Appunti sulle Successioni a valori reali

Lezione 1     5/10/2020

Terminologie e notazioni

Insieme: Collezione di oggetti. Un insieme è ben individuato se per ogni oggetto è possibile stabilire con certezza se esso appartiene o meno all'insieme.

• Un insieme con lettere maiuscole (A, B, C, X, ... sono insiemi)
• Gli oggetti si denotano con lettere minuscole o: C∈A b∉B

Esempi:

• A = {2,3}
• a = 1, a ∉ A
• b ∈ B⇔1 ∃ b ⊆ di A ma b 3

OSS: In un insieme non esiste ordinamento

• A1 = 3, 2 = 2, 3 = 3, 2, 1
• In un insieme non esiste molteplicità: A2 = 1, 1, 2 = 2, 1, 2, 3

∅ è l'insieme vuoto, non contiene nessun elemento

Insieme finito: contiene numero finito di elementi.

Infinito: il contrario

Insieme infinito: contiene numero infinito di elementi

Esempi:

1. x = Soluz reali dell'eq a x² = - 10 ∅
2. x = 5 + 2 x=x √5

Confronto fra insiemi:

• Inclusione: A ⊆ B → ∀ a ∈ A
• A ⊂ B ha est che B \ C⊂ φ ⊂ A
• B ⊂ B φ
• φ ⊂ φ φ  

A ∩ B = insieme con A e B

• ∃ a ! ∈ φ φ c A=B

OSS: Importante: A ⊂ φ profa A φ = stesso Insieme

Operazioni fra insiemi

• Siano A, B ⊆ X A ⊈ B
• A ⋃ B=intersezione A ⋃ B=unione &Exist;
• a, x ∃ (φ⋂ φ⋃ φ B∅nonuevecre νφφ)
• A ∩ B = complemento x x φ
• x x ... νφφ
• A x B = cartesiano Siano A, B insiemi
• A x B = _{X≤B, y=0} , b φ  

Esempio:

• A = ∑ χ, , y3 B: {rosso, verde, giallo}
• A x B = { (χ, rosso), (c, verde), (x, giallo), (y, rosso), (y, verde), (y, giallo) }

Insiemi Numerici

N = {numeri naturali} = {0, 1, 2, 3, ...}     m ∈ N

Z = {numeri interi (relativi)} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}     m ∈ Z

Q = {numeri razionali} = {^m/_n ; m ∈ Z, n ∈ N, m,q ∈ Z}^m/_n ∉ 1/3 q ∈ Q

R = {numeri reali}     x ∈ R

C = {numeri complessi}     x ∈ C

Esempio

1/2 = 5/10 = ^m/_n ; m ∈ Z, n ∈ N, m,q ∉ Z ^m/_n

= 1/3 = ^m/_n ; m ∈ Z, n ∈ N, ^m/_n = 1/3

• 3,5 {numeri con la parte finita
• 2 {numeri con la parte limitata

Ogni rappresentazione decimale limitata rappresenta un numero razionale

8,33333333 = 8,352 = Q

Oss: I_R ⊇ I_Q { la parte decimale inesatta}

Esempi numerici in 1,2

I numeri reali sono una corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata

Esempio: 0,3 = 0,50000...3 = ?

Intervalli:

• [0, 1] ⊆ x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 1
• (0, 1] ⊆ x ∈ R: 0 < x ≤ 1
• [1, +∞) ⊆ x ∈ R: x ≥ 1
• (-∞, 3] ⊆ x ∈ R: x ≤ 3

[0, 1] x [0, 2] ⊆ (x, y) ∈ R² 0 ≤ x ≤ 1, 2 < y ≤ 3

1^o Assioma di Completezza di R

Operazioni in N, Z, Q, R:

• N: Somma.
  • No differenza (no opposto)
  • Prodotto
  • No quoziente
• Z: Somma
  • Opposto (differenza)
  • Prodotto
  • No quoziente
• Q e R: Somma, prodotto, quoziente

Proprietà delle operazioni (in R e in Q)

• Somma: commutativa, associativa
• Esiste il neutro (0)
• Il opposto (a)

• Prodotto: commutativo, associativo.
• Esiste l'inverso (a^-1, a ≠ 0)
• Esiste un neutro (1)

Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

∀ x, y, z, x(y + z) = xy + xz

R e Q sono campi

1. Esiste (R, ÷) un ordinamento, x ≠ y
2. Compatibile con le operazioni, così:
3. ∀ x, y, x ≠ y, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
4. ∀ x, y, z, 0 ≤ x, y ≤ z ⇒ xz ≤ yz

R e Q sono campi ordinati

Q ⊆ R, esistono i numeri irrazionali

Proposizione: √2 ∉ Q

Importante

Dim per assurdo

Supponiamo per assurdo che √2 ∈ Q, quindi ∃ m, n ∈ Z, n ≠ 0, ^m/_n = √2.

Supponiamo m per assurdo non è di numeratore pari.

Quindi ∃ m, n ∈ Z, con n numeratore pari (l'essenza si può scrivere come pari o pari, (lemma)) quando ∃ p, q ∈ Z, con pari z pari(n, lo spazio si connettere pari o pari l'essenza), quando pare lo spazio.

Lemma: Se m, n ∈ Z, m è pari, allora m² è pari (sempre che il prodotto di numeri da dispari)

Supponiamo