 3. annulla: E è un unico min: R

Dim: Se 3, massimo: x∈a E

diminuisce che x_n di almeno min_f e ma xf_i Brutta:

Per assurdo: suppongo che x₁ esima di E t e y_n e E massimo e E min. D:

poi che x₁ massimo: allora: x_c e R

poiché è massimo: allora x_k e x_l

quando: x_y x = x_f ⟹ max è unico

Esempio: Importante

E5 {∑x_n^jm≤b} m^_x m^e e ij

indi mn = ¹/R

Se m = 2

massimo che O = m°(max) e ^0.1,0.2...

Intervallo: OE E.{1 + m^5} e E un massimo: punto il ₃

e ^=4,5→3

l.E sup limitato: contiene l max: 1

e un massimo

Quando limite infinito

Basta numerare che ha e un maggiorante

A E = {sup ∑_and E o vero V:E

quando: e e maggiore: lat:

(x_n–_m) non acc : punto : l_1,3 (non da soluzione)

La k 5 an: sup f∑o vero V:E

quando: e e ^magcinabile

Importante

(x_n-m) con E un massimo: punto

l_c = (x_n-m) sempre in _E, sup&l₂:

Quando E sup limitato: non esprime: ^{3 max} x c

Def:

della una successione {a_n}

Limma che essa possieda definitivamente la proprieta' P se ∃n₀ ∈ N t.c. ∀n₂ n₀ soddisfa la proprieta' P t._n ∈ I

Def:

Una successione {a_n} si dice superiormente definitivamente limitata

esempio

∃n₀

a_n <= 3 ∀n >= n₀ e quindi {a_n} e' limitata

b_n = n+1

a_n = 3

b_n = 1

a_n = a_m+3 = l e quindi {a_n}

b₀ = 4

a_n <= a₁

b₀ + 3 = l

La dividendo limitata ancora monontone limitoide

Def:

Limite di successione o successione convergente

Limma che {a_n} e' una successione convergente e che ∃{x} che il suo limite se ∀ϵ

viene

1. a_n - a_m
2. Se ∃{a_n} e' limitato, il quanto e' contenuto in una striscia orientata limitata in lunghezza e limitata in altezza
3. {a_n}
4. non e' ne sup ne inf limitidio

b_n+3

a.

(3) _na_n = m + cos^(-)(3/n), mobili

• m = cos^(-)(3/∞)=1
• m = 1,5 cos^(-)(3/1,5)=1
• m = 1,58 cos^(-)(3/1,58)=0,5
• m = 1,555 cos^(-)(3/1,555)=0
• m = 1,59 cos^(-)(3/1,59)=-0,5
• m = 1,61 cos^(-)(3/1,61)=-1
• m = 1,62 cos^(-)(3/1,62)=-0,5
• m = 1,65 cos^(-)(3/1,65)=0,5

Verifichiamo con la defi che _na_n è ∞

Sia M un cristiano essisitente, trova e n tal che m + | cos^(-)(3/n) | > M

Non sapremo trovare [...] osservate che m + | cos(x) -3 |= ∞ [...]

Se troverome metodi che lim 2 m + x = ∞, allora anche m + | cos(x) -3 |= ∞

m = 1,5H m = 1,5SH [...] basta scegliere m = [...]

(4) _na_n = m + g_n²

lim _n∞

lim _n∞

Note: Scriviamo

Nota bene:

La_B

esempio:

_na_n = [...] _na_n = i^-

Teoremi del confronto per successioni divergenti

Teorema:

• Se a_n ∼ b_n indeterminatamente e lim a_n = +∞ allora lim b_n = +∞
• Se a_n ∼ b_n indeterminatamente e lim a_n = -∞ allora lim b_n = -∞

Corollario:

• Se a_n ∼ b_n e lim a_n = +∞ allora b_n = o(1)
• Se a_n ∼ b_n e b_n = o(1) determinante

Esempi:

1. a_n = n cos(2ⁿπx[1/2])
2. a_n = n² cos(²ⁿπ[1/2]) = 0
3. a_n = n³ + 3

• Se ^2n_π = o(1)

cos((6x√2)/π) = cos(^π/4[3/4]) ∼ ^π stabile

cos((6√^x/2)²) = cos(_6^-1) = cos(_π) = 0 un